精品解析：重庆市第二外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

重庆市第二外国语学校2024-2025学年春季学期半期考试 高二年级数学（学科）试题 （全卷共四大题满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，解得． 2. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 【答案】D 【解析】 【分析】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，可得，，利用全概率公式可求小明晋级的概率. 【详解】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级， 由题意可得，， 所以由全概率公式得. 故选：D. 3. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为 故选：C 5. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法； 第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法； ∴ 故选：A. 6. 函数在时取得极值，则当时，的最大值为（ ） A. -9 B. 2 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，由极值点求出，进而求出最大值. 【详解】函数，求导得， 由函数在时取得极值，得，解得， ，当时，，当时，， 则是的极值点，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为. 故选：C 7. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”， 依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同）， 所以，，，， 则所求概率为. 故选：B 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案. 【详解】因为，，构造函数， 则，，，， 在上递增，在上递减.则有最大，即，. 若有两个解，则， 所以所以 即, 令，则， 故在上单增,所以， 即在上，. 若，则有，即. 故，所以. 当时，有，故 所以. 综上所述：. 故选：A 【点睛】利用函数单调性比较大小的类型： （1）比较幂指数、对数值的大小； （2）比较抽象函数的函数值的大小； （3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手10次 C. 若把英文“english”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有5040种 D. 吴老师将手里5张演唱会的门票分给本班数学成绩前10名中的5人，则分法有种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列数公式判断A；利用组合计数问题列式判断BD；利用全排列列式求解判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手（次），B正确； 对于C，英文“english”的7个字母全排列为，而正确的顺序只有1种， 所以可能出现的错误共有（种），C错误； 对于D，将5张演唱会的门票分给10名中的5人，共有种不同分法，D正确. 故选：ABD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的等式，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，取，得， 因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，以下命题正确的是（ ） A. 若函数不存在极值，则实数b的取值范围是 B. 方程的所有实根的和为8 C. 过点且与曲线相切的直线有三条 D. 方程，则的极大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：求导，由判别式小于等于得出实数的取值范围；对B：根据对称性得出所有实数的和；对C：利用导数的几何意义得出方程的根，得出切线的条数；对D：利用导数得出极值. 【详解】对A，因为， 所以，若函数不存在极值， 则有，解得，故A错误； 对B，函数， 由为奇函数，关于原点对称，可得的图象关于点对称， 且函数的图象也关于点对称， 所以与的图象交点关于点对称， 由图可知与的图象有四个交点， 所以方程有四个不同的根， 所以方程的所有实数根的和为，故B正确； 对C，设过点的直线与曲线相切于点， 的导数为，则有， 又点在曲线上，所以， 代入上式，，化简有. 设，三次方程最多3个根， 且，，，， 则分别在上各有一零点，即有3个不相等的实数根， 所以过点且与曲线相切的直线有三条，故C正确； ④化简得 ，当，单调递增，当，单调递减.故极大值为，故D错误. 故答案为：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】由，求导得， 所以. 故答案为：2 13. 已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用分布列的性质及基本不等式求解. 【详解】依题意，，解得，而， 于是，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 【答案】 【解析】 【分析】对 ，两边同乘以整理后再对求导，然后令代入整理即可. 【详解】对 ，两边同乘以得： ， 两边同时求导得， 令得， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为；单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，结合可得切线方程； （2）求导后，根据导函数正负即可求得单调区间. 【小问1详解】 由题意得：，，又， 在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知：定义域为； 由（1）知：当时，；当时，； 的单调递减区间为；单调递增区间为. 16. 已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. （1）求m的值； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数及组合数的性质求出. （2）由（1）求出展开式的通项公式，进而求出指定项. 【小问1详解】 由的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1，得， 所以. 【小问2详解】 由（1），的展开式的通项公式为， 由，解得， 所以展开式中含的项为. 17. 已知函数，，，. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最值即可. （2）按探讨函数的导函数值，确定函数的单调性，求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此， 所以在区间上的值域为. 【小问2详解】 函数，求导得，对任意，， 当时，，函数在上单调递增， 则对任意，，符合题意，因此； 当时，函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以的取值范围是. 18. 某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. （1）求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； （2）求该学生第二天选择C图书馆的概率； （3）记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据第一天选择C图书馆的概率是，后一天继续选择C图书馆的概率为求解即可； （2）分第一天选C、D两个图书馆两种情况求解即可； （3）根据题意得出递推公式，再构造求解通项公式即可. 【小问1详解】 由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 【小问2详解】 第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. 【小问3详解】 由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 19. 在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. （1）求函数在点处的曲率； （2）求函数的曲率K的最大值； （3）设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 【答案】（1）； （2）2； （3）函数，求导得，， 由曲率为0，得，则，即，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 又当时，恒成立，而，因此有两个解， 当时，，则，设，， 于是，，，则，， 不等式， 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，则； 当时，， 不等式， ，同理，函数在上单调递增， 因此，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用曲率的定义，求出函数在点处的曲率. （2）利用曲率的定义求出曲率函数，换元并利用单调性求出最大值. （3）由曲率为0得，构造函数，利用导数探讨有两个解，再按和分类证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，，则，， 所以函数在点处的曲率. 【小问2详解】 由（1）知，，令，则， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 当，即时，函数的曲率K取得最大值2. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第二外国语学校2024-2025学年春季学期半期考试 高二年级数学（学科）试题 （全卷共四大题满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（ ） A. 0.64 B. 0.68 C. 0.72 D. 0.76 3. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 5. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种 A. B. C. D. 6. 函数在时取得极值，则当时，的最大值为（ ） A. -9 B. 2 C. 10 D. 5 7. 已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 可表示为 B. 5个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手10次 C. 若把英文“english”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有5040种 D. 吴老师将手里5张演唱会的门票分给本班数学成绩前10名中的5人，则分法有种 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，以下命题正确的是（ ） A. 若函数不存在极值，则实数b的取值范围是 B. 方程的所有实根的和为8 C. 过点且与曲线相切的直线有三条 D. 方程，则的极大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为_______. 14. 设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到______. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 已知的展开式中，第3项与第4项的二项式系数之比为1:1. （1）求m的值； （2）求展开式中含的项. 17. 已知函数，，，. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若对任意，都有成立，求的取值范围. 18. 某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. （1）求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； （2）求该学生第二天选择C图书馆的概率； （3）记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 19. 在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线，我们定义曲线段的平均曲率为，曲线在点C处的曲率为（若极限存在），其中，分别表示在点C处的一阶、二阶导数值.已知函数. （1）求函数在点处的曲率； （2）求函数的曲率K的最大值； （3）设函数，，若存在使得的曲率为0，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $