精品解析：福建省漳州市芗城区漳州三中、三中分校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年下学期漳州三中、三中分校 阶段性教学诊断（二）八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 等腰三角形的底角必为锐角 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 每个定理都有逆定理 4. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是【 】 A. x2+x+1 B. x2+2x﹣1 C. x2﹣1 D. x2﹣6x+9 7. 已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都大于等于 9. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（ ） A. 8或14 B. 12或10 C. 8或10 D. 10或14 二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卡的相应位置作答） 11. 不等式的解集是___________． 12. 已知，，则多项式的值为___________． 13. 如图，，，，则________． 14. 如图，在中，，，，把绕点B顺时针旋转到的位置，点在上，与相交于点D，则的长为___________． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 16. 如图，在中，，，，P为内一点，连接，，，则的最小值是___________． 三．解答题（共9小题，满分86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 分解因式． （1）； （2）． 18. 请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项、合并同类项，得③ 两边都除以，得④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是___________；第________步有错误，这一步错误的原因是_____________． （2）请写出正确的解题过程，并用数轴表示其解集． 19. 在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标_______； （2）将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，直接写出坐标_______． 21. 如图，已知，在中，． （1）请在线段上作一点D，使点D到边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 22. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 23. 某“综合与实践”小组开展了测量本校教学大楼高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．请你帮他们完成下面的实战报告． 活动课题 测量教学大楼的高度 活动目的 运用直角三角形知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 该小组同学在处使用测角仪测量的度数，随后退至点处利用测角仪测量的度数 说明 图中，，，，，，同一平面内，且，，均垂直于 测量数据 测角仪，的高度为，，，， （1）任务1：根据该报告的数据，探究，的数量关系，并说明理由； （2）任务2：根据该报告的数据，求出教学大楼的高． 24. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ________； （2）因式分解：； （3）求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 25. 在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1． （1）判断直线与直线位置关系，并证明； （2）当时，求大小； （3）如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期漳州三中、三中分校 阶段性教学诊断（二）八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 若，则在下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故选：． 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 等腰三角形的底角必为锐角 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 每个定理都有逆定理 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法、等腰三角形的性质、互逆定理的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； B. 等腰三角形的底角必为锐角，该命题是真命题，故选项符合题意； C. 等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，原命题是假命题，故选项不符合题意； D. 每个定理不一定有逆定理，原命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，互逆定理的定义等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 4. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 5. 下列各式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是【 】 A. x2+x+1 B. x2+2x﹣1 C. x2﹣1 D. x2﹣6x+9 【答案】D 【解析】 【详解】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解： A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误； D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选项正确． 故选D． 7. 已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 8. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都大于等于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是每一个内角都小于，据此即可假设． 【详解】解：用反证法证明 “四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应先假设：每一个内角都小于． 故选：B． 9. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集求参数．表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：∵不等式组有整数解， ∴， ∵不等式组有3个整数解，即，0，1， ∴， 解得：， 故选：A． 10. 在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（ ） A. 8或14 B. 12或10 C. 8或10 D. 10或14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．请在答题卡的相应位置作答） 11. 不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．两边同时除以，不等号变号，即可求解． 详解】解：， 系数化为，得：， 故答案为：． 12. 已知，，则多项式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．先利用提取公因式法因式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，，，则________． 【答案】50° 【解析】 14. 如图，在中，，，，把绕点B顺时针旋转到的位置，点在上，与相交于点D，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、含度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质．根据含度角的直角三角形的性质求出长度，根据旋转的性质证明是等边三角形，可得出是的中点，，，从而可求解问题． 【详解】解：在中，， ∴，， 根据旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴是的中点，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由对顶角相等得，根据垂直平分线的定义得到， ，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，P为内一点，连接，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点B逆时针旋转得到，连接，，利用旋转的性质证明是等边三角形，推出，可得，当点P，F在直线上时，等号成立，由此可解． 【详解】解：在中，，，， ， ． 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质得，，，， 是等边三角形， ， ， 当点P，F在直线上时，等号成立，取最小值． ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 三．解答题（共9小题，满分86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 分解因式． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项、合并同类项，得③ 两边都除以，得④ （1）填空：第①步中“去分母”的依据是___________；第________步有错误，这一步错误的原因是_____________． （2）请写出正确的解题过程，并用数轴表示其解集． 【答案】（1）不等式的基本性质；④；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向没有改变 （2），数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握利用不等式的性质解不等式是解题的关键． （1）利用不等式的性质逐步进行判定即可解答； （2）解出不等式，即可得到不等式的解集． 【小问1详解】 解： 第①步中“去分母”的依据是不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 第④步中有错误，错误原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号方向没有改变； 故答案为：不等式的基本性质；④；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向没有改变； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得， 在数轴上表示为： 19. 在中，D是的中点，，垂足分别为E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．根据中点的定义可得到，再根据即可判定，从而可得到，根据等角对等边可得到，即是等腰三角形． 【详解】证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标_______； （2）将先向左平移个单位，再向上平移个单位得到，直接写出的坐标_______． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换、平移变换，熟练掌握坐标系中的平移和旋转作图方法是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征画出、、，再顺次连接即可； 【小问1详解】 解：如图所示： 其中，的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示， 其中，的坐标为； 故答案为：． 21. 如图，已知，在中，． （1）请在线段上作一点D，使点D到边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，角平分线的性质定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及直角三角形30度角的性质是解题的关键． （1）作的平分线即可； （2）设，根据角平分线的性质得到，推出，由此得到有关x的方程，解之即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 过点D作于E，设，则 ∵点D到边的距离相等， ， ∴，是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得． 故的长为． 22. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球和足球的单价分别是120元，90元 （2）有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：篮球和足球的单价分别是120元，90元； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为30或31或32， ∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个． 23. 某“综合与实践”小组开展了测量本校教学大楼高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．请你帮他们完成下面的实战报告． 活动课题 测量教学大楼的高度 活动目的 运用直角三角形知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 该小组同学在处使用测角仪测量的度数，随后退至点处利用测角仪测量的度数 说明 图中，，，，，，在同一平面内，且，，均垂直于 测量数据 测角仪，的高度为，，，， （1）任务1：根据该报告的数据，探究，的数量关系，并说明理由； （2）任务2：根据该报告的数据，求出教学大楼的高． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查含角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的计算，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先得出四边形，四边形是长方形，得，利用角的得出； （2）利用角的和等腰直角，得出，，，利用进行列式求出，即可求解先利用求出，再利用即可求解． 【小问1详解】 解： ，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，，均垂直于， ∴四边形，四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即教学大楼的高为． 24. 阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解： ________； （2）因式分解：； （3）求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 小问1详解】 解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 故答案为：； 【小问2详解】 解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； 【小问3详解】 证明：令， 原式 ， 将 还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子 的值一定是一个不小于1的数． 25. 在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1． （1）判断直线与直线位置关系，并证明； （2）当时，求的大小； （3）如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质和等边对等角的性质，得到，即可证明； （2）设，则，由旋转的性质，得出，再根据三角形外角的性质，得到，然后根据三角形内角和定理，求出的值，即可得到答案； （3）连接CF、CG，利用旋转的性质，证明，得，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得的，从而得出，再证明，得到，即可证明结论． 【小问1详解】 解：，证明如下： 证明：由旋转的性质可得，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：，即； 【小问3详解】 解：证明：如图3，连接、， 由旋转的性质可知：，，， ， ， ，， ， ，， ，点F为线段的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识．解题关键是作辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$