精品解析：广东省清远市清新区第三中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

清新三中2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学科试卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试室号、座位号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ） A. 某电子元件的寿命 B. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C. 某人早晨在车站等出租车的时间 D. 测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 2. 下列求导运算中，正确的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式逐项求解判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：B 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【详解】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 5. 已知函数，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， , 令，解得或， 故 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值为， 故选：B. 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算可求概率. 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 7. 根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为. 故选：C 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个极值点 B. C. 函数在上单调递增 D. 是的极小值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的图象确定函数在各区间的符号，进而判断的单调性，依次判断各项的正误即可. 【详解】由图知，时，即在上单调递增， 时，即在上单调递减，故， 时，即在上单调递增，易知在上单调递增， 所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点， 综上，A错，B、C、D对. 故选：BCD. 10. 若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】对函数求导并利用不等式恒成立以及对勾函数性质求得实数a的取值范围可得结论. 【详解】根据题意可得函数定义域为， 可得， 若函数在上单调递减，可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以， 根据对勾函数性质可得 所以， 因此实数a值可能为，4. 故选：CD 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用二项式定理中的通项及赋值法即可求解. 【详解】， ∴令，则可得：，故选项A正确； 令，则可得：，即，故选项D正确； 展开式第项的通项， 则当时，，即，故选项B不正确； 由展开式第项的通项可知： 当k为偶数时，，当k为奇数时，， ∴， 令则可得：，故选项C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题.每小题5分.共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，______. 0 1 2 P a b 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分布列概率之和为以及期望值列方程组，解方程组求得的值，进而求得方差. 【详解】依题意 ，故.所以. 故填：（1）；（2）. 【点睛】本小题主要考查分布列中概率的计算，考查分布列的期望和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种． 【答案】240 【解析】 【分析】先把5名学生分成人数为的四组, 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及排列计算即可得到. 【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法, 所以分配方案有种. 故答案为: 240. 14. 的展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将视为一个整体，利用二项式定理求的展开式，再结合二项式定理确定展开式中各项的展开式中的常数项，由此可得结论. 【详解】 ， 的展开式的通项公式为，， 令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中常数项为， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中不存在常数项， 的展开式的通项公式为，， 令可得，所以的展开式中的常数项为， 又的展开式中没有常数项， 所以的展开式的常数项为 故答案为: 四、解答题：本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率； （3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）利用对立事件的概率公式计算可得； （3）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 采取放回的方法，每次抽到白球的概率均为， 所以两次都取得白球的概率； 【小问2详解】 采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率； 【小问3详解】 记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球， 则，， 利用条件概率的计算公式，可得. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间中的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）4 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号可得函数的单调性； （2）根据（1）的单调性可得函数在上的最大值. 【小问1详解】 由题可得：， · 令，得，， 所以与的情况如下： 0 2 正 0 负 0 正 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又，， 所以，· 所以在区间中的最大值为． · 17. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； 【小问2详解】 由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 18. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望值为 【解析】 【分析】（1）根据组合知识得到BAT中有1个和有0个的情况，从而求出相应的概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望值. 【小问1详解】 选取的3个科技企业中，BAT中有1个的情况为种， BAT中有0个的情况为种， 故BAT中至多有1个的概率为． 【小问2详解】 由题意，的所有取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 ． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若函数在内存在极值，求实数的取值范围； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求； （2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解； （3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清新三中2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级数学科试卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试室号、座位号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ） A. 某电子元件的寿命 B. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C. 某人早晨在车站等出租车的时间 D. 测量某零件的长度产生的测量误差 2. 下列求导运算中，正确的一项是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分. 9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个极值点 B. C. 函数在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 若函数在上单调递减，则实数a值可能为（ ） A. B. 1 C. D. 4 11. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题.每小题5分.共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，______. 0 1 2 P a b 13. 某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种． 14. 的展开式中，常数项为__________. 四、解答题：本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率； （2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率； （3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间中的最大值． 17. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 18. 当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访． （1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； （2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望． 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； （2）若函数在内存在极值，求实数的取值范围； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $