精品解析：云南省宣威市第三中学2024-2025学年高一上学期中考试数学试题

云南省宣威市第三中学2024-2025学年上学期中考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】用交集定义求得交集中的元素，然后可得子集个数． 【详解】由已知，共2个元素，因此其子集有4个． 故选：C． 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若且，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由不等式性质逐一判断选项即可求得结果. 【详解】对于A，由，可知，即A错误； 对于B，由，可得，所以，即B正确； 对于C，由可知，可得C错误； 对于D，由可知，可知D错误． 故选：B 5. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②;③当时，y随x的增大而增大；④；⑤（其中）其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象和根与系数的关系，结合赋值思想来研究各选项. 【详解】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y轴右侧，则，所以, 抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故①错误； ②当时，，即，故②错误； ③由图可知，时，y随x的增大而增大，故③正确； ④当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，y的值最大．此时，，而当时，， 所以，故，即，故⑤正确． 综上所述，③④⑤正确． 故选:C． 6. 函数满足：，，当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，作出示意图，结合图象利用符号法解不等式即可. 【详解】因为，所以在上为偶函数， 又，当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以，示意图如图： 由图象可知：时，，，则； 时，，，则； 时，，，则； 时，，，则； 时，，，则. 综上，的解集为. 故选：C. 7. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A可用二次函数的性质求值域，选项B可以变形后根据x的取值范围得到y的取值范围，进一步得到值域，选项C变形后利用基本不等式得到值域，选项D根据函数的单调性得到值域. 【详解】对于选项A，，所以的值域是， 对于选项B，，因为，所以，故的值域为， 对于选项C，因为，所以，当且仅当时取等号，故 的值域为， 对于选项D，在上单调递增，所以的值域为. 故选：D 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可. 【详解】，，，A正确； ，则的值域为，B错误； 时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确； 时，取，此时，，则，D错误. 故选：AC 10. 若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A；利用特值法可判断B，C；利用作差法可判断D. 【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确； 对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误； 对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误； 对于D：，因为，可得，所以，故D正确． 故选：AD. 11. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集、补集、并集的定义逐项求解判断即得． 【详解】集合，，， 因此，，AB正确； ，，，CD错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是方程的两个实数根，则______. 【答案】2021 【解析】 【分析】根据韦达定理得，进而提公因式求解即可得答案. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴，， 则原式． 故答案为：2021. 13. 已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为_________． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】分别画出函数和的图像，再根据条件求解. 【详解】设，分别绘制函数的大致图像如下图： 其中有最小值，，没有最小值，是它的渐近线， 点在上，，，如上图，当时，不存在最小值， ； 故答案为：（不唯一）. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知集合 （1）若， 求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合A，把代入，再利用交集的定义求解即得. （2）利用（1）的信息，再利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 解不等式，得，解得，即， 当时，集合， 因此. 【小问2详解】 由是的充分条件，得，于是，解得， 所以的取值范围是. 15. 已知集合， (1)若，求； (2)若，写出A对应的区间，并在时，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 (1)求解二次不等式再求交集即可. (2)由题意,分和两种情况进行讨论分析,再列出区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】（1）由题意知： （2） 法一：当时,,,不合题意, 当时,, 所以,,即 . 法二：当时,；当时, 由,得. 解得 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与根据集合的关系求参数的问题,需要根据题意分参数的范围进行讨论,同时根据题意列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中等题型. 16. 若关于x的不等式的解集为． （1）当时，求的值； （2）若，求的值及的最小值． 【答案】（1）； （2）；. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可； （2）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知关于x的方程有两个根， 所以 故． 【小问2详解】 由题意关于x的方程有两个正根， 所以有解得； 同时，由得， 所以， 由于，所以， 当且仅当，即，且，解得时取得“=”， 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 【答案】（1）； （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省宣威市第三中学2024-2025学年上学期中考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若且，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②;③当时，y随x的增大而增大；④；⑤（其中）其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数满足：，，当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 是偶函数 D. ， 10. 若，，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是方程的两个实数根，则______. 13. 已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为_________． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知集合 （1）若， 求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 15. 已知集合， (1)若，求； (2)若，写出A对应的区间，并在时，求a的取值范围． 16. 若关于x的不等式的解集为． （1）当时，求的值； （2）若，求的值及的最小值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）判断在上的单调性并利用定义法证明； （3）求在上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $