精品解析：内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

试卷类型：A 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 （第二次模拟考试） 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合T的定义确定集合中的元素. 【详解】因为，所以，且. 故选：B 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，可得， 由三角函数的定义，可得， 故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 3. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，根据复数相等定义列方程求即可. 【详解】∵复数是关于的方程的一个根， ∴，即 ∴，解得， 故选：A. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直向量可得，即，求解即可. 【详解】已知向量 所以，即， 即， 故选：C. 5. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 6. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出，再根据求出 ，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围. 【详解】由题意可知，则， 因，则， 则，， 因在上单调递增， 结合正弦函数图象性质可得，解得， 故的取值范围是. 故选：B 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，利用圆台的侧面积公式计算得，由已知可得，可求得，进而可求球的表面积. 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长，而，因此， 所以，过作，垂足为， 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：C. 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，依次求解判断各个选项. 【详解】对于A，令，即． 因为满足，所以在区间上单调递增， 所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B，令，即． 易判断在区间上单调递增， 所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误； 对于C，由，得， 易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，单调递减，且； 当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点． 所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误； 对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点， 即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确． 故选：D 【点睛】方法点睛：根据“不动点”函数的定义，转化为方程有解问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 以线段为直径的圆与轴相交 D. 以线段为直径的圆过定点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出，即可求出抛物线的准线方程可判断A；设的中点为D点，过D点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定B正确；根据抛物线的定义可得，再求出的中点到轴的距离可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点到准线的距离为2， 所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为，故A正确； 对于B，设的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为， 可得，所以B正确； 对于C，设、，则由抛物线的定义可得：,， 的中点为，的中点到轴的距离为， 所以以线段为直径圆与轴相切，故C正确； 对于D，、，所以的中点，， 设直线为，所以联立， 所以，所以， 因为， 所以， 以线段为直径的圆过定点，故D正确. 故选：ABD. 10. 一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（ ） A 样本正相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据线性回归方程斜率的正负进行判断；B选项，线性回归方程必过样本中心，代入相应值求解；C选项，根据残差分布图中点的离散程度进行判断；D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大，因此决定系数变大. 【详解】A选项，因为原始数据的经验回归方程为，斜率为负数， 所以样本负相关，A选项错误； B选项，，所以，B选项正确； C选项，由图可知处理后的数据的残差分布更集中，说明处理后的数据的残差方差更小，所以，C错误； D选项，处理后的数据的经验回归方程的斜率绝对值更大， 这表明处理后的数据的线性关系更强，因此决定系数变大，D选项正确. 故选：BD 11. 已知如图为方格，挖去左上角的一个方格后，可以用个下列图形完全覆盖住（可以旋转，翻折但不能重叠）的有（ ） （注：题中每个方格都是边长为1的正方形） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据每个选项所给的部分去填充，即可得出结论. 【详解】由题意， 假设每种不同的颜色代表选项给出的一个基本图形 A项， ∴能够用12个图形完全覆盖住剩余部分，A正确； C项， ∴能够用6个图形完全覆盖住剩余部分，C正确； D项， ∴能够用8个图形完全覆盖住剩余部分，D正确； 而B项则无法不重叠地将剩余部分覆盖住， 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】若f（x）=ln（ex+1）+ax为偶函数， 则f（-x）=f（x）， 即ln（e-x+1）-ax=ln（ex+1）+ax，） -ln（ex+1）=2ax， 即）-ln（ex+1）=2ax， 即ln（ex+1）-lnex-ln（ex+1）=2ax， 即-x=2ax， 即2a=-1，则a＝ 故答案为 点睛：本题已知函数奇偶性求参数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系求出a是解决本题的关键． 13. 已知是数据的第70百分位数，若，则__________． 【答案】80 【解析】 【分析】所给数据按从小到大的顺序排列后求出第70百分位数，等价于，根据二项展开式的通项进行求解. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为：， 因为，所以数据的第70百分位数为第5个数据为5，则， 所以， 所以 故答案为：80 14. 在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理结合基本不等式求得，然后可求的最大值. 【详解】∵，∴, . 当且仅当，即时等号成立. 又，∴， ∴. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；或或或或或 【解析】 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出数列的通项公式，再利用等比数列化简得出，结合均为正整数的条件即可求出所有值. 【小问1详解】 由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题干易得平面，又平面平面，所以； （2）取的中点，可证明以且，由此可建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可求出二面角的正弦值； （3）设，求出此时平面的法向量，由此可算得，得到的解析式，利用导数求得其最大值. 【小问1详解】 因为，且平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，则，又， 所以四边形为平行四边形， 因为平面平面，所以，故四边形为矩形， 在中，，又， 所以在中，，所以． 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设二面角的大小为， 则 则二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 因为， 所以， 故，设，则， 令，得，解得（舍去），， 故时，时，， 所以， 故的最大值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在有最小值4，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可； （2）分，和，讨论的单调性，即可求出在上的最小值，解方程即可得出答案. 【小问1详解】 当时，， ， 故曲线在点处的切线方程为． 小问2详解】 ， ①当时，，因为，所以，此时在无最小值； ②当时， （i）若，则在上，， 所以在上单调递增，无最小值． （ii）若，则时，有在上单调递减， 时，有在上单调递增， 故在上的最小值为， 即，整理得，解得或（舍去）． 综上，得． 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值； （2）记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，利用全概率公式可求得的值； （3）记得分为的概率为，求得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 由题意可知，，由二项分布的期望公式可得． 【小问2详解】 记事件分别表示该学生来自甲，乙，丙组，事件B表示该同学能猜对，所以，， 由全概率公式可得． 所以，该学生能猜对的概率为． 【小问3详解】 由题意可知，积分增加1分的概率为，增加2分的概率为， 记得分为的概率为，且， ， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 由累加法可得 ． 因此，戊组获胜的概率为． 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】（1）的方程为；的方程为 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率结合，可求出，即可求出双曲线的方程，再由抛物线焦点到准线的距离为1，求出，即可抛物线的方程； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; 【小问3详解】 设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 （第二次模拟考试） 数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上．将条形码粘贴在规定区域．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 以线段为直径圆与抛物线的准线相切 C. 以线段为直径的圆与轴相交 D. 以线段为直径的圆过定点 10. 一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（ ） A. 样本正相关 B. C. D. 处理后决定系数变大 11. 已知如图为方格，挖去左上角的一个方格后，可以用个下列图形完全覆盖住（可以旋转，翻折但不能重叠）的有（ ） （注：题中每个方格都是边长为1的正方形） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数__________． 13. 已知是数据的第70百分位数，若，则__________． 14. 在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求和的所有值；若不存在，请说明理由． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求的最大值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在有最小值4，求的值． 18. 高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐，猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为9组，每组5人，剩余的学生做裁判．比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中9个小组分三场进行比赛，每场比赛有3个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍．已知甲、乙、丙3个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为． （1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望； （2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲概率； （3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率． 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． （1）求的方程； （2）过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$