猜押09 圆的证明与计算（解答题必考题）（3类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押09 圆的证明与计算（解答题） 考点 3年考题 考情分析 圆周角定理 2024年第20题 考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形等知识 利用垂径定理求值 2023年第20题 考查了利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解等知识 圆的综合问题 2022年第20题 圆与三角形的综合 题型一 与圆周角定理有关的证明与计算 【例】（2025·安徽芜湖·一模）已知点A，P，B，C在上，，点D在的延长线上，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，若，，，，求的长． 1．（2024·安徽芜湖·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（2024·安徽宿州·二模）已知四边形是的内接四边形，是的直径，连接，． (1)如图1，，求的半径； (2)如图2，过点O作于点E，延长交于点F，连接，.已知，求证：四边形是平行四边形． 3．（2024·安徽·三模）如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知：如图，在中，为直径，为弦，切于点B，，垂足为点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，，求． 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，在圆中，弦，垂足为，点为弧的中点，与弦、分别相交于点E、G．已知圆半径为4，． (1)求证：； (2)求的长． 6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E在上，且满足，连接交于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点，． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交点、． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：． 9．（2024·安徽黄山·二模）如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，等腰的腰为的一条弦，另一腰与相交于D，底边上的高的延长线交于F，连接． (1)求证：； (2)连接交于G，若，，，求的长． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． (1)若，求的度数； (2)过点作于，求证：． 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，交的延长线于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，与相切于点，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G． (1)若平行四边形的面积为80，，，求的长； (2)求证：． 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形内接于，，对角线，相交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 16．（2024·安徽合肥·三模）如图，内接于，为的直径，为上一点，过点作的切线分别交，的延长线于点，，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，直线与相切于点，弦，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点，． (1)求证：F是的中点； (2)若，，求的半径． 20．（2024·安徽合肥·三模）如图，为的直径，过上一点C作的切线交延长线于点P，于点D．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 21．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 22．（2024九年级下·安徽·专题练习）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 23．（2024·安徽·三模）如图，在中， 是直径， 于 H，弦 交 于点F，连 接交 于点G．且．    (1)求证：； (2)若点E 为的中点，求的度数． 24．（2024·安徽宣城·三模）如图，是半圆的直径，与半圆相切于点，于点，与半圆相交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的值． 25．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 26．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形内接于，是的直径，B，D两点关于对称，过点C作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，且，求线段的长． 27．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、 是 上的点， 是 的直径，连接、、、，过点 作交 的延长线于 点． (1)如图1，当时，求证； (2)如图2，当时，过点作的切线交 的延长线于点 ，，，求的长度． 29．（2025·安徽铜陵·一模）如图，已知的直径，弦于点，．过点作于点，交于点，交与点． (1)求证：； (2)求线段的长． 30．（2025·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点在上，作于交于，的平分线交于点，交于点，连结，． (1)若的半径为6，，求弦的长； (2)求证：． 31．（2025·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，且，作，交于点，交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为13，．求的长． 32．（2025·安徽·二模）如图，内接于圆，点、在圆上，且弦，过点作圆切线交延长线与，连接、、、．若． (1)求证：； (2)连接，若，，，求长． 33．（2024·安徽淮北·二模）如图1，是的直径，弦垂直于点，点是上一点，连接与交于点，连接，已知． (1)证明：平分； (2)如图2，若经过点，求的长． 34．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型二 与利用垂径定理求值有关的证明与计算 【例】（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，弦，点E，F分别在半径和弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 1．（2024·安徽六安·三模）如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，求的半径． 2．（2023·安徽·一模）如图1，为圆的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是圆的切线． (1)求证：； (2)如图2，取弧的中点，连接，，若，求弦的长． 3．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 4．（2024·安徽宿州·一模）如图1，与相切于点A，点C在上，交于点D，连接交于点F． (1)求证：． (2)如图2，与交于另一点E，连接．若，，，求的长． 5．（2024·安徽池州·二模）如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于（不是直径）与相交于点，且与相切点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 7．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接． (1)证明：平分； (2)若，求的长． 8．（2024·安徽淮南·三模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点连接且的延长线交于点连接 (1)求证： (2)若求的长． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，等腰内接于，，平分交的切线于点E，交于点F，点A为切点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，的半径为5，求的长． 10．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．（2025·安徽·二模）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的切线，切点为点B，连接交于点D，过O作的垂线交于点H，交于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 题型三 圆的综合问题 【例】（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 1．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点F． (1)求证：； (2)若，求弧的长度． 3．（2023·安徽·一模）已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，为半径作． (1)如图1，延长交于点C，连接，若，求的长． (2)如图2，延长至C，连接，若是的切线，E为切点，点D是上一点，且，求证：． 5．（2023·安徽滁州·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值． 6．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图1，已知是的内接三角形，是的直径，是的弦，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接、，若，且，，求的长． 7．（2023·安徽宿州·二模）如图，在中，弦，交于点E，过点B作的切线交的延长线于点P． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． 8．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求劣弧的长． 9．（2023·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，点在边上，点在边上.以点为圆心，为半径作与相切于点，已知． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 10．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，点B为圆O外一点，过点B作圆O的切线，点P为上一点，连接并延长交圆O于点C，若与垂直． (1)求证：； (2)若，圆O的半径为8，求的长． 11．（2023·安徽合肥·二模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（2023·安徽安庆·二模）如图，是的直径，直线与相切，切点为，过作，垂足为，过作交延长线于，交于点，连接，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 13．（2023·安徽六安·三模）如图，是的弦，C，D为优弧的三等分点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 14．（2023·安徽阜阳·二模）如图，以的边为直径作半圆O交于点D，且，半圆O交于点E． (1)求证：． (2)若，，求半圆O的半径r． 15．（2023·安徽合肥·三模）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．    (1)求证：； (2)若，点是劣弧的中点，，求． 16．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 17．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 18．（2024·安徽合肥·二模）已知如图，是的直径，C、D两点分别在直径AB两侧的半圆上，且，过点C作的切线，延长、，分别与切线交于点E、F．求证： (1) (2)． 19．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 21．（2023·安徽合肥·二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值． 22．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押09 圆的证明与计算（解答题） 考点 3年考题 考情分析 圆周角定理 2024年第20题 考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形等知识 利用垂径定理求值 2023年第20题 考查了利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解等知识 圆的综合问题 2022年第20题 圆与三角形的综合 题型一 与圆周角定理有关的证明与计算 【例】（2025·安徽芜湖·一模）已知点A，P，B，C在上，，点D在的延长线上，连接． (1)如图1，若，求证：是的切线； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点G，连接，可得，根据得到，利用角度转换即可解答； （2）过点C作交的延长线于点Q，根据，可得，即可证明，利用相似三角形的性质可得，设，则，根据解直角三角形和勾股定理列方程，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长交于点G，连接， ∵是直径， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，过点C作交的延长线于点Q， ∵，， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴.，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴，，由， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·安徽芜湖·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义以及勾股定理： （1）连接，由切线的性质得，再证明即可得出结论； （2）连接，证明，由可求出，再由勾股定理可得结论 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ； （2）解：连接，如图， ∵对的圆周角是， ∴， （已证）， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2024·安徽宿州·二模）已知四边形是的内接四边形，是的直径，连接，． (1)如图1，，求的半径； (2)如图2，过点O作于点E，延长交于点F，连接，.已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，即可得到的半径； （2）证明是的中位线，则，由得到，又由，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即的半径为1； （2）∵过点O作于点E， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理和垂径定理是解题的关键． 3．（2024·安徽·三模）如图，四边形内接于圆，，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形外接圆的半径． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，等腰三角形判定及性质，圆内接四边形性质． （1）利用圆周角定理，可得，再得到，即可得到本题答案； （2）根据圆内接四边形性质可得，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ∵， ， ； （2）解：四边形内接于圆， ， 又， ， 为四边形外接圆的半径， ， ， 四边形外接圆的半径为． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知：如图，在中，为直径，为弦，切于点B，，垂足为点F，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由切线的性质得到，结合等腰三角形的性质以及垂径定理得到，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解． （2）先在中运用勾股定理求得 ，利用垂径定理得到，设，则，在利用勾股定理求得值即可得出结论． 【详解】（1）证明：切于点， ， ， ． ， ， ． ，过圆心， ，， ， ， ； （2）解：的半径为， ． 为直径， ， ． ， ． 设，则， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，在圆中，弦，垂足为，点为弧的中点，与弦、分别相交于点E、G．已知圆半径为4，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是等腰三角形，即，再根据等三角形“三线合一”得出结论； （2）连接，、、，先证明是的中位线，得，再证明为等腰直角三角形，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， 垂直平分，即； （2）解：连接，、、， 点为弧的中点， ∴， ， ，，， ， ， 垂直平分， 为中点， 由（1）知F为中点， ∴是的中位线， ∴， ，为弧AC的中点， ∴ 为等腰直角三角形， 半径为4， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质与三角形中位线定理是解题的关键． 6．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，点E在上，且满足，连接交于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由圆周角定理求得，根据同角的余角相等证明，据此证得平分； （2）证明，推出，由，得到，根据三角函数的定义结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点，． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，首先证得，证出，即可求解； （2）连接，根据圆周角定理得出，证明，得出，设的半径为，再根据勾股定理得出，列出方程即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）连接，如图， ∵是的直径； ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为， ， ， ∴， 解得：或（舍去）． 故半径为． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知：如图，为的直径，点为上一点，过点作，交点、． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为上一点，连接交直径于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理及平行线的性质，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据圆周角定理求出，根据平行线的性质求出，，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 为的直径，， ， ，， ， ， ； （2）证明：如图2，连接， 为的直径， ， ， ∵， ，， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ． 9．（2024·安徽黄山·二模）如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，切线的性质，垂径定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键． （1）证明，结合，可得，再利用垂径定理可得答案； （2）连接，由（1）知，，可得求解 设半径为，在中，根据勾股定理可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：连接，交于点 ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，由（1）知， ∴ ∴在中得 设半径为，在中， 根据勾股定理可得， 解得． 10．（2024·安徽合肥·一模）如图，等腰的腰为的一条弦，另一腰与相交于D，底边上的高的延长线交于F，连接． (1)求证：； (2)连接交于G，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先连接，然后根据等腰三角形的性质和圆周角定理，可以证明结论成立； （2）根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，可以求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为等腰三角形，且，， 是的垂直平分线，， ， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ，， ， ． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，为的一条弦，与相切于，平分，与交于，连接． (1)若，求的度数； (2)过点作于，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）分别连接，，，由于平分，可得即得，与相切于，可得，根据圆周角定理可得，即可得出结果； （2）分别连接，，延长交于，连接，根据，为直径，可得，，得到，即证结论． 【详解】（1）解：如图1， 分别连接，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵与相切于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2， 分别连接，，延长交于，连接， ∵，为直径， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合题，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键． 12．（2024·安徽合肥·二模）如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，交的延长线于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质得出，于是有，由得出，从而推出，继而证得，又为公共角，于是根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证： （2）根据，即可求出的长，继而求出的长，的长、再证得，即可求出的长，最后根据勾股定理即可求出直径的长． 【详解】（1）证明：如图1，连接． 与相切于点C， ，即． ， ， ， ． ， ． ， ． （2）如图2，连接． ，， ． 在中，， ∵， ． 在中，， ， ． 是的直径， ， ， ． 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，锐角三角函数，圆周角定理及推论，切线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，与相切于点，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得，再根据推出，由，得到，因此，即可得出结论； （2）由（1）中结论，得到，，由进而证明是等边三角形，得到，从而求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ，， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理，等边三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握圆和等边三角形的相关性质是解题的关键． 14．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知平行四边形的两个顶点A，B均在上，边与相交于点E，，连接交于点F，延长交于点G． (1)若平行四边形的面积为80，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，由已知条件及平行四边形的性质得，而，所以，则，由垂径定理得，然后由平行四边形的面积求得，最后由勾股定理得列方程即可解答； （2）连接、，由，得，由圆周角定理得，在证明，可得，则，最后结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ∵平行四边形的面积为80， ， ， ，且，， 解得， 的长是5． （2）证明：如图2，连接、， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形内接于，，对角线，相交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得，再根据圆周角定理的推论即可得证； （）作的角平分线交于点，先证，得，又，得，，进而证垂直平分，得，，再证，利用相似三角形的性质得，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：作的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 16．（2024·安徽合肥·三模）如图，内接于，为的直径，为上一点，过点作的切线分别交，的延长线于点，，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，结合，易得，进而可得，即可证明结论； （2）连接并延长，交于点G，首先根据勾股定理解得，进而可得，再证明，结合相似三角形的性质可得，的值，然后根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）证明：如下图，连接， ∵为上一点，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：连接并延长，交于点G，如下图， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，直线与相切于点，弦，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理、三角形中位线定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质和切线的性质定理即可得到结论； （2）根据勾股定理、三角形中位线定理和矩形的判定与性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ； （2）解：如图，作于点，由垂径定理知：， ， 是的中位线， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， ， 由（1）知：， 四边形是矩形， ， ． 18．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理及其推论、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理及其推论、圆周角定理是解题的关键． （1）连接，利用圆周角定理、等角对等边等知识，即可证明； （2）分别连接，相交于点G，证明，则是的中位线，得到，，则，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】（1）证明：如图1，分别连接， ， ∴， 是直径， ， ，， ， ， ， ； （2）如图2，分别连接，相交于点G， ∵， ∴ ∴于G， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴ 设，则， 在中，， 在中， ， ， 解得， ． 19．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点，． (1)求证：F是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，首先证得，证出，即可求解； （2）连接，根据圆周角定理得出，证明，得出，设的半径为，再根据勾股定理得出，列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的切线，， ，， ， ， ， ， 是的中点； （2）解：连接，如图， 是的直径； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为， ， ， ， 解得：或（舍去）． 故半径为． 20．（2024·安徽合肥·三模）如图，为的直径，过上一点C作的切线交延长线于点P，于点D．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先由切线性质得出，再结合，得出，进行角的等量代换，得出，再结合等边对等角，即可作答． （2）连接，由，得，可证明，进而证明，得，则，所以，由，得，，则，所以，则，求得． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：连接，   ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 线段的长为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（2024·安徽安庆·一模）如图，四边形的四个顶点都在上，平分连接，且． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂径定理推出，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程． （1）由角平分线定义得到，由圆周角定理推出，由垂径定理推出，得到，由圆心角、弧、弦的关系推出； （2）连接与交于，由垂径定理得到，由勾股定理求出，设半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的半径长． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接与交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴的半径是． 22．（2024九年级下·安徽·专题练习）已知是半径为r的的直径，C，D分别为上的两个动点（A，B两点除外，且在直径的同侧），于点E，F是的中点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若不平行于，，求的长的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，证明四边形是矩形即可解答； （2）延长交于点G，连接，首先证明点E是的中点，得出，进而在取得最大值时求出的最大值． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：如图2，延长交于点G，连接， ∵是半径为r的的直径，于点E， ∴E是的中点， 又∵F是的中点， ∴， 又∵的最大值为， ∴的长的最大值是5． 23．（2024·安徽·三模）如图，在中， 是直径， 于 H，弦 交 于点F，连 接交 于点G．且．    (1)求证：； (2)若点E 为的中点，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】该题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意． （1）根据，，证明，即可证出； （2）设， 连接，根据 点E 为 的中点， 得出，．再结合，得出，根据三角形内角和定理列方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设， 连接，    ∵ 点E 为 的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， 即， 解得． ∴． 24．（2024·安徽宣城·三模）如图，是半圆的直径，与半圆相切于点，于点，与半圆相交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于，根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，，得到，设 ，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：与半圆相切于点， ， 于点， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接交于， 平分， ， ， ， 是半圆的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设 ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证； （2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． 26．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形内接于，是的直径，B，D两点关于对称，过点C作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）由圆周角定理得，由切线的性质得，再由轴对称的性质得到，即可求证； （2）可证是等边三角形，再通过三角形的外角得到，则．在中，． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵与相切，是的直径， ∴， ∴． ∵B，D两点关于对称， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． 27．（24-25九年级下·安徽·阶段练习）如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆的有关性质解决问题． （1）由垂径定理可得，即，可得，再证明，可得，再证明，可证得； （2）连接，先证得四点是在以为直径的圆上，再由，可得三点是在以为直径的圆上，再由，可得以为直径的圆和以为直径的圆是等圆，再得，可得结论． 【详解】（1）解：直径平分非直径弦， ，即． ， 即， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， 即， 四点是在以为直径的圆上， ， 三点是在以为直径的圆上， ， 以为直径的圆和以为直径的圆是等圆， ，即， ． 28．（2025·安徽蚌埠·一模）点 、 是 上的点， 是 的直径，连接、、、，过点 作交 的延长线于 点． (1)如图1，当时，求证； (2)如图2，当时，过点作的切线交 的延长线于点 ，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得得出，根据平行线的性质得出等量代换可得，根据等角对等边即可得证； （2）根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得出，结合已知条件得出，则，进而根据切线的性质以及等角的余角相等得出，即可求解． 【详解】（1）∵， 是 的直径， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的切线 ∴ 又∵是直径， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，余弦的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2025·安徽铜陵·一模）如图，已知的直径，弦于点，．过点作于点，交于点，交与点． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质． （1）利用等角的余角相等，求得，利用圆周角定理即可证明结论成立； （2）利用垂径定理求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵是的直径，且，弦于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 30．（2025·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点在上，作于交于，的平分线交于点，交于点，连结，． (1)若的半径为6，，求弦的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理内容是解题的关键． （1）连接，利用垂径定理得到，，用勾股定理求出即可求出答案； （2）利用角平分线的定义、圆周角定理等证明即可得到结论． 【详解】（1）解：连接， ∵为直径，， ∴， ∵，半径 ∴ 在中， ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 31．（2025·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，且，作，交于点，交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为13，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据圆周角定理求得是的直径，，求得，再根据切线的性质求得，推出，即可证明； （2）作于点，连接，利用垂径定理结合勾股定理求得，再求得，利用，列式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于点，连接， ∵， ∴点在上，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 32．（2025·安徽·二模）如图，内接于圆，点、在圆上，且弦，过点作圆切线交延长线与，连接、、、．若． (1)求证：； (2)连接，若，，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质求得，推出，，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可证明； （2）连接并延长交于点，过点作于，证明点是的外心，也是的内心，推出平分，再证明是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：连接并延长交于点，过点作于， ， ， ， 是等边三角形， 点是的外心，也是的内心， 平分， ， ， ， 切圆与， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 33．（2024·安徽淮北·二模）如图1，是的直径，弦垂直于点，点是上一点，连接与交于点，连接，已知． (1)证明：平分； (2)如图2，若经过点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弦垂直于点，由垂径定理得到，由，得到，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理推出，即，再根据，推出，由圆周角定理得到，即可得出，即可得出结论； （2）连接，证明是等边三角形，得到，进而得到，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：弦垂直于点， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， 由（1）知， 经过点， 是的垂直平分线， ， 弦垂直于点， 同理，可得， 是等边三角形， ， 是的直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧，弦，角之间的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 34．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形内接于，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴ ．在 中， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 题型二 与利用垂径定理求值有关的证明与计算 【例】（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，弦，点E，F分别在半径和弦上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，由，得到即，证明，即可得出结论； （2）过点作于点，由垂径定理得到，再根据勾股定理求出，证明，得到，进一步求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·安徽六安·三模）如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点M，由矩形性质得，，由为的直径，F为弦的中点，得，求出，即可证明； （2）连接，求得是等边三角形，得到 ．根据矩形性质得，得到，根据即可求出； 本题为圆的综合问题，考查圆的性质，圆周角，矩形性质，等边三角形等知识． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵AB为的直径，F为弦CD的中点， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接． ∵，F为中点， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∴； ∴的半径为． 2．（2023·安徽·一模）如图1，为圆的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是圆的切线． (1)求证：； (2)如图2，取弧的中点，连接，，若，求弦的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆的性质，切线的性质，勾股定理等 （1）连结，由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，有垂直的定义得，即可求证； （2）连接交于，连接，由圆的性质得，由勾股定理可得， ，即可求解； 掌握性质及圆中常用辅助线作法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连结， 是的切线， ， 即， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接交于，连接， 是直径， ， ； 为的中点， ， ， 在中， ， ， ． 3．（2024·安徽·一模）如图1，为的直径，弦于点G，且B为弧的中点，交于点H，若，．    (1)求的长； (2)如图2，连接．求证：． 【答案】(1)4 (2)见详解 【分析】（1）由于垂径定理，得，结合三角形的外角性质，得，即可通过证明，则，即可作答． （2）结合半径相等，得点O在的垂直平分线上，由（1）知，则，得到，点H在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：    ∵B为弧的中点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 连接，交于一点，如图所示：    ∵ ∴，点O在的垂直平分线上 由（1）知， ∴ ∴，点H在的垂直平分线上 ∴所在的直线是的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2024·安徽宿州·一模）如图1，与相切于点A，点C在上，交于点D，连接交于点F． (1)求证：． (2)如图2，与交于另一点E，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质，垂径定理以及勾股定理等知识 ： （1）连接，得由得求出得出从而得出结论； （2）根据得出进一步证明设根据勾股定理可得关于k的方程，求出，即，再根据垂径定理可得出的长． 【详解】（1）证明：连接，设于点， ∵是的切线，为的半径， ∴ ∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 又 ∴ ∴； （2）解：如图2. ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， 连接则 设 ∴ 在中， ∴， 解得，或（舍去）， ∴ ∴． 5．（2024·安徽池州·二模）如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)12 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）过点O作于H，设，证明四边形为矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， 半径， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点O作于H，设， 过圆心， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，即， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理应用等知识点，熟练掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 6．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于（不是直径）与相交于点，且与相切点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明，则，，所以，则平分； （2）因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， ，， ， ， 解得， ， ， ， 的长为20． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7．（2024·安徽·二模）如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接． (1)证明：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，勾股定理以及矩形的判定等知识： （1）连接交于点，根据垂径定理可得结论； 证明四边形为矩形，求得，，分别求出．，，根据勾股定理可求出 【详解】（1）证明：连接交于点， ， 且， 平分， （2）解：为的直径， ， 是的切线， ， ， 由（1）知，， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． ． 是的中位线， ， ， 在中，． 8．（2024·安徽淮南·三模）如图，是的直径，是的弦，与相切于点连接且的延长线交于点连接 (1)求证： (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 本题 （1）连接延长交于点根据垂径定理可得再根据切线的性质可得，即；然后证得，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图，连接先证，由相似三角形的性质可得然后代入相关数据即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接延长交于点 ． 是的切线， ， （2）解：如图，连接 是的直径， ， 9．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，等腰内接于，，平分交的切线于点E，交于点F，点A为切点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理和切线的性质求得，推出，再根据角平分线的定义可证明，据此可证明； （2）利用垂径定理证明，在中，利用三角函数的定义求得，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点H， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：如图，连接交于点G，连接， ∵平分， ∴点F为弧的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的弦，过点O作的垂线交于点C，垂足为点D过点C作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）证明，根据切线的判定即可； （2）利用垂径定理求出，在中，利用正弦的定义求出，在中，利用余弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 11．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）连接，由同弧所对的圆周角相等得，由同角的余角相等得，从而可得，由等腰三角形的判定及性质即可得证； （2）连接，设，可得，由线段和差得，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解； 掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 设， ， ， ， ， 为直径，， ， 在中， ， ， 解得：，， 故的半径为． 12．（2025·安徽·二模）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆内接四边形的性质与圆周角定理及其推论进行证明． （2）连接，由垂径定理和勾股定理求得，从而求得，，再证明，得，即，即可求解． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ∴，即． （2）解：如图：连接， ∵是直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵是直径，弦于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，圆的内接四边形的性质是解题的关键． 13．（2024·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是的切线，切点为点B，连接交于点D，过O作的垂线交于点H，交于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理和勾股定理： （1）根据圆周角定理结合等角的余角相等，即可得证； （2）垂径定理，得到，切线得到，进而得到，得到，设的半径为x，则，求出的值，勾股定理求出的值，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 设的半径为x，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 题型三 圆的综合问题 【例】（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)2． 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，从而证明为的平分线，得到，再由得到，最后得到； （2）由切线长定理得到，然后通过求三角函数值得，从而得到，继而求出，，最后利用含角的直角三角形的性质求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， 和都是的切线， ， ，， 为的平分线， ， ，， ， ． （2）和都是的切线， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 的长为2． 【点睛】本题考查了圆的切线性质和切线长定理，三角函数值的应用，角平分线的判定和含角的直角三角形的性质．添加辅助线和熟练掌握和运用相关性质是解题的关键． 1．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． (1)如图1，若 ，求证：； (2)如图2，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， 。 （2）平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为。 2．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点F． (1)求证：； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长＝ 【分析】（1）连，由是的直径，则，而，所以；由是弧的中点，得到，于是，即可得到． （2）连接，，，，可得圆的半径为4，在直角三角形．，可得，进而推出等于，再用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：是弧的中点， ， 在中，，， ， ， 又是弧的中点， ， ， ． （2）解：连接，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 的长． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质等，利用圆周角定理和相似三角形的性质是解此题的关键． 3．（2023·安徽·一模）已知为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过B作交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，结合可证，进而得出，根据等边对等角可得，进而得出，即可得证； （2）连接，，利用勾股定理求出，利用圆内接四边形的性质可证，利用圆周角定理，余角的性质等可证，进而得出，证明，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，， ， 在中，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解第（2）问的关键． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，以O为圆心，为半径作． (1)如图1，延长交于点C，连接，若，求的长． (2)如图2，延长至C，连接，若是的切线，E为切点，点D是上一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，，根据勾股定理即可求解； （2）连接，证明，，即可求证． 【详解】（1）∵ ∴， ∴，， 在中，； （2）连接， 则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合知识，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理． 5．（2023·安徽滁州·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，． (1)求证：是的切线； (2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等边对等角可得，，，进而得出，利用圆周角定理和等量代换可得，然后利用切线的判定即可得证； （2）设圆的半径为，，在和中利用勾股定理可得，，求出、的值，当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大，然后分别求和的面积即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：设圆的半径为，， 由题意知， 在中，，即①， 在中，，即②， 由①、②解得，， ∴， 当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大， ∴， ∴， 又，即， ∴， ∴，的最大面积为， ∴四边形面积的最大值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，利用勾股定理构造方程求出圆的半径是解题的关键． 6．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图1，已知是的内接三角形，是的直径，是的弦，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接、，若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证； （2）由和点为的中点，可得是的中位线，求得，根据圆周角定理得，，由勾股定理求得，，设，，在和中，根据勾股定理建立关于、的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：，都是所对的圆周角， ， ， ； （2）解：，点为的中点， 为的中位线， ， 为直径， ，， ， ， 设，， 在和中， 有，即， 整理得：， ， 解得：， ， ， 解得：或（舍去）， 的长为． 【点睛】本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键． 7．（2023·安徽宿州·二模）如图，在中，弦，交于点E，过点B作的切线交的延长线于点P． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的弦相等，可得，，即可得出求证； （2）根据与相切和是的直径，得出进而得出，推出，则求出，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在与中， ， ∴． （2）解：如图，连接，并延长交于点M，连接． ∵与相切， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用在解题过程中． 8．（2023·安徽合肥·一模）如图，在中，，以为弦作，交的延长线于点，且，． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求劣弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)劣弧的长为 【分析】（1）如图所示，连接，可知为的直径，可证，再根据角的关系证明，由此即可求证； （2）连接，根据题意可得是的中线，根据的性质，圆周角的性质可求出的度数，根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的直径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，弧长的计算方法是解题的关键． 9．（2023·安徽淮北·模拟预测）如图，在中，，点在边上，点在边上.以点为圆心，为半径作与相切于点，已知． (1)求证：； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据与相切于点得到，结合，即可得到，结合，，得到，即可得到证明； （2）根据，得到，即可得到，结合，即可得到，即可得到答案； 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ； （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 由（1）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形全等的性质转换线段关系． 10．（2023·安徽马鞍山·一模）如图，点B为圆O外一点，过点B作圆O的切线，点P为上一点，连接并延长交圆O于点C，若与垂直． (1)求证：； (2)若，圆O的半径为8，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再根据切线的性质证明，即可证明． （2）作于H，求出，根据，圆O的半径为8，求出，证明，即可解得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与圆切于A， ∴半径， ∴， ∴， ∴； （2）解：作于H， ∵， ∴， ∵， 圆O的半径为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题考查了圆的切线性质、三角形相似、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是借助辅助线构造三角形相似． 11．（2023·安徽合肥·二模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）如图所示，连接，根据是的切线，，可得，，可证，由圆周角相等，得弦相等，由此即可求证； （2）根据题意，在中，计算出的值，可证，可求出的长，在中，求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是直径， ∴， ∵，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，掌握切线的证明方法，垂直、平行的关系，相似三角形的判定和性质即可求解． 12．（2023·安徽安庆·二模）如图，是的直径，直线与相切，切点为，过作，垂足为，过作交延长线于，交于点，连接，交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，进而得出，推出，即可得出结论； （2）连接，根据，，得出垂直平分，则，，推出，根据勾股定理求出，根据，求出，再根据勾股定理可得：，即可得出，，最后证明，根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵直线与相切， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， 由（1）可得， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 则， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：．    【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；勾股定理，以及相似三角形的判定和性质． 13．（2023·安徽六安·三模）如图，是的弦，C，D为优弧的三等分点，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由点C，D为优弧AB的三等分点得到，从而，进而，又，根据“对边分别平行的四边形是平行四边形”得证四边形ABEC是平行四边形； （2）由点C，D为优弧AB的三等分点可证，从而得到，，，根据相似三角形的对应边成比例可求得的长． 【详解】（1）∵C，D为优弧的三等分点 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵C，D为弧ACB的三等分点 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，圆的相关知识，掌握圆的相关知识是解题的关键． 14．（2023·安徽阜阳·二模）如图，以的边为直径作半圆O交于点D，且，半圆O交于点E． (1)求证：． (2)若，，求半圆O的半径r． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵的边为直径作半圆O交于点D，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：的边为直径作半圆O交于点D，且， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故圆的半径为6． 【点睛】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 15．（2023·安徽合肥·三模）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．    (1)求证：； (2)若，点是劣弧的中点，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于，连接，由切线的性质可得，由直径所对的圆周角为直角可得，根据直角三角形的性质可得，由同弧所对的圆周角相等得，即可得证； （2）过作交延长线于，由圆周角定理得，根据圆内接四边形的性质得，由①知，则，，设，，由勾股定理求得，进而求得，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于，连接．    与相切，切点为， ， 是直径， ， ， ， ， ． （2）解：过作交延长线于．    ， ． 四边形是圆内接四边形， ， 由①知， ， ， 设，， 中，， 点是劣弧的中点， ， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，正切的概念，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 16．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）由是弧的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出，即可证明出结论． （2）证明出，由，设，根据勾股定理求出，再求出直径即可． 【详解】（1）证明：是弧的中点， ， ，且是的直径， ， ， ， ． （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 即, 或（舍去） ， ， ， 的半径为10． 【点睛】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键． 17．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证出，由切线的判定可得出结论； （2）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：证明: 连接， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 如图所示, 连接， ∵， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ， 解得， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2024·安徽合肥·二模）已知如图，是的直径，C、D两点分别在直径AB两侧的半圆上，且，过点C作的切线，延长、，分别与切线交于点E、F．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据是直径得，即可得，根据得，可得，则四边形是平行四边形，即可得； （2）连接，根据是直径可得，根据四边形是平行四边形得四边形是矩形，可得，，即可得是直径，根据与相切得，则，根据三角形内角和定理可得，即可得，，利用锐角三角形函数得，即可得． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）证明：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是直径， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的判定，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解题意，掌握这些知识点，正确做出辅助线是解题的关键． 19．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论； （2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为2． 20．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是以为直径的圆．先作出的垂直平分线，得出的中点，再以为半径作圆即可； （2）连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，是这个三角形的最小覆盖圆． （2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆 连接、，过O作于点H ， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 故的最小覆盖圆的半径为2． 21．（2023·安徽合肥·二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得到：，由“等边对等角”可得：，根据“直径所对的圆周角是直角”得：，在中，由边角关系即可求出的长； （2）在中，由勾股定理得，从而得到，在中，由边角关系得，连接，过点A作于点G，由“直径所对的圆周角是直角得：，由角平分线的定义得，由“同弧所对的圆周角相等”得，在中，由边角关系得，在中，由边角关系得在中，由勾股定理得，从而得出：，再证明，得到，即可得的值出． 【详解】（1）解：∵是的直径，是的切线， ∴ ∴ 在中， ∴ 在中， ， 即的长为； （2）解：在中， 在中 ， 连接过点A作于点G，如图： 则， ∵是的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 在中 ， 在中， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，三角函数的性质与应用，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 22．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据的圆周角所对的弦为直径及直径所对的圆周角为直角可得，则，结合已知条件及同弧所对的圆周角相等，等边对等角等量代换易得，即，根据切线定义即可证得结论； （2）过点作于点，由易得，再由直角三角形两锐角互余及等角对等边可得，结合已知条件，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题是圆的综合题，考查圆周角定理及推论，切线的判定，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．掌握切线的判定、通过作适当辅助线构造直角三角形以便利用锐角三角函数是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$