专题12.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【要点提示】 （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）. （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 2. 积的算术平方根: 　　即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【知识点2】二次根式的除法及商的算术平方根 2商的算术平方根的性质: 【知识点3】最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【要点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断..................................................2 【题型2】化为最简二次根式....................................................2 【题型3】已知最简二次根式求参数..............................................3 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法......................................................3 【题型5】二次根式的除法......................................................3 【题型6】二次根式的乘除混合运算..............................................4 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值..........................................4 【题型8】二次根式的乘除运算的应用............................................4 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接............................................................5 【题型10】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断 ★【例1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 ★【变式1】（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【题型2】化为最简二次根式 【例1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【题型3】已知最简二次根式求参数 ★【例1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 ★【变式1】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． ★【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： （1）； （2）． 【题型5】二次根式的除法 【例1】（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是 ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【题型6】二次根式的乘除混合运算 ★【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． ★【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）计算： （1）； （2）． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值 ★【例1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． ★【变式1】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）先化简、再求值：，其中． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，求的值． 【题型8】二次根式的乘除运算的应用 ★【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）（1）若，则用含a的代数式表示； （2）若，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，在中，，，，求的长． ★【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接 【例1】（2024·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． ★【例2】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．    【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． ★★【例2】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 二次根式的乘除（3大知识点4大考点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【要点提示】 （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）. （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 2. 积的算术平方根: 　　即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【知识点2】二次根式的除法及商的算术平方根 2商的算术平方根的性质: 【知识点3】最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 【要点提示】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断..................................................2 【题型2】化为最简二次根式....................................................4 【题型3】已知最简二次根式求参数..............................................5 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法......................................................6 【题型5】二次根式的除法......................................................8 【题型6】二次根式的乘除混合运算.............................................10 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值.........................................12 【题型8】二次根式的乘除运算的应用...........................................13 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接...........................................................15 【题型10】拓展延伸..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点一】概念辨析 【题型1】最简二次根式的判断 ★【例1】（24-25八年级下·湖北随州·期中）下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可． 解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； （a为正整数）是最简二次根式； 故选C． ★【变式1】（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 解：，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； ，不是最简二次根式，故选项B不符合题意； 是最简二次根式，故选项C符合题意； ，不是最简二次根式，故选项D不符合题意； 故选C． ★【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 【题型2】化为最简二次根式 【例1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）在同一平面坐标系中，点，点，那么点A与点B之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，同一坐标系下点和点的距离为，据此求解即可． 解：∵在同一平面坐标系中，点，点， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）把根式化成最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 解：． 故选：A ． 【题型3】已知最简二次根式求参数 ★【例1】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． ★【变式1】（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 解：∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． ★【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点拨】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【考点二】二次根式的乘除运算 【题型4】二次根式的乘法 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 解：（1）解：原式； （2）原式 ． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）20 （3） （4） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 解：（1）解： （2） （3） （4） 【变式2】（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6； （2）． 【分析】（1）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． （2）本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法运算法则，即可解题． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】二次根式的除法 【例1】（21-22八年级下·山东济宁·阶段练习）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 解：．，选项不正确，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项不正确，不符合题意； D．，选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 解：（1） （2） 【题型6】二次根式的乘除混合运算 ★【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2），． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ★【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 解：（1） ； （2） ． 【考点三】二次根式的乘除运算化简求值及应用 【题型7】二次根式的乘除运算化简求值 ★【例1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，9 【分析】本题考查的是整式的化简求值，二次根式的乘法运算，正确进行整式化简是解题关键．根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算即可． 解： ， 当，时， 原式． ★【变式1】（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）先化简、再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，最简二次根式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用分式的运算法则进行化简运算，再把代入运算即可． 解：原式 ， 把代入可得：原式． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，平方差公式的应用．根据绝对值、偶次方及二次根式的非负性结合分式有意义的条件，求出、的值，利用平方差公式将转化为，再代入计算即可． 解：由题意得， 解得， ． 【题型8】二次根式的乘除运算的应用 ★【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）（1）若，则用含a的代数式表示； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的乘法运算和完全平方公式求解即可． 解： ； （2）， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，在中，，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用； （1）直接利用平方差公式进行二次根式的乘法运算即可； （2）利用含30度角的直角三角形的性质求解，再利用勾股定理进行计算即可． 解：（1） ； （2）∵在中，，，， ∴， ∴； ★【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先证明平分，再证明．可得，下进一步求解即可； （2）证明，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 解：（1）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵的垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， 解得． 【点拨】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式；含30度角的直角三角形的性质，熟记角平分线的判定与线段的垂直平分线的性质是解本题的关键． 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型9】中考链接 【例1】（2024·河南·中考真题） （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）9（2） 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （1）利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质，零指数幂的意义化简计算即可； （2）先把括号里的式子通分相加，然后把除数的分母分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约分化简即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． ★【例2】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案． 解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 由旋转可得：，， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键． 【题型10】拓展延伸 ★★【例1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． ★★【例2】（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，，连接，证明，可得，结合点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，可得当取最小值时，刚好是2个，共线时，最小，再进一步求解即可． 解：如图，过作，，连接， ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个， ∴当取最小值时，刚好是2个， ∴共线时， 最小， ∵为的三等分点， ∴设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 故选：C 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$