精品解析：江苏省锡山高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：顾晓峰 审核人：章东锋 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在处存在导数为，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】. 故选：C. 2. 一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， . 故选：B 3. 的展开式中常数项是（ ） A. －225 B. －252 C. 252 D. 225 【答案】B 【解析】 【分析】求得展开式的通项，令，求得，代入即可求解． 【详解】二项式的展开式通项为：， 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：B 4. 稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（     ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A. 1.4 B. 1.5 C. 1.6 D. 1.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程为过样本中心点求解即可． 【详解】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故选： 5. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设函数的两个极值点分别为、，且，求出，结合二次函数的性质分析、、的符号，又由函数与轴交点在轴上方，则有，综合可得答案． 【详解】根据题意，由函数图象易知存在两个极值点， 设两个极值点分别为、，且，， 在区间上，为减函数，此时， 在区间上，为增函数，此时， 在区间上，为减函数，此时， 则是开口向下的二次函数，，有两个根，即和， 则有，则有，， 函数与轴交点在轴上方，则有． 故选：A． 6. 已知，则（     ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】令得，则，利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，则， 则有， 所以，， 所以令有 ， 所以， 故选：B. 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】因为，所以， 令，则，所以在上单调递减， 不等式， 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，等价于，即， 所以，解得； 当时，即成立； 综上可得不等式的解集是. 故选：C 8. 依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子两次，设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据独立事件同时发生的概率乘法公式及互斥事件概率公式求出对应事件的概率，再逐项由是否满足公式判断事件的独立性即可得解. 【详解】由题意， 当两次分别为或或时，两次的点数之和为7， 所以， 对A，，所以， 即与相互独立，故A正确； 对B，，，所以，故B正确； 对C，，所以，故C正确； 对D，，，所以，故D错误. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为 B. 两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好 D. 已知随机变量，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的定义判断A，根据相关系数的性质判断B，根据回归分析判断C，根据正态分布的性质判断D. 【详解】对于A：每个个体被抽到的概率，故A正确； 对于B：两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故B错误； 对于C：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 说明预测值与实际值越接近，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D：随机变量，说明正态分布密度曲线关于对称，, 所以，故D正确； 故选：ACD 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则（     ） A. 按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为 B. 按方式一，设摸出黑色球的个数为，则方差 C. 按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出2黑1白的概率为 D. 若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出2黑1白的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】分三种情况，利用乘法公式计算后再相加可得A错误；由二项分布的方差公式可得B正确；由条件概率的公式可得C正确；由全概率公式可得D错误. 【详解】对于A：按方式一，摸球一次，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 则三次全摸黑球的概率为，三次全摸白球的概率为， 三次全摸红球的概率为； 所以摸出是同一种颜色球的概率为，故A错误； 对于B：由题意可得按方式一摸出黑球的个数， 则，故B正确； 对于C：按方式二，2黑1白的概率为， 按方式二，已知共有两种不同颜色的球的概率为， 由条件概率的公式可得，按方式二，已知共有两种不同颜色的球的条件下，则2黑1白的概率为，故C正确； 对于D：若按方式一、二等可能，抽签决定， 则按方式一摸出2黑1白的概率为； 按方式二摸出2黑1白的概率为， 所以最终摸出2黑1白的概率为，故D错误； 故选：BC. 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（     ） A. B. 为定值 C. 为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断出单调性即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，即可判断；对于C，根据斜率相等可得，点为两切线的交点代入化简得，再计算可得答案；对于D，根据计算即可判断. 【详解】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于，两点， 所以与图象有2个交点，所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点，处的切线程分别为， 得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以，所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，即， 故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得， ，令，则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中项的系数为__________. 【答案】84 【解析】 【分析】利用展开式的通项可得答案. 【详解】的展开式通项为， 令，则展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由和事件的概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】由，可知， 又，可得， 由，可得， 所以. 故答案为： 14. 已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】令，由题意有，利用导数求最小值，得，令，利用导数求最大值即可. 【详解】令，由不等式对任意实数恒成立等价于， 所以，令有，令， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 令， 所以，令有， 由有，由有， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质可得，由二项式的通项公式即可求解； （2）由二项式通项公式有，当即可求解. 【小问1详解】 有题意有，所以， 所以， 所以系数最大项为， 【小问2详解】 由有，所以， 所以展开式中的有理项为， 所以有理项为：. 16. 甲、乙两家公司到某大学进行招聘，通过对毕业生进行笔试、面试、模拟演练这三项程序后直接签约一批毕业生．已知三项程序分别由三个部门独立依次考核，且互不影响，当三项程序全部通过即可签约．假设该大学100名毕业生参加甲公司招聘的具体情况如下表（不存在通过三项程序考核后放弃签约的现象）． 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计 男生 20 女生 50 合计 30 100 该校的小张准备参加两家公司的招聘，小张通过甲公司的每项程序的概率均为，通过乙公司的每项程序的概率依次为，，，其中． （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别是否有关； （2）若小张通过甲、乙两公司程序的项数分别记为，．当时，求小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率． 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能否签约与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）依题意，即可求出，再由的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求出，通过即可求出的值，从而求出结果. 【小问1详解】 依题意可得列联表如下 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计 男生 20 20 40 女生 50 10 60 合计 70 30 100 所以， 所以根据小概率值的独立性检验，这100名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别有关； 【小问2详解】 因为小张通过甲公司各程序的结果相互不影响， 所以，则， 依题意的可能取值为0，1，2，3. 所以， ， ， ， 所以随机变量Y的分布列： 0 1 2 3 所以， 因为，所以，即， 所以小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率. 17. 已知函数. （1）证明：在定义域上不存在极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 证明：函数的定义域为，又， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以在上单调递增，故不存在极值. 【小问2详解】 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时恒成立， 当时在上恒成立， 令，， 则， 令，则， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，即， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以， 综上可知，实数的取值范围是. 18. 已知某商店出售商品A，根据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下： 对A的需求量 0 1 2 3 概率 若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设. （1）求的分布列； （2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向于一个定常态分布，记这个定常态分布为. （i）求商品A的定常态分布； （ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求不小于供给的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出分布列； （2）（i）设，利用全概率公式即可得到方程，解出即可； （ii）分析得，再利用全概率公式即可. 【小问1详解】 依题意的可能取值为，， 则，， 所以的分布列如下： 1 2 【小问2详解】 （i）记为商品A第周内的需求量，由题意，与的状态有关， 当时，若，则；若，则， 设，即， 由全概率公式可得， ， 由，得，解得，故. （ii）由（i）可知，定常态分布， 所以从长远来看，， 记商品A需求不小于供给的概率为， 由全概率公式得 . 19. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】 函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. 【小问3详解】 函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：顾晓峰 审核人：章东锋 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数在处存在导数为，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（     ） A. B. C. D. 3. 的展开式中常数项是（ ） A. －225 B. －252 C. 252 D. 225 4. 稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（     ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A. 1.4 B. 1.5 C. 1.6 D. 1.7 5. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（     ） A. B. C. D. 0 7. 已知定义在上的函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 8. 依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的正六面体骰子两次，设事件“第一次出现的点数是奇数”，“第一次出现的点数是1”，“两次的点数之和为奇数”，“两次的点数之和为7”，则下列结论错误的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为 B. 两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好 D. 已知随机变量，且，则 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中有红球1个，白球2个，黑球3个，分别从中用两种不同方式摸出3个球，方式一：依次有放回；方式二：依次无放回，则（     ） A. 按方式一，摸出是同一种颜色球的概率为 B. 按方式一，设摸出黑色球的个数为，则方差 C. 按方式二，在摸出两种不同颜色的球的条件下，摸出2黑1白的概率为 D. 若按方式一、二等可能，抽签决定，则最终摸出2黑1白的概率为 11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（     ） A. B. 为定值 C. 为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中项的系数为__________. 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则__________. 14. 已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在二项式的展开式中，已知第3项与第8项的二项式系数相等． （1）求展开式中系数最大的项； （2）求展开式中的有理项． 16. 甲、乙两家公司到某大学进行招聘，通过对毕业生进行笔试、面试、模拟演练这三项程序后直接签约一批毕业生．已知三项程序分别由三个部门独立依次考核，且互不影响，当三项程序全部通过即可签约．假设该大学100名毕业生参加甲公司招聘的具体情况如下表（不存在通过三项程序考核后放弃签约的现象）． 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计 男生 20 女生 50 合计 30 100 该校的小张准备参加两家公司的招聘，小张通过甲公司的每项程序的概率均为，通过乙公司的每项程序的概率依次为，，，其中． （1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生参加甲公司的招聘能否签约与性别是否有关； （2）若小张通过甲、乙两公司程序的项数分别记为，．当时，求小张参加乙公司招聘并能成功签约的概率． 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.001 2.706 3.841 5.024 10.828 17. 已知函数. （1）证明：在定义域上不存在极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知某商店出售商品A，根据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下： 对A的需求量 0 1 2 3 概率 若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设. （1）求的分布列； （2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向于一个定常态分布，记这个定常态分布为. （i）求商品A的定常态分布； （ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求不小于供给的概率. 19. 已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）已知且，求证：； （3）若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $