数学（泰州卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（泰州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 A C B C D D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7、 8、 9、0 10、2.8 11、6 12、20 13、 14、 15、 16、 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分） 【答案】（1）5（2），数轴见解析 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把它的解集在数轴上表示出来如图： 原不等式组的解集为． 18．（本题8分） 【答案】(1)；，图见解析． (2)；． (3)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为． 【详解】（1）解：由题意得，共抽取学生人， 组人数为人， 组人数为人， 即，， 补全条形统计图如下： 故答案为：；． （2）解：组数据中出现的次数最多， 组成绩的样本数据的众数是， 共抽取学生人，即样本数据共个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数， 应取样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数， 又组人，组人，组人， 第、个数据分别是，， 中位数是， 故答案为：；． （3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是， 该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人． 【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． 19．（本题8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：甲抽到的卡片上是化学变化的概率为， 故答案为：； （2）将四张卡片分别记作， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的有种， ∴甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率为． 20．（本题8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ， 平分， 格点E、F即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ，即， ， ， 格点G、H即为所求（答案不唯一）． 21．（本题10分） 【答案】(1)3， (2) (3) 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：3，； （2）解：， ，， ； （3）解：可化为， ， ， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 22．（本题10分） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 23．（本题10分） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（本题10分） 【答案】迎客松的高度约为9.9米 【详解】解：如图，延长，交于点C，过点B作于点E，则由题意得：米，，． ∵米，米， ∴（米）． 在中，， ∴， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：迎客松的高度约为9.9米． 25．（本题12分） 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 26．（本题14分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3；② 【详解】（1）解：①， 又②， ②①，得， ； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：①， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 与所对的圆心角度数之比为， 与的长度之比为， 的长为2， 的长为3； ②连接，作于， 由题意知，和都是等腰三角形， ， 设，， 设，则，，，， ， 即， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 10 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（泰州卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 填空题（每小题 3 分，共 30 分） _________________ 8、 _________________ 9 ． _________________ 1 0 ． ___________________ 1 1 ． __________________ 1 2 ． __________________ 1 3 . ___________________ 14. __________________ 1 5 ． __________________ 1 6 ． __________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 10 个小题，共 102 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 7 ．（ 12 分） 1 8 ． （ 8 分） 19、（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 8 分） 21 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 10 分） 23、（10分） 2 5 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24、（10分） （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26、（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（泰州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 30分） 7. _________________ 8、_________________ 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13. ___________________ 14. __________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10个小题，共 102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分） 18．（8分） 19、（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23、（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24、（10分） 25、（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26、（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（泰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 4．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14 5．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是矩形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且．点G，H分别在上，且，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 8．3月8日晚间，据灯塔专业版数据，《哪吒2》全球票房（含预售及海外）已超亿元，亿用科学记数法表示为 ． 9．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 10．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ． 11．已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 ． 12．在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ． 13．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 14．如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为 ． 15．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 16．如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）（1）计算：． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本题8分）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表． 组别 成绩/分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______．补全条形统计图． (2)组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 19．（本题8分）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片． (1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率． 20．（本题8分）如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可． (1)在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分； (2)在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）． 21．（本题10分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 22．（本题10分）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 23．（本题10分）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 24．（本题10分）黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角，看迎客松根部B的俯角．已知迎客松所处位置的海拔高度为1670米，求迎客松的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 25．（本题12分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 26．（本题14分）如图1，为锐角三角形的外接圆，点在劣弧上，点F在上，交于点，且，交于点，，连结，．设． (1)用含α的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（泰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 4．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14 5．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是矩形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且．点G，H分别在上，且，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 7．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 8．3月8日晚间，据灯塔专业版数据，《哪吒2》全球票房（含预售及海外）已超亿元，亿用科学记数法表示为 ． 9．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 10．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ． 11．已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 ． 12．在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ． 13．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 14．如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为 ． 15．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 16．如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）（1）计算：． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本题8分）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表． 组别 成绩/分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______．补全条形统计图． (2)组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 19．（本题8分）物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片． (1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率． 20．（本题8分）如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可． (1)在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分； (2)在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）． 21．（本题10分）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 22．（本题10分）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 23．（本题10分）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 24．（本题10分）黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角，看迎客松根部B的俯角．已知迎客松所处位置的海拔高度为1670米，求迎客松的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 25．（本题12分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 26．（本题14分）如图1，为锐角三角形的外接圆，点在劣弧上，点F在上，交于点，且，交于点，，连结，．设． (1)用含α的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 10 / 11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（泰州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、完全平方公式，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相乘、完全平方公式逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 4．下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D．3.14 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．无理数即无限不循环小数． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 5．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案． 【详解】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 6．如图，四边形是矩形，过点C的直线分别与的延长线交于点E，F，且．点G，H分别在上，且，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点依次判断即可得出结果．根据矩形的性质、平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质即可判断A、B，过点E作，交的延长线于点P，连接，利用全等三角形的判定和性质，勾股定理即可判断C、D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴选项A，B都是正确的，不符合题意； 如图，过点E作，交的延长线于点P，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴选项C正确，不符合题意． ∵由所给条件无法证明．， ∴选项D不正确，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共24分） 7．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键； 根据二次根式，以及分母不能为零，进行计算即可． 【详解】二次根式有意义， ，且， ， 故答案为：． 8．3月8日晚间，据灯塔专业版数据，《哪吒2》全球票房（含预售及海外）已超亿元，亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，其表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值是解题的关键． 因为，即可得到答案． 【详解】解：亿， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 10．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ． 【答案】2.8 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为， 这组数据的方差为， 故答案为：2.8． 11．已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟练掌握若一元二次方程两根为，，则，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系，结合关于的方程的一个根为2，代入求解即可得到另一个根． 【详解】解：关于的方程的一个根为， 根据根与系数关系可得，即，解得， 故答案为：6． 12．在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，如图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为 ． 【答案】20 【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点． 根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“”的个数． 【详解】解：由图可得， 甲烷分子结构式中“”的个数是； 乙烷分子结构式中“”的个数是； 丙烷分子结构式中“”的个数是； ， 可以总结出规律：对于n烷（n为天干顺序数），其分子中 “H” 的个数为． ∵“壬” 是十天干中的第9个，即． ∴壬烷分子结构式中“”的个数是：； 故答案为：20． 13．用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】先求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径=÷2π=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握圆锥的底面周长等于圆锥展开扇形的弧长，是解题的关键． 14．如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，，结合题意可得，，，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵经过点A的与边相切于点H，是等边三角形， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∵的半径是，为直径， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 16．如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，证明四边形是正方形，再利用，勾股定理列式解答即可． 【详解】解：连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，由， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质，函数的应用和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题12分） （1）计算：． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）5（2），数轴见解析 【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，解不等式组，掌握这些知识点的综合应用是解本题的关键． （1）先算出负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，最后进行加减运算； （2）解不等式①，得，解不等式②，得，最后借助数轴求出这个不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把它的解集在数轴上表示出来如图： 原不等式组的解集为． 18．（本题8分） 综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表． 组别 成绩/分 人数 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图． 其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：______，______．补全条形统计图． (2)组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______． (3)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】(1)；，图见解析． (2)；． (3)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为． 【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图信息关联，计算出抽取的学生人数以及、的值； （2）根据众数、中位数定义求解即可； （3）根据题意，用样本估计整体进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，共抽取学生人， 组人数为人， 组人数为人， 即，， 补全条形统计图如下： 故答案为：；． （2）解：组数据中出现的次数最多， 组成绩的样本数据的众数是， 共抽取学生人，即样本数据共个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数， 应取样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数， 又组人，组人，组人， 第、个数据分别是，， 中位数是， 故答案为：；． （3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是， 该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人． 【点睛】本题考查的知识点是条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． 19．（本题8分） 物质的变化通常被分为物理变化和化学变化．某兴趣小组整理了生活中常见物质的变化，并将其中两个物理变化和两个化学变化分别写在如图所示的四张卡片正面（四张卡片除正面汉字不同外，其余均相同），将卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，甲乙两人依次不放回地随机抽取一张卡片． (1)甲抽到的卡片上是化学变化的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲抽到的卡片上是化学变化的概率为， 故答案为：； （2）将四张卡片分别记作， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的有种， ∴甲、乙两人抽到的卡片上均是物理变化的概率为． 20．（本题8分） 如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点就是格点．下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可． (1)在图1中找到两个格点E、F，连结，使得平分； (2)在图2中找到两个格点G、H，连结，使得垂直（G、H不与A、B重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）线段是三个方格的对角线，连接中间方格的对角线，记为，即可得到平分； （2）线段是水平方向三个方格的对角线，在竖直方向上同样找到三个方格的对角线，记为，即可得到垂直． 【详解】（1）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ， 平分， 格点E、F即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图， 设与交于点， 由图可得，，，， ， ， ，即， ， ， 格点G、H即为所求（答案不唯一）． 21．（本题10分） 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中的例子可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，根据，得方程，求解即可． 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：3，； （2）解：， ，， ； （3）解：可化为， ， ， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 22．（本题10分） 某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 23．（本题10分） 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（本题10分） 黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角，看迎客松根部B的俯角．已知迎客松所处位置的海拔高度为1670米，求迎客松的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】迎客松的高度约为9.9米 【分析】本题考查了有关仰俯角的解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长，交于点C，过点B作于点E，则由题意得米，，,则，可得为等腰直角三角形，求出，再解，最后由即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点C，过点B作于点E，则由题意得：米，，． ∵米，米， ∴（米）． 在中，， ∴， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：迎客松的高度约为9.9米． 25．（本题12分） 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键． （1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可； （2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案； （3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 26．（本题14分） 如图1，为锐角三角形的外接圆，点在劣弧上，点F在上，交于点，且，交于点，，连结，．设． (1)用含α的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3；② 【分析】（1）联立，，即可得出的度数； （2）根据角的关系得出，推出，又，即可根据证明； （3）①用表示出的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；②连接，作于，设，，设，则，，，，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：①， 又②， ②①，得， ； （2）证明：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：①， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 与所对的圆心角度数之比为， 与的长度之比为， 的长为2， 的长为3； ②连接，作于， 由题意知，和都是等腰三角形， ， 设，， 设，则，，，， ， 即， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$