山西省晋城市山西省部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年第二学期高二4月期中提升考 数学(A卷) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册(50%)，选择性必修第 铷 三册第六章、第七章(50%)。 酃 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 长 1.若直线x十ay一1=0的倾斜角的大小为石，则实数a= 区 A√3 B号 c-9 D.-√3 都 2.随机变量X服从两点分布，若D(X)=子，则P(X=1) 杯 A号 B号 c D号 期 3.已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，过F的直线交C于A,B两点，若弦AB的中点的横坐标 为4，则|AB A.8 B.10 C.12 D.16 4.已知随机变量X的分布列如下表： X 0 2 3 0.12 1-2a 0.24 a 则E(X)= A.1.2 B.1.04 C.1.02 D.1 5.从5人中选择4人去A,B,C三地调研，一个地方安排2人另外两个地方各安排1人的安排 方法共有 A.35种 B.75种 C.120种 D.180种 【高二4月期中提升考·数学(A卷)第1页（共4页）】 25-X-635B ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 6.计算C"十C+1= A.2 B.4 C.6 D.8 7.某次数学测试的单项选择题，学生甲有把握答对其中4道题，余下4道题中，有3道有思路， 1道完全没有思路，若甲答对每道有思路的题的概率为号，答对每道完全没有思路的题的概 率为，他从这8道题中任抽一题作答，答对的概率为 A品 B是 c第 n若 8.已知函数f(x)=x3一x,过点（一2，a)可向曲线y=f(x)引3条切线，则实数a的取值范围为 A(-2,6) B.(-6,2) C.(-3,5) D.(-5,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.数字0,1,2,3,4组成的无重复数字的五位数构成集合M,则下列说法正确的是 A.M中有偶数60个 B.M中数字1,2相邻的数有36个 C.M中2,4不相邻的数有72个 D.将M中的元素从小到大排列，第55个数为31024 10.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=号，P(B)=子，P(A+B)=号，则 A事件A,B相互独立 BPAB)-号 CPB万= D.P(AB)<P(B) 1.已知曲线E:y=号9-可，直线1y-x+,P(m,0为E上一点，则 A.m2+n2>1 B.当m≥3时，|m-3n≤3 C.对任意k,t∈R,直线l与E的交点个数不超过3个 D.当=号，1<1<2时，直线1与E有3个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X的概率分布密度函数f(x)=e誉，若P(X>3)=0.2,则 g√2π P(-1≤X≤3)= 13.已知(1十x2)(x+)“(n∈N,且6≤m≤10)的展开式中没有常数项，则n= 14.已知实数a,b,c,d满足a2+b=c2+d2=9,ad一bc=9,则a+b-6|+|c十d-6|的最大值 为 【高二4月期中提升考·数学(A卷)第2页（共4页）】 25-X-635B ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣a 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在一个不透明的箱子里有8个大小相同的小球，其中5个黑球，3个红球，从中不放回地依 次摸出3个小球 (1)求前两次摸出的球均为黑球的概率； (2)记X表示摸出的小球中红球的数量，求X的分布列及其数学期望. 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AA1的中点，AB=AA1=2,AC=4,AB⊥BC (I)求BC1与平面BCD所成角的正弦值； (2)求平面BC1D与平面BCD夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) “科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek 某公司A部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三 轮培训达到“优秀”的概率分别为子，号，号，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的 员工才能应用DeepSeek (1)估计A部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训l 后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润l0万元.DeepSeek培训平均 每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将A部门的部分员工随机调至公司 其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后A部门的年利润不低于 员工调整前的年利润，A部门最多可以调多少人到其他部门？ 【高二4月期中提升考·数学(A卷)第3页（共4页）】 25-X-635B ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=kx一lnx(k∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当k=1时，若g(x)=f(x十1)一a存在零点，求实数a的取值范围： (3)证明：(1+是)(1+是)(1+是)(1+是)<We片(n∈N). 19.(本小题满分17分) 若数列{an}满足：a2u=a2-1十p,且a2+1=a2十q(p≥0，q>0且p≠q),则称该数列{an}为 “非线性递增数列”. (1)设数列{b.}为“非线性递增数列”，且p=2g=2b=2. (i)求b3,b4: (iⅱ)记数列(bn}的前n项和为Sm,是否存在实数λ，使得对任意的n∈N",Sn≤入n2恒成 立？若存在，求出入的取值范围；若不存在，请说明理由： (2)若数列{c}为“非线性递增数列”，且满足力=0，g=2,=1,记数列1}的前n项 Cucn+2 和为A,若不等式一m十mA.一+2>0对任意的m∈N恒成立，求实数m的取值 范围。 【高二4月期中提升考·数学(A卷)第4页（共4页）】 25-X-635B 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 2024~2025学年第二学期高二4月期中提升考·数学(A卷) 参考答案、提示及评分细则 1.D因为直线x十y一1=0的倾斜角的大小为音，所以其斜率为号.所以-}-号，所以a=一尽.故选D 2.A设P(X=1)=p,因为X服从两点分布，所以D(X)=p(1一p)=子，解得p=受故选A 3.C设A,B的横坐标分别为12，所以=4，所以十x2=8,因为AB过焦点，所以AB=4++ 2 x2=4十8=12.故选C. 4.A由分布列的性质，得0.12+1一2a十0.24十a2=1,即a2-2a+0.36=0,解得a=1.8或a=0.2,又0<1 -2a<1,即0<a<7,所以a=0.2,所以EX)=0X0.12+1X0.6+2×0.24+3×0.04=1.2.故选A 5.D先从5人中选4人有C心种选法，再将4人分为3组，有CCC种分组方法，最后将3组分到3个地方有 A A:种分法，由分步计数原理，得共有CCAI=-180种，故选D 0≤4-≤， 2≤n≤4， 6.C由题意知 (n∈N"),即 0≤8-n≤n十1 ∈N),解得子≤≤4(n∈N),所以n=4,所以原式 变为C+C=6.故选C 7.C记事件A:(i=1,2,3)分别为“有把握答对的题”“有思路的题”“完全无思路的题”；事件B为“答对”，由题 意知PA)=,PA:)=冬，P(A)=令，P(BlA)=1,P(B1A)=号，P(B到A)=,所以P(B)= PA,)P(BlA)+PA)P(BA:)+PA)P(BA)=合XI+号×号+号×-2放选C 8.B设切点P(m,m一m),因为∫(x)=3.x2-1,故过点P的切线斜率k=∫(m)=32一1，所以切线方程为 y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m),将(-2，a)代入，得a-(m3-m)=(3m2-1)(-2-m),化简得2m3+6m2 十a一2=0，由题意知该方程有3个不同的解，令g(m)=2m3+6m2十a一2，则g(m)=6m2+12m,令g(m) =6m2+12m=0,解得m=0或m=一2，易得g(m)在（一∞，一2）和(0，十c∞)上单调递增，在(-2,0)上单调 递减，要使g(m)有3个零点，必有g(m)大值=g(一2)=a十6>0，且g(m)版小值=g(0)=a一2<0，解得-6< m<2.故选B. 9.ABDM中的偶数有A+A2AA3=60个，故A正确；M中数字1,2相邻的数有AAA=36个，故B正 确；M中数字2,4不相邻的有CA一CgAA=96一36=60个，故C错误：M中万位上是1或2的数有 AA=48,万位上为3，千位上为0的有A3=6,共54个数，故第55个数应为31024，故D正确.故选ABD. 1O,AC因为PA+B)=PA+P(B)-PAB),放PAB)=PA+PB)-PA+B)=号+-之=2 又PAP(B)=立，所以P(AB)=P(A)P(B,故A,B相互独立，PAB)=PAB 12 P(B) =专故A正确， 1 4 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第1页（共6页）】 25-X-635B ▣特▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 B错误；又P(A)=P(AB)+P(AB),所以P(AB)=P(A)-P(AB)=号-立==P(B),故D错误；因 为PB)=PAB)+PB),所以PB)=P(B)-PAB)=号-b=合，又PA=寸，故P=1- PA=号，所以P(B=-喜=子故C正确故选AC P(A) 2 3 1.ABD由y=号9-7，得9y=9-21,当9-≥0，即-3<<3时，原方程可化为号+y=1:当9 一<0，即x<-3或x>3时，原方程可化为亏-y-1,故曲线E为椭圆号+y=1与双曲线号一y=1 在x轴上及其上方部分组成的图形（如图所示），由图易得m2十≥1，故A正确：当k=0,0<t<1时，1与 E有四个交点，故C错误：当m>3时，点P为双曲线号-y=1右支除去x轴下方部分的曲线，点P到渐 近线x一3y=0的距离为m一，该距离不会超过点(3,0)到x一3y=0的距离，所以lm一3≤ V10 √/10 8二兴0，所以lm-3n<3,故B正确：当k=子时y=子x+,与亏+少=1联立消去得2x+6+ √/10 92-9=0,由△=362-4×2(92-9)=0，得=±2，由图知1=2，且当1<1<2时，l与E有3个交点， 故D正确.故选ABD. 12.0.6由题意得X~N(1,2),又P(X>3)=0.2,所以P(X<-1)=P(X>3)=0.2,所以P(-1≤X≤3)= 1-P(X<-1)-P(X>3)=1-0.2-0.2=0.6. 13.8（x+)）”的展开式的通项T+1=Cx一x=Cx,将Cx一分别与前面因式中的两项相乘，得 Cx一3r,C%x一3+2，因为展开式中没有常数项，所以n一3r≠0，且n一3r+2≠0，即n≠3r,且n≠3r一2(0≤ ≤n,r∈N),又6≤n≤10，所以n=8. 14.18设点A(a,b),B(d,-c),由题意得点A,B均在圆x2+y=9(圆心为原点O,半径为3)上，OA.O克= ad-bc=9,又OA.OB=|OAIIOBIcos∠AOB=9cos∠AOB=9,所以cos∠AOB=1,又∠AOB∈[0，TJ,所 a=d, 以∠AOB=O,所以点A,B重合，所以 所以|a+b-6l+lc+d-6l=la+b-6l+la-b-6l= b=-c. @(拾l+后创)，又中修，产分别表示点A到直线钱4：十y一6=0和么：一y一6 2 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第2页（共6页）】 25-X-635B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 =0的距离，设这两个距离分别为m,n,易得l1⊥2，故m2+=|AM(M为l1,l2的交点)，所以m十n≤ √2(m+m)=2|AM,当且仅当m=n时等号成立，易求得|AM川=9，所以|a十b-6|+|c十d-6|的 最大值为2×9√2=18. 15.解：(I)记前两次摸出的球均为黑球为事件A,则P(A)=AA=点 A 14 ，…5分 (2)X的取值有0,1,2,3， 6分 PX=0)-g=0,P(X-1-e-器， C281 8分 PrX=2=9-品，PX-3-8- 10分 故X的分布列为： 0 1 3 15 8 器 品 所以BX)=0×亮+1×号+2x号+3 9 56 0000000*0000040004000040004*000。 13分 16.解：由题意知BC,BA,BB两两垂直，以B为坐标原点，直线BC,BA,BB分别为x轴、y轴、之轴建立如图 所示的空间直角坐标系，则 B0,0,0),C(23,0,0),C(23,0,2),D(0,2,1),所以BC=(25,0,2), Bd=(0,2,1),BC=(23,0,0). …3分 m·BC=0,f23x=0, 设平面BCD的一个法向量m=(x,y,x),则 即 m·BD=0,(2y十x=0. 令y=1,得x=0,x=一2，所以m=(0,1,一2). …6分 (I)设BC与平面DBC所成角为0， 听以血0=o(武ml一C网-号即G与平面BcD所成角的正弦值为号 5· …9分 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第3页（共6页）】 25-X-635B 夸克扫描王 极速扫描，就是高效 n·BD=0, (2)设平面BC1D的一个法向量n=(a,b,c),则 n·BC=0, 2b+c=0, 即 令b=√3，得a=2,c=-23,所以n=(2,3,-23), 12分 (2√3a+2c=0, 设平面BCD与平面BCD的夹角为a, m·n-53 所以cosa=m·175X√丙 =V285 19 即平面BCD与平面BC,D夹角的余弦值为2】 440…4*44…440t0040*404400**04044*+*440444 19 15分 17.解：(1)记事件A,(i=1,2,3)为“A部门员工第i轮培训获得‘优秀”，事件B为“A部门的员工经过培训能 应用DeepSeek'”, …1分 所以P(B)=P(A1A2A3+A1A2A+A1A2A+A1A2A) =P(AAA)+P(AA2A)+P(AA2A)+P(AA2A3).... 3分 =是×号×2+是×号×(1-)+是×(1-号)×2+(1-)×号×2=是…5分 所以10×号≈70， 所以估计A部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数约为T0人.…7分 (2)设A部门有x(x∈N)人调至其他部门，X为A部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数， 则X~(10-x2贵》)，所以EX0-17102 24 ,…10分 所以A部门在人员调整后的年利润为17100-2×10+7100-卫×6-(10一×1 24 24 =47100-边（万元），… 6 13分 由题意得4710型≥10×6，解得x<19≈28.4 6 所以要保证A部门人员调整后的年利润不低于调整前的年利润，最多调出23人.…15分 18.(1)解：函数f八x)的定义域为(0，十oo),且了(x)=k-1=-」 …1分 * 因为x∈(0，十∞)，所以当k≤0时，了(x)<0,故(x)在(0，十∞)上单调递减； 3分 当>0时，令fx>0,得x>太；令了()<0，得0<<分 4分 所以八)在(0，太)上单调递减，在（是，+∞）上单调递增。 综上所述，当≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减： 当>0时，八x)在(0，)上单调递减，在（合，+∞）上单调递增。 6分 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第4页（共6页）】 25-X-635B Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 (2)解：当k=1时，f(x)=x-lnx,所以g(x)=x-ln(x+1)十1-a, 所以gx)的定义城为(-1，十o),g()=1一帝 7分 令g(x)<0,得-1<x<0,令g(x)>0,得x>0, 所以g(x)在（一1,0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以g(x）mm=g(0)=1一a,… 9分 显然当x→十o∞时，g(x)→十o∞， 又g(x)存在零点，所以1一a≤0，所以a≥1，即a的取值范围为[1，十∞).…10分 (3)证明：由(2)知当a=1时，g(x)=x-ln(x+1)≥0，当且仅当x=0时等号成立， 所以Hx∈(0，+o∞)，ln(x+1)<x, …11分 取x=(i=1,2,3…,n,有n(1+）<(=1,2,3,,m）,…13分 所以h(1+是)+h(1+导)+n(1+是)+…+hn(1+)<分+是+是+…+是 ,…14分 (n+1) 所以m[(1+)(1+是)(1+是)-(1+是）)门]<1+2+++= =+1 n 2n 所以(1+是)(1+是)(1+是）(1+是)<安=6). …17分 19.解：(1)(1)由题意知b2=b+2=3,b=b2+1=4,b=b3+2=6, 故b3=4,b=6。… …3分 （ⅱ)由题意知b+1=b2s十1=b2-1十3，所以数列{b2-1}是以1为首项，3为公差的等差数列，故b-1=b十 3k-1)=3k-2,令n=2k-1,得么=号0-号(n为奇数0…4分 b+2=b24+1十2=b:十3，所以数列{bs}是以3为首项，3为公差的等差数列，故bs=b血十(k一1)3=3k, 令n=2k,解得6=号n为偶数， 3 21 乞”为奇数， 所以bn= ...... 5分 3 ，n为偶数。 当n为偶数时，Sn=b十b2十bs十…十bn=b十b十…十br-1十b2十b+…十b =21+3+…+m-1D-含·受+受(2+4++m)=是+受： 当n为奇数时，S=S1-a1=是a+12+空-号(a+1)=是+受-子， 2 子+号-n为奇数， …7分 +受，n为偶数。 3 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第5页（共6页）】 25-X-635B Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 当n为奇数时，S<㎡，即之-证+易+是=-（分-）‘+1=m, 时，λf代(）x=l;… 当1为偶数时，S≤，即入号十=g(0）,…9分☐ 当n=2时，λ≥g(n)mx=1. 综上所述，存在实数λ，使得Hn∈N",Sn≤n2,且A的取值范围为[1，十o∞). …10分 (2)c2+1=c2十2=c2w-1十2，所以数列{c2-1}是以9为首项，2为公差的等差数列， c2r1=q+(n-1)X2=21-1,c2n=c2-1=21-1, aa2w-l2+D=(22） 1=1 1 …11分 当n为偶数时，令n=2k, A=Aa=品+d+6品+d+叶oaa十aa C2k-1C2+1C2c2+2 =2(品+品+…+aan）=2x专×1-言+方吉++) =1一2k+' …12分 因为>1，且1-2中}为递增数列，所以1-2中∈[号1)，即A∈[号，) 不等式-㎡+mA一+2>0恒成立，即(m一A,)(m+是)<0恒成立，即 -是<m<A,恒成立，所以-2≤m<导号 …14分 当n为奇数时，令n=2k一1，An=Aw-1=A% =A-=1-(十中)： C24C2+2 C2-1C2k+1 因为白十中}为递减数列，所以0<一十中≤分， 所以1-2(2欢白十2k中)∈[3)小，即A∈[号，1以.… …15分 不等式-㎡+mA.一咒+2>0恒成立，即(m一A)(m+是)<0恒成立，即 -是<m<A,恒成立，所以-2≤m<号 综上所述，m的取值范围为[-2，号） 17分 【高二4月期中提升考·数学(A卷)参考答案第6页（共6页）】 25-X-635B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效