专题5.1 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.1 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解.......................................................3 【题型2】利用矩形的性质求角度.................................................5 【题型3】根据矩形的性质求线段长...............................................7 【题型4】根据矩形的性质求面积................................................10 【题型5】利用矩形的性质证明..................................................13 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标..............................................17 【题型7】矩形与折叠问题......................................................20 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解..................................................23 【题型9】添一条件使四边形是矩形..............................................25 【题型10】证明四边形是矩形...................................................29 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度.........................................32 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长.......................................35 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积.........................................38 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................41 【题型15】拓展延伸...........................................................44 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 【题型2】利用矩形的性质求角度 ★【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； ∴的度数为． 【变式1】（2025·湖南·二模）如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． ★【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、矩形的性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点，由矩形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，再由平行线的性质即可得解． 解：如图，延长交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵直线， ∴， 故答案为：． ★【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． （1）连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 解：（1）连接，如图， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵四边形为矩形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， 即线段的长为； 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理等．根据题意可得，再在和中应用勾股定理列式计算即可． 解：∵矩形，，， ∴，， ∴由勾股定理得， 设， ∴在中：， ∴在中：， 解得：， ∴， 故选：C． ★【变式2】（2025·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接．根据点是边上的中点，则，推出四边形是平行四边形，所以，因此，当、、三点在同一直线上时，最小，即，根据勾股定理即可求解． 解：如图，取的中点，连接． ∵点是边上的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴， ∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小， 在中，由勾股定理得， ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质,掌握平行四边形的性质与矩形的性质是解题的关键． 【题型4】根据矩形的性质求面积 ★【例4】（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交与于点P（点P在线段上，且不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为点C，D． （1）当矩形的面积为1时，试求点P的坐标； （2）在（1）成立的条件下，试求函数的解析式； 【答案】（1）或；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解答本题的关键是进行数形结合进行解题． （1）设，则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求得点P的坐标； （2）将P点坐标代入正比例函数，即可求得正比例函数的解析式． 解：（1）解：点在一次函数的图象上， 可设， 由题意得， 整理得， 解得：， 或． 或时，矩形的面积为1． （2）解：当时，则，解得， 正比例函数解析式为； 当时，则，解得， 正比例函数解析式为； 故函数的解析式为或； 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接，由矩形和三角形面积的关系可得：，，从而得到，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论． 解：如图，连接， 是边上一点， ， 是边上一点， ， ， ， ， 即． 故选：C． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，证明为等边三角形，进而得到，在中求出的长，利用矩形的面积公式进行求解即可． 解：∵矩形的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴该矩形的面积是； 故答案为：． 【题型5】利用矩形的性质证明 ★【例5】（2025·陕西榆林·二模）如图，线段在矩形内，点在点的左侧，连接，，，，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据矩形的性质可证：、，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 解：证明：四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 在和中， ， ， ． ★【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． ★【变式2】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 ★【例6】（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． （1）分别写出点、、的坐标； （2）若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【答案】（1）、、；（2） 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，函数图像上点的坐标特征， （1）根据矩形的性质及轴可得轴，再由平移的性质可得结论； （2）确定当直线分别经过点和时所对应的的值，可得结论； 确定直线经过特殊点所对应的的值是解题的关键． 解：（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴，，，，， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴点向右平移得到点，再向上平移得到点；点向上平移得到点， ∴、、； （2）当直线经过点时， 得：， 解得：； 当直线经过点时， 得：， 解得：； ∴直线与长方形有交点，的取值范围为． ★【变式1】（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 【题型7】矩形与折叠问题 ★【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质以及中点四边形的综合应用，找出三角形全等的条件是解题的关键．解题时注意：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，以及对角线相等的四边形的中点四边形是菱形． （1）连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）设，表示出，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； 解：（1）连接，如图， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴； （2）∵四边形为矩形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， 解得， 即线段的长为； ★【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形中，，，点为边中点，点为线段上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，过点作于，则，根据勾股定理求得，设，则，，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：A． ★【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，小明把矩形纸片沿折叠（点始终在边上，点始终在边上），使点和落在边上同一点处，点、的对称点分别是、．若点左右移动时，折痕也随之变化，当为等腰直角三角形时，矩形长宽之比为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点P作于点M，首先得到，，设，表示出，然后表示出，进而求解即可． 解：如图所示，过点P作于点M ∵为等腰直角三角形 ∴， 设 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴矩形长宽之比为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 ★【例8】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 【变式1】（20-21八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． ★【变式2】（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 解：A、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． （1）求证： （2）添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识； （1）根据题意得到，推出，再结合判定即可求出； （2）连接，与交于点O，根据题意证出四边形是平行四边形，即可求出． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， （）； （2）添加条件为：．理由如下， 连接，与交于点O．如图所示∶ ∵四边形是平行四边形，     ∴， 又∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴平行四边形为矩形． 【变式1】（2025·江苏南京·模拟预测）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，证明四边形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断A不符合题意；由，，证明四边形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断B不符合题意；由，，，证明，得，可知四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断C符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 解：如图1，，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 故A不符合题意； 如图，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故B不符合题意； 如图， 在和中， ， ， ， ， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 不能保证四边形是矩形， 故C符合题意； 如图，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故D不符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．添加一个条件，使四边形为矩形，这个条件可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线间的距离相等，平行线的性质，矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，首先根据和得到，然后结合得到且，即可证明四边形是矩形． 解：如图所示，添加． ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴且 ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型10】证明四边形是矩形 ★【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知：如图，E是外一点，且． 求证：四边形是矩形． 【答案】见分析 【分析】本题考查平行四边形的性质，斜边上的中线，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： 连接、，设、相交于点，连接，根据斜边上的中线得到，，进而得到，即可得证． 解：证明：连接、，设、相交于点，连接，则：， 在中，是斜边的中点， 所以． 同理，在中，， ， ，即， 是矩形． ★【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． ★【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识内容是解题的关键；过点D作于点F，过点E作于点H，设，则，根据矩形的性质和翻折的性质可知，根据即可求解． 解：过点D作于点F，过点E作于点H，如图， ∵在矩形纸片中，， ∴设，则， ∴， 由折叠，得，， ∵， ∴，解得， ∴ ， 同理可得：，从而得； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 ★【例11】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： ★【变式1】（18-19八年级下·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为（   ） A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°- 【答案】D 【分析】如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-. 解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠α 由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC ∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90° 又∠AEO=∠β， ∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°， ∴∠α+∠β+90°=180°， ∴β=90°- 故选D. 【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键. ★【变式2】（2021·陕西西安·二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ． 【答案】18° 【分析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°，利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可． 解：∵四边形ABFG是矩形， ∴∠GAB=90°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB=108°， ∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB =108°-90° =18°, 故答案为:18°． 【点拨】本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关键． 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 ★【例12】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）作于F，若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 解：（1）证明：∵中，，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分，，， ∴． 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ★【变式1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形的中位线定理，取的中点，取的中点，连接，可推出四边形是矩形，得到M为的中点；进而可得当点P从点B运动到点C，点从点运动到点，据此即可求解； 解：取的中点，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵M为的中点， ∴M为的中点， ∴当点P从点B运动到点C，点从点运动到点， ∵的中点为，的中点为， ∴是的中位线， ∴， 即：点M运动的路径长为， 故选：D ★【变式2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，连接，交于点G，若平分，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，过点F作于点M，易证四边形是矩形，得到，先利用勾股定理求出，设，则，由，推出，结合矩形的性质，推出，得到，进而求出，再求出，利用勾股定理求出，利用角平分线的定义结合矩形的性质易证，推出，即可得到结果． 解：如图，过点F作于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 ★【例13】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 【答案】（1）详见分析；（2）44 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 解：（1）证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． ★【变式1】（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． ★【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知四边形中，对角线相互垂直，，顺次联结这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 解：如图， 、、、分别为各边的中点，，， ，，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：4． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 ★【例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即， 故选：B． ★【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（    ）      A．12 B．15 C．17.5 D．20 【答案】D 【分析】当时，点在点处，可得，当点在点处时，可知此时取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点运动到点，过点作于点，结合图象有：，在中，，据此即可作答． 解：当时，点在点处，， ∴结合图象有：，即， 当点在点处时，， 如图，连接， ∴，， ∴可知当点运动到点时，取最小值， ∴结合图象有：， ∵在中，， ∴， ∴解得：或者， ∴或者， ∵， ∴，， 当时点运动到点，过点作于点，如图， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵结合图象有：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴解得：， ∴， ∵点沿折线以每秒个单位长度的速度从点匀速运动到点， ∴当时，点运动到点， 故选：． 【点拨】此题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解题的关键． ★★【例2】（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； （2）根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 解：（1）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解.......................................................3 【题型2】利用矩形的性质求角度.................................................3 【题型3】根据矩形的性质求线段长...............................................4 【题型4】根据矩形的性质求面积.................................................5 【题型5】利用矩形的性质证明...................................................6 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标...............................................6 【题型7】矩形与折叠问题.......................................................7 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解...................................................8 【题型9】添一条件使四边形是矩形...............................................9 【题型10】证明四边形是矩形....................................................9 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度.........................................10 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长.......................................11 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积.........................................12 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................13 【题型15】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“”难度系数0.65，“”难度系数0.4，“”难度系数0.15. 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】利用矩形的性质求角度 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【变式1】（2025·湖南·二模）如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【变式1】（2025·甘肃兰州·一模）如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【变式2】（2025·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点，是对角线上的两点，，点是的中点，则的最小值为 ． 【题型4】根据矩形的性质求面积 【例4】（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交与于点P（点P在线段上，且不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为点C，D． （1）当矩形的面积为1时，试求点P的坐标； （2）在（1）成立的条件下，试求函数的解析式； 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，矩形的对角线与相交于点，，已知，则该矩形的面积是 ． 【题型5】利用矩形的性质证明 【例5】（2025·陕西榆林·二模）如图，线段在矩形内，点在点的左侧，连接，，，，，，求证：． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． （1）分别写出点、、的坐标； （2）若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【变式1】（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【题型7】矩形与折叠问题 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形中，，，点为边中点，点为线段上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，小明把矩形纸片沿折叠（点始终在边上，点始终在边上），使点和落在边上同一点处，点、的对称点分别是、．若点左右移动时，折痕也随之变化，当为等腰直角三角形时，矩形长宽之比为 ． 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 【例8】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【变式1】（20-21八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D在边上，，，则当 时，四边形是矩形．    【变式2】（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． （1）求证： （2）添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 【变式1】（2025·江苏南京·模拟预测）已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，．添加一个条件，使四边形为矩形，这个条件可以是 （填一个即可）． 【题型10】证明四边形是矩形 【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知：如图，E是外一点，且． 求证：四边形是矩形． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，把该矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点E处，连接，则的值为 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 【例11】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【变式1】（18-19八年级下·山东济南·期末）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为（   ） A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°- 【变式2】（2021·陕西西安·二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ． 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）作于F，若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，P为边上一动点于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别为边，上的点，连接，交于点G，若平分，，则的长为 ． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 【例13】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）已知四边形中，对角线相互垂直，，顺次联结这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作： 第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平． 第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图1，在矩形中，点E为上的一点（），点P沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．设运动时间为t，，图2是点P运动时y随t变化的关系图象（当时点P运动到点D），则a的值为（    ）      A．12 B．15 C．17.5 D．20 【例2】（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$