专题5.7 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.7 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解......................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度..............................................4 【题型3】根据正方形的性质求线段长............................................7 【题型4】根据正方形的性质求面积.............................................11 【题型5】求正方形重孴部分面积...............................................14 【题型6】根据正方形的性质证明...............................................18 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解...............................................23 【题型8】添一个条件使四边形是正方形.........................................25 【题型9】证明四边形是正方形.................................................27 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度......................................30 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长....................................35 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积......................................39 【题型13】根据正方形的性质与判定证明........................................42 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................48 【题型15】拓展延伸..........................................................52 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正方形和菱形的性质逐项判断即可． 解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意； B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意； C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025年湖北省黄冈市九年级中考调研考试数学试题）如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二元一次方程组的应用，理解正方形的性质，折叠的性质是解答关键． 先根据正方形的性质和折叠的性质得到，再利用比大得到，列出方程组即可求解． 解：设，， 四边形是正方形沿所在直线折叠后，点的对应点为点， ，， ． 比大， ， 列方程组为：． 故选：A 【变式2】（2025·湖南·二模）瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．若点的坐标为，则点的坐标可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，原点对称的点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 由正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点与点关于原点对称，然后根据关于原点对称点的坐标规律即可求解． 解：∵正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合， ∴点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【题型2】根据正方形的性质求角度 ★【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质得，，，则，再根据，得，进而可得的度数，掌握正方形的性质是解题的关键． 解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ★【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握正方形和等边三角形的性质，能根据题意画出图形，通过进行分类讨论得出结果是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质容易得出，易证，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理求出，再根据即可得到结果． 解：∵四边形正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． ★【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 由四边形是正方形，得，则，，，而，则，，所以可证明，得，则，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】根据正方形的性质求线段长 ★【例3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式的求法，首先根据直线的解析式求出点、的坐标，过点作轴，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标为，因为点是的中点，从而可得点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 解：当时，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为， ， 如下图所示，过点作轴，垂足为， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 点是的中点， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为， 设过、两点的直线解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 所求得直线解析式为． ★【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为（   ）． A．225 B．63 C．50 D．15 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，进而可得，证明，得出，由勾股定理就可以得出的值． 解：如图所示： 四边形①②③都是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， 正方形①②的面积分别是81和144， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． ★【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，正方形的边长为1，点P在边上，且，，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，根据正方形的性质和已知条件求出的长，再根据，，得出四边形是矩形，因而，最后根据，得出，从而得出答案． 解：如图，对角线与交于点， ∵正方形边长为1， ∴，， ∴； ∴，则， ∵，， ∴； 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型4】根据正方形的性质求面积 ★【例4】（23-24八年级下·河北保定·期末）四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，正方形当改变内角大小就变成菱形，若，请你写出菱形的面积与正方形的面积之比，再写出理由．    【答案】，理由见分析 【分析】本题考查了正方形及菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是得出菱形的高与边的关系．过点作于点，设正方形的边长为，根据正方形性质和菱形性质，可得，利用含30度角的直角三角形的性质得，再计算菱形和正方形的面积即可得解． 解：过点作于点，如图，    设正方形的边长为，则， 四边形为菱形 ， 在中，， ， ，， ． 答：菱形的面积与正方形的面积之比为． 【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，等边在正方形内，连接，若，则的面积是（　　） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作于点，根据正方形和等边三角形求得，，即可求出高，即可求解面积． 解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 解：过点作于点， 四边形是正方形， ， 由题意可得， 四边形为菱形， ， 设， ， ， ， 而， ， 变形后四边形的面积与原正方形面积之比为． 故答案为：． 【题型5】求正方形重孴部分面积 ★【例5】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见分析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 【变式2】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 【题型6】根据正方形的性质证明 ★【例6】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接． （1）若，请求出的长； （2）已知，若点P是的中点，连接，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，可证，得到，再证明，根据勾股定理即可求解； （2）连接，由（1）可得由是的中点，可得，由，可求，由，可证为等边三角形，可求，可证，可求即可解答． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴． （2）解：连接， 根据（1）可得， 在和 ， ∵点是的中点， ， 又， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ∴为等边三角形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内角和，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，三角形内角和是解题关键． ★【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，连接，将沿直线翻折得，延长交于点．则四边形的面积等于（    ） A．9 B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查正方形性质，翻折性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．根据题意连接，利用正方形性质可得，后利用翻折性质得，再证明，再利用勾股定理列式计算即可． 解：连接， 四边形是边长为6的正方形， ，， 将沿直线翻折得， ，，， ， 在和中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，且， ， ， ， 故选：B． ★【变式2】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）E，F分别是正方形边，上的点，．以，为边作，连结并延长交于点H，连结．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理；先证明，得四辺形是菱形，再证明是等腰直角三角形，作出辅助线得，再证明，得到，利用勾股定理即可求解． 解：如图，延长至，使得连接，    ∵四边形是正方形， ， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式1】（21-22八年级下·广东江门·期中）下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用正方形的判定方法分别判断得出即可． 解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，因为矩形对角线互相平分，而此时对角线互相垂直，故一条对角线为另一条对角线的垂直平分线，则得到邻边相等，故对角线互相垂直的矩形是正方形，故不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，根据菱形的对角线垂直且互相平分，此时对角线相等，则菱形被两条对角线分割成的四个直角三角形均是等腰直角三角形，继而得到菱形的一个内角为直角，因此对角线相等的菱形是正方形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，因为对角线互相垂直且相等的四边形有无数个，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·开学考试）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 解： ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； ★【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定,三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，熟知菱形和正方形的判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明结论； （2）根据当菱形的一个内角是时，该菱形是正方形，则可推出是等腰直角三角形，则有. 解：（1）解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． ★【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据正方形的判定添加条件即可． 解：四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型9】证明四边形是正方形 ★【例9】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F． （1）求证：． （2）连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2）当时，四边形为正方形．理由见分析 【分析】（1）由平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到条件即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，由得到四边形是菱形，再证明，即可得到结论． 解：（1）证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ 在和中 ∴ （2）当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）知， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ 菱形是正方形 【点拨】此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定逐项判断即得答案． 解：A、∵，，四边形可能是筝形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； B、，，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是 ． 【答案】 正方形 菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，折叠的性质，先画出图形，在根据菱形的判定，正方形的判定进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵剪口线与折痕夹角的角度为， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； 如图， 由题意得：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． （1）如图1，当为的中点时，求出的长． （2）如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 解：（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． ★【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 ★【例11】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． （1）如图1，若点在边上，的长为_______； （2）当三点在同一直线上时，求的长； （3）当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质可证四边形是正方形，即可求解； （2）根据折叠得到，在中运用勾股定理得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，即可求解； （3）根据题意可得，点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，当点三点共线时，的值最小，如图所示，在中运用勾股定理得到，由即可求解． 解：（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着直线折叠得到，点在边上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵折叠，点三点在同一直线上， ∴， ∴，，， ∴， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴的长为； （3）解：∵折叠， ∴， ∴，， ∴点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴当点三点共线时，的值最小，如图所示， 在中，， ∴， ∴线段的最小值为． 【点拨】本题主要考查矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长，最短路径的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． ★【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线； ④以同样的方法作射线交于点O，连接，则为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】直接利用勾股定理的逆定理求得，推出四边形是正方形，利用全等三角形的判定和性质得出，，，据此求解即可． 解：过点O作，，，垂足分别为D，G，， 由作图知点O是三个角的平分线的交点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点O是三个角的平分线的交点， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查三角形内心的定义和正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． ★【变式2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分两种情况：当点E在靠近点A的三等分点时和当点E在靠近点D的三等分点时，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 ★【例12】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）72 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 解：（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为∶． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． ★【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； 证明，由勾股定理算出，根据阴影部分面积为即可求解； 解：由折叠可得：， 是矩形， ， 是正方形， ， ， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．线段与是否存在特殊的位置关系或数量关系？证明你的结论． （2）将图①中的正方形沿线段、剪开，再把得到的4个四边形按图②所示拼成一个四边形．若图①中，则图②中阴影部分的面积为______． 【答案】（1），证明见详解；（2） 【分析】（1）先证明，可得出四边形是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形是正方形，即可作答． （2）再根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形，利用勾股定理求出和、的长，所的面积是10减去4个四边形的面积就是阴影部分的面积．此题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用全等三角形的性质． 解：（1），证明如下： 连接、、、； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1． ★【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． ★【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． ①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④根据②中，得出，则可得出，在中，根据勾股定理得出，得出，故④错误． 解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ，， ∵四边形是矩形， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④根据②中， ， ， 在中，，， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：≌； （2）求的大小． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）直接利用证明全等即可； （2）根据全等的性质，得出，再由，从而求出． 解：（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ≌； （2）解：由（1）知≌， ， ， ． 【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定． ★【例2】（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．  （1）若，求证：是等边三角形； （2）延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 【答案】（1）见分析；（2）①能为等腰三角形，；② 【分析】（1）由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）①根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点B不可能是等腰三角形的顶点，若点F是等腰三角形的顶点，则有，此时E与D重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于H，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到； ②由①知，，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，设，则，根据直角三角形的性质得到，推出，当当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设与交于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，求得，于是得到结论． 解：（1）证明：由轴对称的性质得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵于对称的线段为， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①∵于对称的线段为， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E是边上一动点， ∴， ∴点B不可能是等腰三角形的顶点， 若点F是等腰三角形的顶点， 则有， 此时E与D重合，不合题意， ∴只剩下了，连接交于H，    ∵ ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①知， 要求面积的最大值，即求面积的最大值， 在中，底边是定值，即求高的最大值即可， 如图2，过G作于P，连接，取的中点M，连接，作于N，      设，则， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 当G，M，N三点共线时，取等号， ∴面积的最大值， 的面积 如图3，设与交于Q，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点拨】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设，然后等量变换得到，进而证得，然后证得是等腰直角三角形，再证明，得到、、三点共线，再证明，得到点、分别为和的中点，然后设正方形的边长为，分别求得，，然后即可求解； 解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，由旋转可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在上取，连接， ，如图： ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴、、三点共线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点、分别为和的中点， 设正方形的边长为， ∴，， 在中，根据勾股定理，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C； ★★【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过D作于M，于N，先证明四边形是正方形可得，设，由勾股定理可得，则；如图：延长到G使，连接，则，易得可得，再证明可得即，则，最后根据勾股定理即可解答． 解：如图：过D作于M，于N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵， ∴， 如图：延长到G使，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解......................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度..............................................3 【题型3】根据正方形的性质求线段长............................................4 【题型4】根据正方形的性质求面积..............................................5 【题型5】求正方形重孴部分面积................................................5 【题型6】根据正方形的性质证明................................................6 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解................................................7 【题型8】添一个条件使四边形是正方形..........................................8 【题型9】证明四边形是正方形..................................................8 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度.......................................9 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长....................................10 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积......................................11 【题型13】根据正方形的性质与判定证明........................................12 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................13 【题型15】拓展延伸..........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“”难度系数0.65，“”难度系数0.4，“”难度系数0.15. 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的特征是（   ） A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分 C．是中心对称图形 D．有条对称轴 【变式1】（2025年湖北省黄冈市九年级中考调研考试数学试题）如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南·二模）瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是放置的正方形瓷砖，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．若点的坐标为，则点的坐标可表示为 ． 【题型2】根据正方形的性质求角度 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使， 连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    【题型3】根据正方形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）将正方形①②③按如图所示的方式摆放，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为（   ）． A．225 B．63 C．50 D．15 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，正方形的边长为1，点P在边上，且，，垂足分别为E、F，则的值为 ． 【题型4】根据正方形的性质求面积 【例4】（23-24八年级下·河北保定·期末）四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，正方形当改变内角大小就变成菱形，若，请你写出菱形的面积与正方形的面积之比，再写出理由．    【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，等边在正方形内，连接，若，则的面积是（　　） A． B．6 C． D．4 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ． 【题型5】求正方形重孴部分面积 【例5】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型6】根据正方形的性质证明 【例6】（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）如图，在正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上的一点，且，连接． （1）若，请求出的长； （2）已知，若点P是的中点，连接，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，连接，将沿直线翻折得，延长交于点．则四边形的面积等于（    ） A．9 B．12 C． D．18 【变式2】（21-22九年级上·辽宁锦州·期中）E，F分别是正方形边，上的点，．以，为边作，连结并延长交于点H，连结．若，则的长为 ．    【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（　　） A．两条对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式1】（21-22八年级下·广东江门·期中）下列说法不正确的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式2】（23-24九年级上·全国·开学考试）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是 ． 【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【变式1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图，在不添加辅助线的条件下，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ． 【题型9】证明四边形是正方形 【例9】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F． （1）求证：． （2）连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论． 【变式1】（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南郑州·一模）按如图所示，将一张矩形纸对折两次，然后剪下一个角保证剪口线与折痕夹角的角度为，将这个剪下的角打开，得到的图形是 ．如果剪口线与折痕夹角的角度不为，得到的图形是 ． 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． （1）如图1，当为的中点时，求出的长． （2）如图2，延长交于点，连接，求证：． 【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． （1）如图1，若点在边上，的长为_______； （2）当三点在同一直线上时，求的长； （3）当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，按以下步骤作图： ①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线； ④以同样的方法作射线交于点O，连接，则为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若点是的三等分点，，则的长为 ． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．线段与是否存在特殊的位置关系或数量关系？证明你的结论． （2）将图①中的正方形沿线段、剪开，再把得到的4个四边形按图②所示拼成一个四边形．若图①中，则图②中阴影部分的面积为______． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点E为正方形对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连结．给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点． （1）求证：≌； （2）求的大小． 【例2】（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．  （1）若，求证：是等边三角形； （2）延长，交射线于点G； ①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； ②若，求面积的最大值，并求此时的长． 【题型15】拓展延伸 【例1】（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，则的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$