数学（甘肃兰州卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

11 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 18. （4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（6分） 23. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6分） 26.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C C D A A A B D A D B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【详解】解：．.........................（4分） 18.【详解】解：， ①②，得③， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是．.........................（4分） 19.【详解】解： ，.........................（3分） ，， 原式．.........................（4分） 20.【详解】（1）解：将代入，得：， 反比例函数解析式为， 把，代入一次函数， 得， 解得， 一次函数解析式为；.........................（3分） （2）解：点C坐标为，点P在反比例函数的图象上， 设P点坐标为， ， ， 解得：或， 又点P在第三象限， 点P坐标为．.........................（6分） 21.【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即；.........................（2分） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形．.........................（6分） 22.【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为 ∵抛物线经过点， ∴， 解得： ∴该抛物线的表达式为：.........................（3分） （2）解：∵， ∴点C的横坐标为30． ∴当时， ∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ．.........................（6分） 23.【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直；.........................（2分） （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；.........................（4分） （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形．.........................（6分） 24.【详解】（1）解：七年级40名学生成绩的中位数为第20、21名成绩的平均数，且分有人， ， 故答案为：83；.........................（2分） （2）解：甲学生在该年级的排名更靠前． 七年级学生甲的成绩高于中位数，其名次在七年级20名之前， 八年级学生乙的成绩等于中位数84分，其名次在八年级20或20名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前；.........................（4分） （3）解：（人） 估计七年级成绩高于82分的人数为200人．.........................（6分） 25.【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴，.........................（2分） 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为．.........................（6分） 26.【详解】（1）证明： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵在中， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线．.........................（3分） （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴．.........................（7分） 27.【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． ∴抛物线的表达式为；.........................（2分） （2）解：如图， 设点P的坐标为（）， 结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为；.........................（5分） （3）解：由题意得，． 如图，在上方作．使得，，连接， ∵点B的坐标为，轴， ∴，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴（当M，Q，B三点共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∵， ∴． ∴的最小值为．.........................（8分） 28.【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴；.........................（3分） （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ；.........................（6分） （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ．.........................（9分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 12个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分） 18. （4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（6分） 22.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（6分） 23. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（7分） 27.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 2．一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移（如箭头所示），则木桩上升了（　　） A． B． C． D． 8．已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解： ． 14．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．    15．阿基米德说：  “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面 ． 16．如图，在中，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（4分）解方程组： 19．（4分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得的面积为18，求点P的坐标． 21．（6分）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 22．（6分）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 23．（6分）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 24．（6分）某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各班随机抽取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 七年级成绩在这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89． 七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 82 m 八 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为__________； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩高于82分的人数． 25．（6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 26．（7分）如图，△ABC内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 27．（8分）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 28．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 2．一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移（如箭头所示），则木桩上升了（　　） A． B． C． D． 8．已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解： ． 14．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．    15．阿基米德说：  “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面 ． 16．如图，在中，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 18．（4分）解方程组： 19．（4分）先化简，再求值：，其中，． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得的面积为18，求点P的坐标． 21．（6分）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 22．（6分）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 23．（6分）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 24．（6分）某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各班随机抽取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 七年级成绩在这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89． 七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 82 m 八 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为__________； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩高于82分的人数． 25．（6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 26．（7分）如图，△ABC内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 27．（8分）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 28．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 2 / 24 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2．一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：151.7亿用科学记数法表示为， 故选：C． 3．已知，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，同底数幂的乘法运算，先把化简，再把a的值代入，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 4．一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质得，进而由对顶角性质得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解． 【详解】解：， 即他遇到红灯的概率为． 故选：A 6．已知一元二次方程配方后可变形为，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：A 7．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移（如箭头所示），则木桩上升了（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的应用，设木桩上升了，根据，即可求解． 【详解】解：设木桩上升了，由已知图形可得：， 木桩上升的高度． 故选：A． 8．已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【详解】函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象在二、四象限， 、、在这个反比例函数的图象上， 点、在第二象限，点在第四象限， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可． 【详解】解：设上等稻子每捆能打斗谷子，下等稻子每捆能打斗谷子，根据题意得： ． 故选：D 10．如图，是半圆的直径，点是的中点，连接，，于点．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，．由圆周角定理可得，根据点是的中点，可知，即可证为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 11．已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 12．如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接，连接交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 当运动到时，最小， 由图得：当时，， 此时与重合，与重合， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时， ， 函数图象最低点坐标为， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后再用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员的身高如图．比赛中，由身高的14号和身高的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高的方差设为，与首发5名队员身高的方差相比较有 （填“＞”，“＜”或“＝”）．    【答案】 【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是掌握定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．利用方差公式计算，然后比较大小即可． 【详解】解：首发5名队员身高为：211，180，182，190，175， 由身高的14号和身高的10号上场，换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高为：201，180，182，190，185， 首发5名队员身高的波动大， 首发5名队员身高的方差大于此时5名队员身高的方差． 故． 故答案为：． 15．阿基米德说：  “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 端此时距地面， 故答案为：． 16．如图，在中，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 根据勾股定理，得， ∴， ∴点与点B之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先化简各式，然后再进行加减计算即可解答． 【详解】解：． 18．（4分）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①②，得③， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 19．（4分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用分式的混合运算法则化简得到化简结果，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得的面积为18，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）将代入，即可确定，将，代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， 反比例函数解析式为， 把，代入一次函数， 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：点C坐标为，点P在反比例函数的图象上， 设P点坐标为， ， ， 解得：或， 又点P在第三象限， 点P坐标为． 21．（6分）已知：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，且，延长分别交延长线于点H、G． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再证明推出，则； （2）先导角证明，则可证明，证明，进而可证明，，再证明，得到，即可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 22．（6分）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)梭梭树较茂密地带宽度CE的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等． （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为 ∵抛物线经过点， ∴， 解得： ∴该抛物线的表达式为： （2）解：∵， ∴点C的横坐标为30． ∴当时， ∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ． 23．（6分）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 24．（6分）某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各班随机抽取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： 七年级成绩在这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89． 七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 82 m 八 83 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为__________； (2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩高于82分的人数． 【答案】(1)83；(2)甲学生在该年级的排名更靠前．理由见解析(3)200人 【分析】本题考查了中位数的定义和意义，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数的意义分析即可； （3）用七年级人数乘以成绩高于82分的学生占比即可． 【详解】（1）解：七年级40名学生成绩的中位数为第20、21名成绩的平均数，且分有人， ， 故答案为：83； （2）解：甲学生在该年级的排名更靠前． 七年级学生甲的成绩高于中位数，其名次在七年级20名之前， 八年级学生乙的成绩等于中位数84分，其名次在八年级20或20名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前； （3）解：（人） 估计七年级成绩高于82分的人数为200人． 25．（6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 26．（7分）如图，△ABC内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查切线的判定，正切值的计算，掌握直径所对圆周角为直角，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，正切值的计算方法是关键． （1）连接，由直径所对圆周角为直角得到，由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角得，根据垂直的定义得，根据等边对等角得，则，，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得，在中，，可得，根据角的计算得到，则，在中，，则，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵在中， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 27．（8分）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解； （3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设点P的坐标为（）， 结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由题意得，． 如图，在上方作．使得，，连接， ∵点B的坐标为，轴， ∴，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴（当M，Q，B三点共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∵， ∴． ∴的最小值为． 28．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 2 / 24 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$