精品解析：云南省曲靖市云南煤炭第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2025年下学期云南煤炭二中高一期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A、B，再根据集合交并补运算直接计算即可判断. 【详解】，， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D 2. 已知为两条直线，为两个平面，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通过举例说明，得不出，即可得出结果. 【详解】若，因为，所以，即由可以得到， 若，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面， 取为直线，为直线，显然有，，但与不垂直，即由得不到， 故选：A. 3. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 4. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（ ） （，） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，再根据条件计算即可. 【详解】根据题意有：， ∴. 故选：C. 5. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以借助同角三角函数公式将化简为，再根据两角差的正弦公式将转化为，最后根据二倍角公式将转化为，即可得出结果． 【详解】， ，故选D． 【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查同角三角函数公式、两角差的正弦公式以及二倍角公式，考查推理能力，考查化归与转化思想，提高了学生对三角函数公式的使用能力，是中档题． 6. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ，使得 C. ，与的夹角小于 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】因为，， 又， 所以.故正确； ，若，则， 解得，即当时，，故错误； 设与的夹角为，则， 当时，，夹角为，故C错误； 因为， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：. 7. 复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数除法、复数乘方运算化简，进而求得，由此确定正确选项. 【详解】由于，所以 ， 所以，对应的点为在第四象限. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的乘方，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题. 8. 设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定定义，利用复合函数的单调性确定的单调性，再利用对数函数的性质及一元二次方程实根分布求解作答. 【详解】依题意，函数定义域为R，令，显然， 函数在上单调性与在R上单调性相同，则函数在R上单调递增， 显然，而当时，函数不满足条件②，因此， 由于函数在上的值域为，则，即， 于是是方程的两个不等实根， 令，当时，则方程有两个不等的正实根， 因此，解得； 当时，则方程在上有两个不等的正实根， 则，无解； 所以t的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合三角函数的对称性以及周期性，可得ABD的正误；根据函数图象的变换，可得C的正误. 【详解】由题可知，最小正周期为， ，，令， 点是的一个对称中心，A正确； ， 函数在区间上单调递增，B正确； ，C错误； ， 当，函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是 C. 若，则的最小值为 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实根必为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的乘法与复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的概念、复数的运算以及复数的概念可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项；设是方程的实数根，代入方程并整理可得，利用复数相等可得出关于、的方程组，解出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，因为，， 则， 所以，复数的虚部为，故B错误； 对于C选项，因为，则， 当且仅当时，等号成立，即取最小值，C对； 对于D选项，设是方程的实数根，代入方程并整理可得， 由复数相等的条件可得，解得或，故D错误； 故选：AC． 11. 如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 点存在无数个位置满足 B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为 C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30° D. 点存在无数个位置满足平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A； 由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B； 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C； 证明平面平面，即可判断D. 【详解】解：对于A，连接 由正方体的性质可得，平面 则平面 当点上时，有 故点存在无数个位置满足，故A正确； 对于B，由已知 当点与点重合时，点到面的距离最大 则三棱锥的体积最大值为，故B正确； 对于C， 连接 因为，所以为异面直线与所成的角 设正方体棱长为1，，则 点到线的距离为， 解得 所以在线段上不存在点，使异面直线与所成的角是，故C错误； 对于D，连接 ， 四边形为平行四边形，则 平面，平面 平面，同理可证平面 ，平面 平面平面 若，平面，则平面，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平行的判断，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为与的夹角为钝角，所以 所以，解得：， 且与不反向共线， 即，解得：， 综上：， 故答案为：. 13. 已知函数,且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，函数y＝f（x）与直线 y＝a有两个交点，数形结合可求得实数a的范围． 【详解】当x≤0时，0＜2x≤1，当x＞0时，log2x∈R．画出f（x）的图像 所以，由图象可知要使方程f（x）﹣a＝0 有两个实根， 即函数y＝f（x）与直线 y＝a有两个交点，所以 0＜a≤1， 故答案为 （0，1]． 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 14. 已知，函数的值域为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果. 【详解】的值域为， ， ， ， ， 当，即是等号成立， 所以的最小值为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 【答案】三种情况，a-b的取值范围都是 【解析】 【分析】对于①，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于②，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果；对于③，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同①得到结果. 【详解】函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx ， 函数的最小正周期为π，则，， 当[0，]，， ，故c=3, 若选①，acosB+bcosA=cosC, 由正弦定理得 可得， , 又C为三角形内角，则， 由正弦定理得， ∴，， 则 , 因为 故. 若选②，2asinAcosB+bsin2A=a， 由正弦定理得， ， ， 又C为三角形内角，则，（舍去）， 由正弦定理得， ∴，， 则 , 因为 故. 若选③，△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)， 可得, , , 又C为三角形内角，则， 由正弦定理得， ∴，， 则 , 因为 故. 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于中等题. 16. 如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N． （1）求的值； （2）若Q是的中点，求的取值范围； （3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将向量分解为，利用向量垂直和数量积的运算即可求解； （2）由O为中点可得，再由和的范围计算即可； （3）令，由向量共线的判断可得点T在BC上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可． 【详解】解：（1）由正方形可得 所以； （2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点． 所以O为中点，所以 所以． 因为Q是BC的中点， 所以， 所以， 即的取值范围为；  （3）令，由知点T在BC上， 又因为O为中点， 所以，从而， 因为， 所以， 即的最小值为 【点睛】本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量的基本运算，向量的模及向量共线的判定与证明，向量的几何运用． 17. 已知． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点，． ①求的取值范围； ②求的值． 【答案】（1）（）；（2）①或；②． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可； ②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】解析：（1） 结合正弦函数的图象与性质， 可得当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为（） （2）①令，当时，， （如图）． 要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或． ②设，是函数的两个零点（即，）， 由正弦函数图象性质可知，即． ， ． 18. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面 ，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）存在，证明如下： 取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数，其中为实数． （Ⅰ）当时，求函数的最小值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或； （3）当时，的取值范围为； 当时，的取值范围为； 当时，的取值范围为． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题可知 当时，，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值； （Ⅱ）因为在上为增函数，分，，三种情况讨论即可 （Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数，所以 ，令，分，两种情况具体讨论即可． 【详解】解： (Ⅰ) 当时， 所以当时有最小值为 ； 当时，由得， 所以当时，函数的最小值为 （Ⅱ）因为在上为增函数， 若，则在上为增函数，符合题意； 若，不合题意； 若，则，从而 综上，实数的取值范围为或． （Ⅲ）因为 ，则 在 上为减函数，在上为增函数， 所以 ，令 1、若 ，则，由 知且 所以 令 ，则 在 ，上为增函数， 在，上为减函数 (1)当时，且 , 则 在 ，上为增函数，在，上为减函数 从而当且 所以 或 (2)当时，且 , 则 在 ，上为增函数，在上为减函数 从而当且 所以 或 (3)当时，且 , 则 在 ，上为增函数， 从而当且 所以 或 2、若 ，则，且 因为 综上所述， 当时，的取值范围为； 当时，的取值范围为； 当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期云南煤炭二中高一期中 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为两条直线，为两个平面，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 4. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟（ ） （，） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ，使得 C. ，与的夹角小于 D. ，使得 7. 复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在（），使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（，是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 10. 下列命题正确的（ ） A. 若复数，则 B. 若，，则复数的虚部是 C. 若，则的最小值为 D. 已知，若关于的方程有实数根，则实根必为 11. 如图，点是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 点存在无数个位置满足 B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为 C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30° D. 点存在无数个位置满足平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 13. 已知函数,且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________． 14. 已知，函数的值域为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在①acosB+bcosA=cosC；②2asinAcosB+bsin2A=a；③△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 16. 如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N． （1）求的值； （2）若Q是的中点，求的取值范围； （3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值． 17. 已知． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有两个零点，． ①求的取值范围； ②求的值． 18. 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. （1）在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. （2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，其中为实数． （Ⅰ）当时，求函数的最小值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $