山东省聊城市2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项: 1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写 到答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不 按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求. 1.已知向量a=(1,-2),b=(x,2),若a∥b,则x= A.4 B.2 C.-1 D.-2 2.下列函数中,以 π 2 为最小正周期的奇函数为 A.y= sinx B.y=tan2x C.y=sin2x D.y=cos4x 3.若复数z满足 z 2+i=|3-4i| ,则|z|= A.52 B.55 C.102 D.125 4.在平行四边形ABCD 中,M 为CD 的中点,记AD→=a,AM→=b,则BM→= A.-a+2b B.a-2b C.-2a+b D.2a-b 5.已知a=cos(- 3π 8 ),b=cos 9π 7 ,c=sin 2π 7 ,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 6.若tan2 π 8-mtan π 8-1=0 ,则m= A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,- π 2<φ< π 2 的部分图象如图所示,则f(202512π)= A.- 3 2 B.- 1 2 C. 1 2 D. 3 2 )页4共(页1第 题试学数一高 8.记△ABC 的面积为S,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c2=33S,C= π 3 , 则cosA-B = A. 1 4 B. 1 6 C. 1 8 D.- 1 8 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设z=1-m+(m2-1)i (m∈R),则 A.z不可能为纯虚数 B.z在复平面内表示的点可以在第三象限 C.m=2时, z1+i=5 D.m=0 时,z与z是方程x2=2(x-1)的两个根 10.已知函数f x =2sinx- π 6 ,将f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12,纵坐标不 变,然后再将所得图象向右平移π 6 个单位长度,得到函数g x 的图象,则 A.f x 的图象关于点 - π 3 ,0 中心对称 B.g x 的图象关于y 轴对称 C.f x 与g x 在 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 上的单调性相同 D.当x∈ 0, 5π 12 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 时,f x ≥g x 11.“水城之眼”摩天轮与“水城明珠”大剧场是聊城市东昌湖畔的两大文化地标,其中摩天轮是全 球首座建筑与摩天轮结合的城市地标。摩天轮最低点距地面20米,最高点距地面168米,转 一周大约需要30分钟,开启后按顺时针方向匀速旋转;明珠剧 场可近似看作是直径约80米的半球形.某同学乘坐摩天轮观赏 聊城的“湖光水色”,该同学在摩天轮最底部上车,由于建筑物遮 挡经7分钟到A 处开始观测到明珠剧场的穹顶B,共可观测 15.5分钟.则下列说法正确的是(参考数据:tan 7π 30 ≈0.9) A.明珠剧场体积约为13.4万立方米 B.上车5分钟后,该同学距离地面的高度为84米 C.该同学坐上摩天轮开始,转动t分钟后距离地面的高度为H米, 则H=74·sin(- π 15t- π 2 )+94 D.水城之眼中心在地面的投影与明珠剧场的球心距离大约为952米 )页4共(页2第 题试学数一高 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a=(1,0),b=(0,1),a·c=b·c=1,则向量a在向量c上的投影向量为 . 13.已知A(-3,3),B(m,12),C(5,n),点C 在线段AB 的延长线上,且 AC =4BC , 则m+n 的值为 . 14.已知函数f x =2sinωx- π 3 ω>0 ,若f x 在区间 -π4,π 上恰有三个零点,则ω 的 取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 设z1 是虚数,z2=z1+ 1 z1 是实数,且-1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及z1 的实部的取值范围; (2)若ω= 1-z1 1+z1 ,求证ω 为纯虚数; 16.(15分) 已知a=(cosx,- 1 2 ),b=(cos(x- π 3 ),1),g(x)=a·b. (1)求g(x)在 0,π 上的单调递增区间; (2)若g(α)= 1 20 ,α∈( π 6 ,5π 6 ),求sin2α的值. 17.(15分) 如图,平行四边形ABCD 中,E 为AB 的中点,ED 与AC 交于点R. (1)用向量方法证明:AR= 1 3AC ; (2)若( AB→ |AB→| + AD→ |AD→| )·BD→=0,AC=6, 求ED→·CR→ 的值. )页4共(页3第 题试学数一高 18.(17分) 记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知btanA=(2c-b)tanB. (1)求A; (2)D 为BC 的中点. (i)证明:a2=2(b2+c2-2AD2); (i)若a=AD=2,求△ABC 的周长. 19.(17分) 我们 可 以 把 平 面 向 量 坐 标 的 概 念 推 广 为 “复 向 量”,即 可 将 有 序 复 数 对 z1,z2 z1,z2∈C 视为一个向量,记作a=z1,z2 .两个复向量a=z1,z2 ,b=z3,z4 的 线性运算定义为:ma+nb= mz1+nz3,mz2+nz4 ,m,n∈R ;两个复向量a=z1,z2 , b=z3,z4 相等定义为:z1=z3,z2=z4;两个复向量a=z1,z2 ,b=z3,z4 的积记作a·b, 定义为a·b=z1z3+z2z4;复向量a 的模定义为 a = a·a;若复向量a 与b 满足 a·b = a b ,则称复向量a与b平行.已知a=(1,i). (1)若复向量b=(z1,-1),(z1∈C),c=(2-i,1+2i),且b=ma+nc(m,n∈R). (i)求m,n 的值; (i)判断a+b与a-b是否平行,并说明理由; (2)若复向量d= 1+i,z2 (z2∈C),且a 与d 平行,求z2. )页4共(页4第 题试学数一高 2024—2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:1-4 CBBD 5-8 DAAB 二、选择题:9.ACD 10.BC 11.ACD 三、填空题: 12.12 ,1 2 13.18 14.73,83 􀭤􀭥 􀪁􀪁 四、解答题: 15.解:(1)设z1=a+bi, (a,b∈R,且b≠0),则z2=z1+ 1 z1 =(a+ a a2+b2 )+(b- b a2+b2 )i. 2分……………………………………………………………………………………………… 因为z2 是实数, b≠0,于是a2+b2=1, 4分………………………………………………… 即|z1|=1,还可得z2=2a. 8分……………………………………………………………… 由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得- 1 2≤a≤ 1 2 ,即z1 的实部的取值范围是[- 1 2 ,1 2 ]. 10分………………………………………………………………………………………… (2)ω= 1-z1 1+z1 = 1-a-bi 1+a+bi= 1-a2-b2-2bi (1+a)2+b2 =- b a+1i 13 分……………………………… 因为a∈[- 1 2 ,1 2 ] b≠0,所以ω 是纯虚数. 15分…………………………………………… 16.解:(1)g(x)=cos(x- π 3 )cosx- 1 2= (1 2cosx+ 3 2sinx )cosx- 1 2 = 1 2cos 2x+ 3 2sinxcosx- 1 2= 1+cos2x 4 + 3 4sin2x- 1 2= 1 2 (1 2cos2x+ 3 2sin2x )- 1 4 = 1 2sin (2x+ π 6 )- 1 4. 4 分…………………………………………………………………… 因为x∈ 0,π ,所以2x+ π 6∈ π 6 ,13π 6 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 , 当π 6≤2x+ π 6≤ π 2 或3π 2≤2x+ π 6≤ 13π 6 ,即0≤x≤ π 6 或2π 3≤x≤π 时,g(x)单调递增, 所以g(x)在 0,π 上的单调递增区间为 0, π 6 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,2π 3 ,π􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 . 8分……………………………… (2)由(1)知,g(x)= 1 2sin (2x+ π 6 )- 1 4 , 因为g(α)= 1 20 ,所以1 2sin (2α+ π 6 )- 1 4= 1 20 , )页4共(页1第 案答考参题试学数一高 即sin(2α+ π 6 )= 3 5. 10 分……………………………………………………………………… 因为α∈( π 6 ,5π 6 ),所以2α+ π 6∈ (π 2 ,11π 6 ),所以cos(2α+ π 6 )=- 4 5 , 12分……………… 所以sin2α=sin(2α+ π 6- π 6 )= 3 2sin (2α+ π 6 )- 1 2cos (2α+ π 6 ) = 3 2× 3 5- 1 2× (- 4 5 )= 33+4 10 . 即sin2α= 33+4 10 . 15 分……………………………………………………………………… 17.(1)证明:因为R 在ED 上,所以存在λ∈R,使得ER→=λED→, 1分………………………… 故AR→ =AE→+ER→=AE→+λED→=AE→+λ(AD→-AE→) = 1 2 (1-λ)AB→+λAD→, 3分…………………………………………………………… 又因为点R 在AC 上,且AC→=AB→+AD→, 所以1 2 (1-λ)=λ,得λ= 1 3 6 分……………………………………………………………… 所以AR→= 1 3AB →+ 1 3AD →= 1 3AC →,所以AR= 1 3AC. 7 分…………………………………… (2)解:因为( AB→ |AB→| + AD→ |AD→| )·BD→=0, 所以AB=AD, 9分…………………………………………………………………………… 所以平行四边形ABCD 是菱形, 所以AC⊥BD. 10分…………………………………………………………………………… 作EH⊥AC 于点H,又因为E 为AB 的中点, 所以ED→ 在AC→ 上的投影向量为 1 4AC →, 12分………………………………………………… 所以ED→·CR→=( 1 4AC →)·(- 2 3AC →)=- 2 3× 1 4|AC →|2=- 1 6|AC →|2=-6. 15分……… (注:(1)(2)问其它解法酌情给分) 18.(1)解:由btanA=(2c-b)tanB,得bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA, 1分………………… )页4共(页2第 案答考参题试学数一高 所以由正弦定理得sinBsinAcosB=(2sinC-sinB)sinBcosA, 因为△ABC 中,sinB≠0,所以sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA, 3分……………………… 即sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,所以sin(A+B)=sinC=2sinCcosA, 又因为△ABC 中,sinC≠0,所以cosA= 1 2 , 5分……………………………………………… 因为0<A<π,所以A= π 3. 6 分……………………………………………………………… (2)(i)证明:因为D 为BC 的中点, 所以在△ABD 中,由余弦定理得c2=AD2+ a2 4-2AD ·a 2cos∠ADB ; 7分……………… 在△ADC 中,由余弦定理得b2=AD2+ a2 4-2AD ·a 2cos∠ADC , 8分…………………… 因为cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以b2+c2=2AD2+ a2 2 , 10分………………………… 即a2=2(b2+c2-2AD2). 11分……………………………………………………………… (i)当a=AD=2时, 在△ABC 中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos π 3 ,所以b2+c2-bc=4, 13分………… 又由(i)知,b2+c2=10,所以bc=b2+c2-4=6, 5分………………………………………… 所以(b+c)2=b2+c2+2bc=22,解得b+c= 22, 所以△ABC 的周长为2+ 22. 17分………………………………………………………… 19.解:(1)(i)由题意得b=ma+nc=(m+2n-ni,n+mi+2ni)=(z1,-1), 所以 m+2n-ni=z1, n+mi+2ni=-1, 2分…………………………………………………………………… 所以 m+2n-ni=z1, n=-1, m+2n=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 z1=i, n=-1, m=2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 m=2, n=-1. 4分…………………………………… (i)由(i)知b=(i,-1),所以a+b=(1+i,-1+i),a-b=(1-i,1+i), 5分…………… 因为(a+b)·(a-b)=(1+i)(1+i)+(-1+i)(1-i)=4i, )页4共(页3第 案答考参题试学数一高 得 (a+b)·(a-b)=4, 6分………………………………………………………………… 因为 a+b = (a+b)·(a+b)= (1+i,-1+i)·(1+i,-1+i), = (1+i)(1-i)+(-1+i)(-1-i)= (1+i)(1-i)+(1-i)(1+i)=2, 同理得 a-b = (1-i)(1+i)+(1+i)(1-i)=2, 8分…………………………………… 所以 (a+b)·(a-b)= (a+b) (a-b), 故a+b与a-b平行. 10分…………………………………………………………………… (2)设z2=λ+μi,λ,μ∈R , 则a·d=(1,i)·(1+i,z2)=(1,i)·(1+i,λ+μi)=1-i+i(λ-μi)=1+μ+(λ-1)i, 得 a·d = (1+μ)2+(λ-1)2, 又 a = (1,i)·(1,i)= 1+i(-i)= 2,d = (1+i,λ+μi)·(1+i,λ+μi)= (1+i)(1-i)+(λ+μi)·(λ-μi)= 2+λ2+μ2, 14分…………………………………… 若a 与d 平行,则 a·d = a d , 即 (1+μ)2+(λ-1)2= 2 2+λ2+μ2 化简整理得(λ+1)2+(μ-1)2=0, 所以λ=-1,μ=1,所以z2=-1+i. 17分…………………………………………………… )页4共(页4第 案答考参题试学数一高