精品解析：浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

鄞州中学2024学年第二学期期中考试 高二年级数学学科（期中考）试题 考生须知： 1.本卷共4页满分120分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3.本次考试期间不得使用计算器； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 3. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ） A. ，具有负相关关系，相关系数 B. 每增加一个单位，平均减少个单位 C. 第二个样本点对应的残差 D. 第三个样本点对应的残差 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B. 从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C. D. 从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 11. 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________． 13. 如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有_____种涂色方式． 14. 设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为． （1）已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 16. Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的列联表： 青年 非青年 合计 喜欢 180 40 220 不喜欢 120 60 180 合计 300 100 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？ （2）从抽取出青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量为这3人中喜欢该程序的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 005 0.01 0.005 0.001 3841 6.635 7.879 10.828 17 已知，（且） （1）求函数的定义域； （2）若，函数最小值为2，求的值； （3）在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18. 已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，. （1）把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值； （2）从这个袋子中依次随机抽取一张卡片. （ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：； （ⅱ）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求. 19. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州中学2024学年第二学期期中考试 高二年级数学学科（期中考）试题 考生须知： 1.本卷共4页满分120分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3.本次考试期间不得使用计算器； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 2. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当 时，为幂函数，故充分； 当为幂函数时，， 即，解得，故不必要， 故选：D 3. 某网店经销某商品，为了解该商品的月销量（单位：千件）与售价（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表： 根据表中的数据可得回归直线方程，以下说法正确的是（ ） A. ，具有负相关关系，相关系数 B. 每增加一个单位，平均减少个单位 C. 第二个样本点对应的残差 D. 第三个样本点对应的残差 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关系数的绝对值不超过1可得选项A错误；根据回归直线方程可得选项B错误；根据残差的概念可得选项C正确，选项D错误. 【详解】A.相关系数的绝对值不超过1，A错误； B.由回归直线方程知，每增加一个单位，平均减少个单位，B错误； C.第二个样本点对应的残差，C正确； D.第三个样本点对应的残差，D错误． 故选：C. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案， 若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案， 即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案， 所以所求概率. 故选：C. 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用常见不等式结合数形结合可得，故A，B选项错误；根据与的图象关于直线对称可得选项C错误，选项D正确. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 故在上递增，在上递减，故， 所以，故，故， 故的图像在的下方. ∵ ∴， 如图，为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 为函数与函数图象交点的横坐标， 由图知，，而， 由为增函数得，故，故A，B选项错误. 由得，． ∵与的图象关于直线对称， ∴点和关于对称，且，， ∴且， ∴，故C选项错误. ∵，∴，故D选项正确． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市高三年级学生联考，学生的数学成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. 该市高三年级学生的数学成绩的方差是5 B. 从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小 C. D. 从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断ABC；结合相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的均值为110，方差是25，故A错误； ， 由正态分布的性质可知B正确； ，故C错误； 学生成绩低于110的概率为，每一名学生的成绩相互独立， 所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有，， 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内， 因此第二次抽到1号球的概率为，故A正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为， 所以，故B正确； 对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 所以， 记第二次抽到1号球的事件为， ， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同， 所以， ， ， 即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C错误； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种， 将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法， 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知定义在上的函数，且，若，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值令得到或，若，再令，，得出与矛盾，从而确定A正确；令，结合选项A的结论得到，即可判断B正确；令，得，进而得，得，由此判断C不正确；由得，由此，由此判断D正确. 【详解】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域. 详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 13. 如图所示，现用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同，则共有_____种涂色方式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析必有两组不相邻的区域涂同一种颜色且共有种情况，先从种情况中选择一种有情况，再涂色有种情况，再相乘即可求解. 【详解】根据题意，用种颜色标注个区域，相邻区域颜色不相同， 则其中必有两组不相邻的区域涂同一种颜色， 包含、、、、， 共有种情况，所以不同的涂色方式共有（种）． 故答案为： 14. 设函数，若关于的函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先作出图象，利用换元法，结合韦达定理，分类讨论得到方程在和内各有一个实数根，，再利用二次函数根的分布得到关于的不等式组，即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图，    令，则方程化为， 由韦达定理可知该方程两根之积为3， 要使关于的方程恰好有有5个零点， 则方程有5个不同的实数解， 结合图象可知，，，此时方程有4个不同的实数解，不合题意； ，，此时方程有6个不同的实数解，不合题意； 当，，虽说满足方程有5个不同的实数解，但是无解； 所以，， 此时方程在和内各有一个实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为． （1）已知A是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式化简A，B，由题意可得A是的真子集，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解； （2）写出特称命题的否定，由命题为真命题，结合二次函数的性质可得关于m的不等式组，求解得答案． 【小问1详解】 不等式可化为，解得， 集合. 不等式可化为，则集合. 是的充分不必要条件，是的真子集，则 的取值范围是. 【小问2详解】 因命题为假命题，所以命题为真命题， 即为真命题， 令，则 解得，所以实数的取值范围是. 16. Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的列联表： 青年 非青年 合计 喜欢 180 40 220 不喜欢 120 60 180 合计 300 100 400 （1）依据小概率值独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？ （2）从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量为这3人中喜欢该程序的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为是否喜欢该程序与年龄有关联． （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的可能取值为，利用超几何分布，求得相应的概率，得出分布列，求得数学期望. 【小问1详解】 零假设为：是否喜欢该程序与年龄关联． 根据列联表中的数据，经计算得到 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢该程序与年龄有关联． 【小问2详解】 从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人， 喜欢该程序的人数为（人）， 不喜欢该程序的人数为（人）． 的所有可能取值为1，2，3， 所以， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． 17. 已知，（且） （1）求函数的定义域； （2）若，函数的最小值为2，求的值； （3）在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于0求定义域，并分类讨论； （2）根据（1），令，其对称轴为，由复合函数单调性最值求解； （3）令为减函数，则问题转化为即，使得成立，分离参数求的取值范围． 【小问1详解】 令，即， 当时，； 当时，； 当时，． 【小问2详解】 当时，， 令， 已知的最小值为2，则有最大值为， 其对称轴为， 则，解得． 【小问3详解】 由题可知，使得成立， 令为减函数， 则，， 即，使得成立，即， 因，故， 令， 当且仅当，即时成立， 所以，故 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，令为减函数，则问题转化为即，使得成立，分离参数求的取值范围． 18. 已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，. （1）把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值； （2）从这个袋子中依次随机抽取一张卡片. （ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：； （ⅱ）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数求，再由分组求和法，结合等比数列求和公式求解即可； （2）（i）利用相互独立事件同时发生的概率公式得到概率分布列，再由错位相减法即可求得；（ii）利用组合计数与古典概型概率公式得到概率分布列，再由离散型随机变量的期望公式可求. 【小问1详解】 由题意知， 所以 ； 【小问2详解】 （ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，则每次抽取到偶数号码卡片的概率为， 由题意知的所有可能取值为， 所以， 则的分布列为 所以, 则， 两式相减可得 ， ， 所以； （ⅱ）由题意知的所有可能取值为， 则， 所以 ， 因为 ， 所以. 19. 定义：对于函数，.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，.判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，.若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，.求证：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】（1）函数是“一致变化函数”，理由见解析 （2）4 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）取，满足要求，是“一致变化函数”； （2）求出定义域，，由题意得到不等式，得到对一切成立，故有，因为，等价于成立，所以，换元，由基本不等式，求出最值，得到答案； （3）取，得到，所以是“一致变化函数”；根据为偶函数且在上为减函数，等价于研究对恒成立时的取值范围，即恒成立，对恒成立，令，对恒成立，由函数单调性得到，只需即可，解得. 【小问1详解】 取，， 所以函数是“一致变化函数”. 【小问2详解】 定义域为， 因为是“一致变化函数”，其中， 对一切成立，故有. 因为， 所以不等式恒成立等价于成立，所以，故而， 所以，令，故且， 所以，当且仅当， 即，时等号同时取到.所以的最小值为4. 【小问3详解】 取，， ， 所以函数是“一致变化函数”. ，， 因为为偶函数且在上为减函数， 所以①当时，有，设， 即， ， ②当时，有，， ， ③当时，； 综上，等价于研究对恒成立时的取值范围， 对恒成立， 恒成立，恒成立， 对恒成立， 对恒成立， 令，对恒成立， 又，所以在上为严格增函数， 只需即可，解得. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $