精品解析：山东省青岛第六十八中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

山东省青岛第六十八中学2024-2025学年第二学期 期中质量检测数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求出即得解. 【详解】因为，即， 所以， 所以，其所对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 3. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：， ，由正弦定理可得， ， ， 的面积． 故选：A． 4. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得的三个角的大小及边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】解：如图，作出，由题意可知， 海里，，则， 因为， 所以海里， 即B，C两点间的距离是海里. 故选：C 5. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 6. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可. 【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥， 如图所示： 因为，所以圆台下底面面积， 又因为，，所以，， 所以圆台的侧面积. 圆锥的侧面积. 所以几何体的表面积为. 故选：A 7. 在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知找到相似三角形,得到,利用向量运算求出答案. 【详解】如图，平行四边形中，，， 因为 所以. 故选：B. 8. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积． 【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D. 【详解】A中，令，则，故A错误； B中，若点Z的坐标为，则，所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； C中，易知的虚部为，故C错误； D中，记，则 所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由图可知， 设函数的最小正周期为，则，，，则， 由得，解得， 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B正确； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度， 得的图象，C错误； 对于D选项，由得， 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 11. 长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（ ） A. 当船的航行距离最短时， B. 当船的航行时间最短时， C. 当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D. 当时，船的航行距离为. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对B，，只要最大即可判断；对C，当时，游船水平方向的速度大小为然后确定方向即可；对D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故A错误； 对于B，船航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大， 也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故B正确； 对于C，当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向右， 故最终到达北岸时游船在点的右侧，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中， 所以（km），故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且为纯虚数，则复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】设（x，），然后根据题意列方程组可求出，从而可求出复数. 【详解】设复数（x，），则． 由题意知或． 故答案为： 13. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积． ∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等， ∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则 棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为 考点：棱柱、棱锥、棱台体积 14. 已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角的正弦公式以及正弦定理得出，根据已知条件求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】由得， 则， 即，由可知为锐角，则， 得， 由余弦定理得， 即，解得． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 四、解答题： 15. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c，且 （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合，可化简为，利用辅助角公式，结合，即得解； （2）利用正弦定理可转化，又，故，可化简为，结合，即得解 【详解】（1）由，以及正弦定理可得 ，由于 即， 即，又 所以， 由辅助角公式可得，由于，可得， 所以，即. （2）由（1）知，又， 所以且， 由正弦定理， ， 又，所以， 所以，即， 综上所述的取值范围为. 16. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 17. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：(I)借助题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；(II)依据题设运用三角变换公式及诱导公式探求. 试题解析： （Ⅰ） ∵在处取得最值，∴， ∴， ∵，∴当时，， ∴， ∴. （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到 再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到 故 可解： 因为为锐角，所以 因此 故 . 考点：三角变换公式、周期公式及诱导公式等有关知识的综合运用． 18. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 【答案】（1）；（2），其中；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式. （3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 故. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设， 由题意知，，所以， 又由，所以， 当时，可得，所以， 故关于时间的函数解析式为，其中. （3）令，即， 令，解得， 因为甲乙两人相差， 又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题； 3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是； 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，则，则． 【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青岛第六十八中学2024-2025学年第二学期 期中质量检测数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 3. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ） A. B. C. 1 D. 4. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ） A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 7. 在平行四边形中，点满足，且边中点，若交于点．且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设复数在复平面内对应点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11. 长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（ ） A. 当船航行距离最短时， B. 当船的航行时间最短时， C. 当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D. 当时，船的航行距离为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且为纯虚数，则复数__________． 13. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 14. 已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则______． 四、解答题： 15. 在中，内角A，B，C及其所对的边a，b，c，且 （1）求A； （2）若，求的取值范围. 16. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 17. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 18. 如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧的弧长(单位：)； （2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $