安徽省安庆市示范高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

安徽省安庆市示范高中2024-2025高一下学期期中考试 数 学 试 卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知平面向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D．2 3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A．6 B．6 C．12 D．12 8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知平面向量，，则正确的是（   ） A． B．与可作为一组基底向量 C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ． 14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分）已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 16． (15分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，． (1)求； (2)若为边AB上一点，且，求． 17． (15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 18． (17分）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 19． (17分）已知正四棱锥. (1)证明：平面； (2)当时，求该正四棱锥外接球的体积； (3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.    答案及解析 一、单选题 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B ，则. 2．已知平面向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 平面向量，，由，得，所以. 3．已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D由向量与的夹角为，且，得，则， 所以在上的投影向量为. 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则，所以，即， 所以，又， 则，即，又， 所以的面积为.故选：A. 5．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B正三棱台的上底面积，下底面积， 所以此三棱台的体积. 6．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为.故选：C 7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为的三角形，其面积可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A．6 B．6 C．12 D．12 【答案】B 根据海伦-秦九韶公式，，其中， 由题意，可知，则，又， 故， 当且仅当，即时取等号.故选：B 8．已知四面体满足，，动点M在四面体的外接球的球面上，且，则点M的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为， 依题意，可知，，则，，， 解得，，四面体的外接球半径为，球心为， 由，点的轨迹为一个圆，中点为， 设轨迹圆的半径为，圆心为，过，作球的一个轴截面， ∴，解得，， ∴的轨迹长度为. 二、多选题 9．已知复数，，则下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 对于A，取，显然满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误．故选：BC 10．已知平面向量，，则正确的是（   ） A． B．与可作为一组基底向量 C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 对于A：因为，，所以，所以，数量积不等于0，向量不垂直，故A错误；对于B：因为，所以与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为， ，所以在方向上的投影向量的坐标为，故D正确； 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD对于A：当为中点时，因为是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，易证，所以，过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误；对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确，故选：ACD. 三、填空题 12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】 ，故. 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为 ． 【答案】 ，因为，故. 又，故，故. 14．已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为 ． 【答案】 根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示：易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以，可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得，又平面，且，设四棱锥的外接球半径为，可得，即；因此外接球的表面积为. 四、解答题 15．已知复数和它的共轭复数满足. (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【答案】（1）设，则， 所以，解得，故. （2）是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，，解得，. 16．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，． (1)求； (2)若为边AB上一点，且，求． 【答案】（1）如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，，．因为，，所以 （2）如图，设，则，， 因为，所以，得或6． 故或． 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若点在线段BC上，且AD平分，若，且，求． 【答案】（1）由正弦定理可得，所以， 即，可得， 整理可得，因为在中，，所以，又，所以； （2）因为，AD平分， 所以，由得， 即，整理可得，①因为为角平分线，所以， 在中由正弦定理可得，在中由正弦定理可得，又，所以，所以，②由①②可得，在中，由余弦定理可得，解得. 18．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点， 因为为的中点，则，又因为平面，平面，所以，平面. （2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面， 因为为的中点，则点到平面的距离为，，因此，. 19．已知正四棱锥. (1)证明：平面； (2)当时，求该正四棱锥外接球的体积； (3)当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高. 【答案】（1）证明：因为平面平面，所以平面.（2）底面正方形的中心记为，则，因为，所以，即正四棱锥的外接球的球心为，半径为1，外接球体积为.（3）对外接球：，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$