精品解析：四川省泸州市泸县五中学区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

泸县五中学区2025年春八年级数学学科 半期定时训练题 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形 ​中，的度数之比有可能是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 4. 下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ） A. 22 B. 20 C. 16 D. 10 7. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）． A. B. C. D. 9. 一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（ ） A. 3 B. 10 C. 或10 D. 10或 10. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 12. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或1.5 D. 3或1.5 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题3分，共4个小题，共12分）． 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_________． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为_________． 15. 如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为______°． 16. 如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为______． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：． 21. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 如图,中,,,,的垂直平分线分别交,于D,E两点,求的长. 23. 如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）． （1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； （2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 25. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中学区2025年春八年级数学学科 半期定时训练题 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法法则和二次根式的性质，注意二次根式的加法就是合并同类二次根式．根据二次根式的加法法则和二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、和不能合并，不等于，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、不等于，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 平行四边形 ​中，的度数之比有可能是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的两组对角相等，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， A、设， ∴，解得：， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、设， ∴，解得：， ∴， ∴，故本选项符合题意； C、设， ∴，解得：， ∴， ∴，故本选项不符合题意； D、设， ∴，解得：， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的两组对角相等是解题的关键． 4. 下列各组线段中，可以组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形， 故C不符合题意； ∴三角形是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 6. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ） A. 22 B. 20 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=6， ∵△OCD的周长为16， ∴OD+OC=16−6=10， ∵BD=2DO，AC=2OC， ∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=20， 故选B． 7. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的对角线的性质，可得∠ACD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ACE的大小，再根据三角形外角定理，结合CE＝AC，易得∠CEF＝22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小． 【详解】解：AC是正方形的对角线， ∴∠ACD＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°， 又∵CE＝AC ∴∠CEF＝22.5°， ∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°； 故选B． 【点睛】此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质． 8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 9. 一个三角形的两边长为6和8，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（ ） A. 3 B. 10 C. 或10 D. 10或 【答案】D 【解析】 【分析】设第三条边长为x，分两种情况：当x是斜边时，当8是斜边时，进行计算即可解答． 【详解】解：设第三条边长为x， 分两种情况： 当x是斜边时，x＝＝10， 当8是斜边时，x＝＝2， 综上可知，第三条边长为2或10， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，利用分类讨论思想，分两类进行计算是解题的关键． 10. 实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ，， ． 故选：D． 11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°， ∴AF＝2OF＝2， ∴OA＝ ＝＝， ∴AB＝OA＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键． 12. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点C落在点F处，当为直角三角形时，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或1.5 D. 3或1.5 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情形：①当∠FED=90°时，如图1所示；②当∠DFE=90°时，如图2所示，分别求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，AD=BC=3，∠C=∠ABC=90°， 分两种情况讨论： ①当∠FED=90°时，如图1所示， 则∠CEF=90°， ∴四边形BCEF是矩形， ∴FE=BC， 由折叠的性质得：CE=FE=BC=3；     ②当∠DFE=90°时，如图2所示， 在Rt△ABD中，∵AB=4，AD=3， ∴， 由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，FE=CE， ∵∠DFE+∠EFB=180°， ∴点B、F、D共线，即点F在BD上，DF=BD-BF=5-3=2， 设FE=CE=x，则DE=4-x， 在Rt△DEF中，∵EF2+DF2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x=1.5 即CE=1.5， 综上所述，CE的长为3或1.5． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由题意画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（每小题3分，共4个小题，共12分）． 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】由分式及二次根式有意义的条件可得，再解不等式组即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式组的解法，熟记分式及二次根式有意义的条件是解本题的关键． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为_________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积， 因此正方形的面积之和， 故答案为：25． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 15. 如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为______°． 【答案】37 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：37． 【点睛】本题考查三角形的外角和平行线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行负整数指数幂，零指数幂，去绝对值和乘方运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数计算，平方差公式计算，二次根式四则混合运算等．根据题意先计算乘除，再计算加法即可． 【详解】解：， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分． 20. 如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：． 【答案】 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形，可知，则，证明，则，，进而可证． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 【答案】3600元． 【解析】 【分析】根据勾股定理得出BD的长，再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解：连接BD ∵∠A=90° ∴DB2=AB2+AD2=25 ∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2 ∴∠DBC=90° ∴S四边形 = ， ∴36×100=3600 答：需投入3600元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键． 五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分． 22. 如图,中,,,,的垂直平分线分别交,于D,E两点,求的长. 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质得到,得到,设,则,在Rt中利用勾股定理求出的值即可． 【详解】∵是的垂直平分线, ∴ , 设,则, 在Rt中 ,即 整理得:, 解得:． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理，拓展一元一次方程，知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 23. 如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）． （1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； （2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由． 【答案】（1）3h （2）C岛在A港的北偏西40°方向． 【解析】 【分析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间； （2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果． 【小问1详解】 解：在直角△ABD中，∠ADB=90°， ∴BD= (km)， 在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km， ∴AC=(km)， 轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)， 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 【小问2详解】 C岛在A港的北偏西40°方向； 理由： ∵752+1002=1252， ∴AC2+AB2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°， ∴C岛在A港的北偏西40°方向． 【点睛】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形． 六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分． 24. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，进而得到，等量代换得到，证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）斜边上的中线求出的长，根据菱形的性质和面积公式，求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 25. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 【答案】（1）； （2）当t为时，四边形为菱形； （3）当t为或时，四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度； （2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可； （3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中， ， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． ∵，， ∴， ∴， 解得． 所以当t为时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：∵于P，于Q，， ∴四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． 所以当t为或秒时，四边形为正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $