精品解析：云南省曲靖市师宗县第二中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

云南省曲靖师宗二中2024-2025学年上学期期末考试 高三数学 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知（，是常数），且，则 A. 21 B. C. 26 D. 3. 已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为2 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 5. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 6. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. 36 B. 18 C. D. 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为 C. D. 10. 若，则（ ） A B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则不等式的解集是______. 13. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________. 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列和满足：，，数列的前项和为. （1）求数列和的通项公式： （2）设数列，求数列的前项和. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程. 17. 在直三棱柱中，是等腰直角三角形， ，，M是AB的中点，且． （1）求的长； （2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为 ，试确定点N的位置． 18. 高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关； 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 10 不乘坐高铁 合计 60 100 （2）为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1000元，设三份奖品总金额为X元，求X的概率分布与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 005 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 设函数且. （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时实数取值范围； （3）若，且在上的最小值是，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省曲靖师宗二中2024-2025学年上学期期末考试 高三数学 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 2. 已知（，是常数），且，则 A. 21 B. C. 26 D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知部分表达式为奇函数，可设，再分别表示出和，利用进行中间变量代换即可 【详解】设，则为奇函数．由题设可得，得．又为奇函数，所以，于是． 故选B 【点睛】本题考查根据奇偶函数性质求解具体函数值的方法，利用奇函数性质进行代换是解题关键 3. 已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，可求得、的值，即可求得结果. 【详解】因为，则，， 又，． 故选：D. 4. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为2 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法法则　求得，根据根据模定义，共轭复数的定义，复数的定义和复数的几何意义判断各选项． 【详解】解：， 则， ，故A错； 复数的共轭复数为，故B错； 复数的虚部为，故C错； 复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确． 故选：D． 5. 等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算法则，等比数列的性质求解． 【详解】是等比数列，则， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10． 故选：C． 6. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外接球的表面积. 【详解】由于三棱锥中，平面， 故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示： 则体对角线即为外接球的直径，又 所以， 所以外接球的半径， 故三棱锥的外接球表面积， 故选：C. 7. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. 36 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】解：因为圆，即， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为， 故选：D. 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率 【详解】双曲线渐近线为，易知与直线平行， 所以. 故选：D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率，焦点三角形周长为可确定AB错误； 当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C正确； 根据可知D正确. 【详解】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误； 对于B，由椭圆定义知：，， 的周长为，B错误； 对于C，当为椭圆短轴端点时，， ，，即， ，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系弦化切求出正切，再根据二倍角计算求解即可. 【详解】因为分子分母都乘以,所以 可得,故A选项正确，,B选项错误； ,C选项错误； ,D选项正确. 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错； ，则，将代入中得， 则，，解得，， 因为，所以，，， 所以是对称轴，故B正确； 当时，，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错； 该图象向右平移个单位可得，故D正确. 故选：BD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】当时，由得，解得，此时，； 当时，由得，即，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集是. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得,当时，，又，两式相减可得，再利用累乘法，即可求出时数列的通项公式，注意当时,代入进行检验即可. 【详解】由，可得当时，， 则，即，故， 所以. 当满足. 故数列的通项公式为. 故答案为： 【点睛】易错点睛：本题考查已知数列的前项和求数列的通项公式，当时，，要注意当时,代入通项进行检验是否符合，考查学生的运算能力，属于一般题. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件找到，转化为，进而整理，然后把整体看做变量，找到其范围，求出函数的值域即可. 【详解】 ∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，即 又∵， ∴四边形为矩形 ∴ 则 在中， ∵，∴ ∵ ∴ ∵A在第一象限，∴ ∴ ∴ 令，则有 ，即 故答案为： 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 四、解答题:本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列和满足：，，数列的前项和为. （1）求数列和的通项公式： （2）设数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列，求解的通项公式；利用 求解的通项公式；（2）根据第一问的求解，得到，其中利用错位相减法求和，进而求出数列的前项和 【小问1详解】 ∵ ∴设，整理： ∴ ∴ ∴公比是2的等比数列 ∴ ∴ 当时 当时，，符合 故的通项公式为： 【小问2详解】 ∴设的前n项和为 则① ② ①-②得： ∴ ∴ 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆经过的点，列出方程组，解之即可求解； （2）易知直线的斜率不为0，设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式化简可得，结合计算求出k的值即可求解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 易知直线的斜率不为0， 设，即，， ，消去y，得， ， ， ， 又，所以，解得， 所以直线l的方程为或. 17. 在直三棱柱中，是等腰直角三角形， ，，M是AB的中点，且． （1）求的长； （2）已知点N在棱上，若平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为 ，试确定点N的位置． 【答案】（1）；（2）N在棱的中点处． 【解析】 【分析】（1）根据棱柱是直三棱柱，是等直角三角形，，建立空间直角坐标系，设，求得向量，的坐标，由求解. （2）设，求得平面的一个法向量为．易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，然后由求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设．由得， 则，，，，， 所以，． 因为， 所以， 解得，即的长为． （2）由（1）知 设， 所以，． 设平面的一个法向量为． 由，得， 令，则，． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， ． 解得或（舍去） 所以N在棱的中点处． 【点睛】本题主要考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小，还考查了函数与方程思想、转化与化归思想，空间想象和运算求解能力，属于中档题. 18. 高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占． （1）请完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关； 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 10 不乘坐高铁 合计 60 100 （2）为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1000元，设三份奖品总金额为X元，求X的概率分布与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关系 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）先根据分层抽样求出各层人数，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 由已知可得，样本中40岁及以下乘坐高铁出行的有（人）， 2×2列联表如下： 40岁及以下 40岁以上 合计 乘坐高铁 40 10 50 不乘坐高铁 20 30 50 合计 60 40 100 零假设为：乘坐高铁出行与年龄没有关系， 由列联表中的数据计算可得, 故不能断定假设成立， 所以有99.9%的把握认为乘坐高铁出行与年龄有关系； 小问2详解】 采用分层抽样的方法， 则从40岁及以下的人中抽取3人，从40岁以上的人中抽取2人， X的所有可能取值为2400，2600，2800， ， 故概率分布如下： X 2400 2600 2800 P ． 19. 设函数且. （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在上的最小值是，求实数的值. 【答案】（1）奇函数，单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的结论即可判断； （2）由解得，由（1）知为减函数且为奇函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解； （3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解． 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称； 又因为，所以是上的奇函数； ，因为，所以， 又因为均为在上的增函数，则也为在上的增函数. 【小问2详解】 ，即，所以， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增的奇函数， 原不等式等价于， 所以，即恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是：. 【小问3详解】 ，即， 解得：或（舍） 所以， 令，则在单调递增， 所以， ，对称轴为， 当时，，解得：或（舍） 当时，， 解得：不符合题意， 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$