猜押16题 解三角形-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（天津专用）

猜押06 解三角形16题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 解三角形 2024年天津卷第16题 2023年天津卷第16题 2022年天津卷第16题 天津高考，在第一个大题位置考察三角函数和解三角形，考察比较简单，主要考察正余弦定理应用，利用正余弦定理求角度，求长度，求复合型三角函数值，需要掌握三角形面积公式，两角和与差的正余弦公式，二倍角公式，计算为主，考察形式比较常规。 预测2025年天津高考，对于三角函数解三角形考察，难度依旧较低，围绕正余弦定理的应用，考察解三角形常规知识与常规计算，要熟练掌握二倍角、两角和与差、面积公式等应用，对于涉及到三角形内角的范围计算，要加强训练 题型一 正弦定理求角（第一问） （解答题） 1．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 2．（2025·天津宁河·一模）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)设． （i）求边的值； （ii）求的值． 3．（2025·天津宝坻·一模）在中，角、、的对边分别为、、，. (1)求； (2)设，. ①求； ②求的值. 4．（2024·天津北辰·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角的大小； (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 题型二 余弦定理求角 （第一问）（解答题） 1．（21-22高三上·天津河西·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 2．（21-22高三上·天津静海·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积. (3)若，求的值. 3．（2022·天津·模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且 (1)求证：； (2)若的面积为，求. 4．（2022·天津宁河·模拟预测）在中，角 所对边分别为 ,且. (1)求角的大小; (2)若. (i) 求 的值; (ii) 求的值. 题型三 求边（第二问）（解答题） 1．（24-25高三上·天津·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 2．（2024·天津和平·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角B的大小； (2)求b的值； (3)求的值． 3．（2023·天津和平·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2024·天津·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若， ①求的值： ②求的值. 题型四 求复合型角度函数值（第三问） （解答题） 1．（2025·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，已知的面积为，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 2．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2025·天津·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（19-20高三上·天津西青·期末）在中，内角所对的边分别为，，，． (1)求角的大小： (2)求的值； (3)求的值． 题型五 三角形求面积型 （解答题） 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的面积； （ii）求的值. 2．（2024·天津滨海新·二模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 3．（2024·天津河北·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的值； (3)若为的中点，且，求的面积. 4．（2023·天津河西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B的大小； (2)若，求△ABC的面积. (3)已知，且α为锐角，求的值. 题型六 综合应用型（解答题） 1．（2023·天津滨海新·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 2．（22-23高三天津·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知. (1)若的面积等于，求； (2)若，求的面积； (3)若，求的面积. 3．（2022·天津武清·模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值． 4．（2022·天津南开·二模）在中，内角对边的边长分别是，已知． (1)若，，求； (2)若，求证：是等边三角形； (3)若，求的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押06 解三角形16题（ 解答题） 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 解三角形 2024年天津卷第16题 2023年天津卷第16题 2022年天津卷第16题 天津高考，在第一个大题位置考察三角函数和解三角形，考察比较简单，主要考察正余弦定理应用，利用正余弦定理求角度，求长度，求复合型三角函数值，需要掌握三角形面积公式，两角和与差的正余弦公式，二倍角公式，计算为主，考察形式比较常规。 预测2025年天津高考，对于三角函数解三角形考察，难度依旧较低，围绕正余弦定理的应用，考察解三角形常规知识与常规计算，要熟练掌握二倍角、两角和与差、面积公式等应用，对于涉及到三角形内角的范围计算，要加强训练 。 题型一 正弦定理求角（第一问） （解答题） 1．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据得，由正弦定理求得的值； （3）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）因为在中，，所以， 又因为，，由正弦定理， 可得. （3）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 2．（2025·天津宁河·一模）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)设． （i）求边的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i）3；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，再利用和差公式及三角形内角和定理即可求解. （2）（i）由余弦定理即可求解；（ii）利用正弦定理可求出，由余弦定理可得，利用二倍角公式及和差公式即可求解. 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 因为，，所以， 又，所以. （2）（i）由余弦定理，得，即， 即，解得. （ii）由正弦定理得， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以. 3．（2025·天津宝坻·一模）在中，角、、的对边分别为、、，. (1)求； (2)设，. ①求； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由已知条件结合切化弦，正弦定理以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）①利用余弦定理可得出关于的等式，即可解得的值； ②利用正弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式及两角和的余弦公式计算可得.. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以， 因为，，所以，，所以， 又，所以. （2）①因为，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 而，所以. ②由正弦定理，得， 由，得，则， 所以，， 所以. 4．（2024·天津北辰·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角的大小； (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）利用同角三角函数关系式，得到，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果； （3）利用三角形面积公式得到，结合余弦定理求得，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以； （2）由已知得，， 所以， ， 所以； （3）因为， 所以，由余弦定理得， 所以，所以， 所以的周长为. 题型二 余弦定理求角 （第一问）（解答题） 1．（21-22高三上·天津河西·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【详解】（1）因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. （2），则. ，则，. 所以. 2．（21-22高三上·天津静海·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，，求的面积. (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解； （2）先算出ab，再利用三角形面积公式即可； （3）先算出 ，再运用两角差和倍角公式即可求解. 【详解】（1）依题意，运用正弦定理得： ，化简得 …①， 由余弦定理得： ， 因为C是三角形内角， ； （2）由于 ， 由①得 ， ； （3） ， ； 综上： ， ， . 3．（2022·天津·模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且 (1)求证：； (2)若的面积为，求. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理得到，使用余弦定理得到，两式联立求出；（2）利用面积公式得到，结合第一问的，得到. 【详解】（1）因为, 所以， 整理为， 因为， 所以， 所以， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：，即 将代入上式，可得： （2）由面积公式得：， 所以， 结合第一问的，可得：， 因为，所以. 4．（2022·天津宁河·模拟预测）在中，角 所对边分别为 ,且. (1)求角的大小; (2)若. (i) 求 的值; (ii) 求的值. 【答案】(1) (2)(i) ，(ii) 【分析】（1）根据正弦定理角边化及余弦定理即可求解； （2）(i)利用（1）的结论及正弦定理的边角化即可求解； (ii)利用同角三角函数的平方关系及二倍角公式，求出， 再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得， ， . （2）(i) 及正弦定理，可得， ，即 (ii)因为，且 可得为锐角， 所以, ， ， 由（1），知， 所以 题型三 求边（第二问）（解答题） 1．（24-25高三上·天津·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解；        （2）根据的面积为，得到，再由余弦定理得到求解；      （3）由余弦定理求得 ，进而得到，再利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）解：因为． 由正弦定理得 ． 又因为，所以， 从而得．                     又因为， 因此， 又因为， 所以． （2）因为的面积为， 即， 所以 ①．                             又由余弦定理，， 得 ②．                          因为． 由①②解得，． （3）由余弦定理得 ， 所以， ，， 所以． 2．（2024·天津和平·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角B的大小； (2)求b的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解； （2）利用余弦定理即可求解； （3）利用正弦定理和二倍角的正、余弦公式即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理有， 因为,所以，所以，即， 由于,所以，故，解得； （2）因为， 所以由余弦定理，即，解得； （3）由正弦定理有，有， 因为，所以为锐角，故， 又， 则， ． 3．（2023·天津和平·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可得，可求； （2）由已知可得，进而结合余弦定理可求得，进而可求； （3）由正弦定理可得，由余弦定理可得，可求得，进而利用两角和的余弦公式可求. 【详解】（1）因为．由正弦定理有①． 又因为，所以，代入①式有． 又因为三角形内角，因此，所以，． （2）因为的面积为，即，所以②． 又由余弦定理，，可得③． 因为．由②③式可知，． （3）由正弦定理有，有，， ，， ． 4．（2024·天津·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若， ①求的值： ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解； （2）①结合余弦定理可得，结合即可求解；②由正弦定理以及平方关系依次求得，将转换为，结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，利用正弦定理可得： ， 即. 因为，所以，即， 又，可得. （2）①由余弦定理及已知可得： 即，又因为，所以， 联立或（舍）， ②由正弦定理可知：， 因为，则，故为锐角，， . 题型四 求复合型角度函数值（第三问） （解答题） 1．（2025·天津和平·一模）在中，角所对的边分别为，已知的面积为，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角关系可求，再利用面积公式以及条件可求的值，最后利用余弦定理即可； （2）在中利用正弦定理即可； （3）利用倍角公式计算，再利用两角和差的余弦公式计算. 【详解】（1）中，由，得， 由面积为，有，整理得， 又，解得（负值舍去） 在中由余弦定理，可得. （2）在中由正弦定理，得. （3）因， 则. 2．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理可知，进而结合余弦定理求解即可； （2）根据平方关系先求得，再结合正弦定理求解即可； （3）先求出，，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可知， 由余弦定理可得，即， 解得，故． （2）由及，得， 由正弦定理，得， 解得． （3）由（2）得，所以． 所以． 所以 3．（2025·天津·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【详解】（1）由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. （2）由正弦定理，所以； （3）由余弦定理， 所以， ， 所以. 4．（19-20高三上·天津西青·期末）在中，内角所对的边分别为，，，． (1)求角的大小： (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合已知即可求出B的大小； （2）利用余弦定理即可求出b的值； （3）根据求出sinA，cosA，从而可求sin2A、cos2A，再根据正弦的差角公式即可计算． 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 又由，得 即， ∴，∴，∴． 又因为，可得； （2）在中，由余弦定理及，，， 有，故； （3）由，可得， 因为，所以，故为锐角，故， 因此，． 所以，． 题型五 三角形求面积型 （解答题） 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求的值； (2)若. （i）求的面积； （ii）求的值. 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案； （2）（i）由正弦定理和余弦定理可得，再由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式即可得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由正弦定理 ， 即， ， 所以. （2）（i）由（1）知，即，又， 由余弦定理，得， 解得， ，则， . （ii）， . 2．（2024·天津滨海新·二模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，求的值； (3)若，点D在边AB上，，.求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据正弦定理求解即可； (2)利用二倍角公式求解即可； (3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解； 【详解】（1）由，得, 又因为， 所以，， 即. （2）若，则， 则, 则; （3）由， 所以， 由（1）知，所以，所以在直角三角形中，， 如图 因为，所以, 平方得， 则， 所以直角三角形的面积. 3．（2024·天津河北·一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的值； (3)若为的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式，计算可得答案. （2）利用和差角公式和二倍角公式，计算可得答案. （3）利用余弦定理，整理出方程，计算可得答案. 【详解】（1），由正弦定理，得 ， ，，， （2）， ，， （3）中，由余弦定理，得， ， 中，由余弦定理，得， ， 联立，得，， 代入，解得， 的面积. 4．（2023·天津河西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求B的大小； (2)若，求△ABC的面积. (3)已知，且α为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）先利用平方关系求出，再根据结合诱导公式即可得解. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理可得， 又 ∴ ∵，∴ ∵，∴； （2）∵， ∴由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， ∴； （3）因为α为锐角，所以 又因为 所以为钝角， 则 . 题型六 综合应用型（解答题） 1．（2023·天津滨海新·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用正弦定理化简原式，直接利用余弦定理求的值即可； （2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值，利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式即可求解； （ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果． 【详解】（1）在中，由正弦定理 可得：，整理得， 由余弦定理，可得； （2）（i）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得， 由已知，可得，故有， 为锐角，可得，， 则； （ii）由（i）可得，, . 2．（22-23高三天津·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知. (1)若的面积等于，求； (2)若，求的面积； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据余弦定理可得，再根据三角形的面积即可求得答案； （2）利用正弦定理化角为边，再结合已知求出即可得解； （3）根据，可得，求出的关系，再结合已知求出即可得解. 【详解】（1）， 由余弦定理得，即，① ， ，② 联立①②解得； （2），由正弦定理得，③ 联立①③解得， ； （3）， ， 即，④ 联立①④解得， . 3．（2022·天津武清·模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理可求解答案； （2）由余弦定理可求解答案； （3）由正弦的两角差公式再结合二倍角公式可求得答案. 【详解】（1）由于，所以， 由得， 所以，且三角形为锐角三角形， 所以. （2）在中，由余弦定理有， 解得或（舍）， 故. （3）由，可得，， . 所以 . 4．（2022·天津南开·二模）在中，内角对边的边长分别是，已知． (1)若，，求； (2)若，求证：是等边三角形； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先由求得角B的值，再利用正弦定理即可求得 的值； （2）先利用余弦定理求得，再利用即可求得，进而证明是等边三角形； （3）先求得的值，再利用二倍角的余弦公式去求的值． 【详解】（1）中，．则， 又，，由正弦定理得 （2）中，．则， 则有 又，则，即， 则有，则有，又，则有 则是等边三角形； （3）中，．则，， 又，，则，则 则． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$