精品解析：江苏省南通市启东市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期期中质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ） A. B. C. D. 3. 小明用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 5. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，E是射线上的一动点，连接，将沿翻折，得到，连接，当是直角三角形时，的长为（ ） A. 18 B. 2 C. 3或4 D. 2或18 10. 定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 已知正比例函数的图象过点，则_____． 12. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为______． 13. 如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则__________． 14. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为________． 15. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是______． 16. 将一张长为，宽为的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的个长方形沿、剪开，再将这个直角三角形拼成如下的大正方形，则此大正方形的面积是___________________. 17. 已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 18. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 20. 已知：一次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）判断一次函数的图象是否经过点； （3）利用图象直接写出：当时，的取值范围． 21. 图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若为6米，为米，求停车位的面积． 22. 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 23. 某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程： 测量出绳子垂直落地后还剩余，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为，即，如图3． 求解过程：设旗杆的高度． 由测量得，，，， 在中，， ，即． ________． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． （1）数学兴趣小组求得所用到的几何知识是________定理； （2）直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度（用含，代数式表示）； （3）小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案：先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处（）．将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，如图4．求旗杆的高度（用含，代数式表示）． 24. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． （1）用前半部分电量行驶时，平均每千米用电________千瓦时； （2）求直线的函数表达式； （3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶多少千米？ 25. 综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． （1）求直线的解析式． （2）是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． （3）若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 有两条线段，，且，，若使线段与线段、构成直角三角形，则线段的长可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，关键掌握当三角形中三边的关系为：时，三角形为直角三角形． 根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【详解】解：A、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，故能构成直角三角形，符合题意； D、因为，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2. 在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）种植花草，尺寸如图，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求出是的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴是的中位线 ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． 3. 小明用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】剩余的钱=原有的钱-用去的钱，可列出函数关系式． 【详解】剩余的钱Q(元)与买这种笔记本的本数x之间的关系为：Q=50−8x. 故选D 【点睛】此题考查根据实际问题列一次函数关系式，解题关键在于列出方程 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 5. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：∵茶杯上下细中间粗， ∴水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意，   故选：A ． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求得的长度，进而可求得的长度，结合点的坐标，可求得点的坐标． 【详解】根据题意，可知， ， ∴． 又点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和勾股定理，牢记在平面直角坐标系中求两点距离的方法是解题的关键． 7. 如图，在边长为3的正方形中，点E在边上，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，设，则，，由勾股定理列方程，可求解． 【详解】解：∵ 设， 则，． 在中，， ， 解得． 则 故选：D 8. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴ ∴当时， 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，，E是射线上的一动点，连接，将沿翻折，得到，连接，当是直角三角形时，的长为（ ） A. 18 B. 2 C. 3或4 D. 2或18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，翻折定义，勾股定理等．根据题意分两种情况讨论，是直角三角形，且点E在边上和是直角三角形，且点E在边的延长线上时，利用矩形性质和翻折性质，继而利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解析：如图1，是直角三角形，且点E在边上，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折得， ∴， ∵， ∴D、、E三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴； 如图2，是直角三角形，且点E在边的延长线上，， 由翻折得， ∵， ∴点D在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为2或18， 故选：D． 10. 定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 已知正比例函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式． 利用待定系数法把点代入正比例函数中即可算出k的值． 【详解】解：把点代入正比例函数中， 得到， 解得， 故答案为： ． 12. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 如图所示，在平行四边形中，，，平分交于点E，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出． 根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出，继而可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 14. 如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象交点的横坐标及图象的位置关系即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，一次函数的图象过点A， ∴当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】此题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合是解题的关键． 15. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据勾股定理逆定理证明出，然后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵地位于，两地的中点处 ∴． 故答案为：． 16. 将一张长为，宽为的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的个长方形沿、剪开，再将这个直角三角形拼成如下的大正方形，则此大正方形的面积是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】计算得出中间小正方形的面积再加上原长方形的面积即可. 【详解】根据对折后剪开再拼图如下图： () ， () ， ∴小正方形的边长为：() ， ∴() ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了组合图形的面积及有理数的加减，关键是求得中间小正方形的面积． 17. 已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______ 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 18. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作于点，由菱形的性质得出，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．得出当时，最小，即最小． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，即最小， 的最小值． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 19. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，． （1）求梯子的长； （2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离． 【答案】（1）梯子的长为 （2）梯子的底端向外移动的距离为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯长不变，利用勾股定理求出梯子下滑后，底端到点的距离，再减去的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理，得：； 答：梯子的长为； 【小问2详解】 如图，由题意，得：，， 在中，， ∴梯子的底端向外移动的距离为：； 答：梯子的底端向外移动的距离为． 20. 已知：一次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）判断一次函数的图象是否经过点； （3）利用图象直接写出：当时，的取值范围． 【答案】（1） 如图所示． （2）一次函数的图象不经过点 （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出与轴或轴交点的坐标，描点、连线，即可画出函数的图象； （2）将点代入检验即可判断； （3）由图即可写出不等式的解即可； 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， 作出过、两点的直线方程； 【小问2详解】 当时，， 一次函数的图象是不经过点 【小问3详解】 解：观察函数图象，可知：当时，． 21. 图①所示是某小区倾斜式停车位，图②是车位示意图，工人在绘制时保证，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若为6米，为米，求停车位的面积． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点作于点，有平行四边形的性质得到，利用平行四边形的面积计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ， 在中，， （平方米）， 答：停车位的面积为平方米． 22. 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】 证明：（1）在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BE=BC， ∴∠BCE=∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE=2：3， ∴∠CBE=180°× =45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE=45°， ∴∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形． 【解析】 【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180°× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是本题的关键． 23. 某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程： 测量出绳子垂直落地后还剩余，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为，即，如图3． 求解过程：设旗杆的高度． 由测量得，，，， 在中，， ，即． ________． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． （1）数学兴趣小组求得所用到的几何知识是________定理； （2）直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度（用含，代数式表示）； （3）小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案：先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处（）．将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，如图4．求旗杆的高度（用含，代数式表示）． 【答案】（1）勾股 （2）米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式、矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可得； （2）先利用完全平方公式可得，则，据此求解即可得； （3）设，先求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：因为利用到了在中，，， 所以数学兴趣小组求得所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股． 【小问2详解】 解：由题可知，， ∵， ∴， ∴， 答：数学兴趣小组测量的旗杆高度为米． 【小问3详解】 解：设， 由题意得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 答：旗杆的高度为米． 24. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． （1）用前半部分电量行驶时，平均每千米用电________千瓦时； （2）求直线的函数表达式； （3）根据小明提供的数据，这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶多少千米？ 【答案】（1）0.2 （2）直线的函数表达式为 （3）这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶105千米 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数减法的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据函数图象，剩余电量一半时，即35千瓦时，汽车已行驶的路程为千米，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为千米，再结合（1）所得结论，得到前半部分电量行驶的路程为175千米，后半部分电量行驶的路程为千米，作差即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，剩余电量一半时，即35千瓦时，汽车已行驶的路程为千米， 平均每千米用电量为：（千瓦时/千米） 故答案为：； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ，解得：， 段的函数解析式为， 【小问3详解】 解：当时，，解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为千米， 由（2）可知，当汽车剩余电量为35千瓦时时，行驶的路程是千米， 即前半部分电量行驶的路程为千米，后半部分电量行驶的路程为千米， 千米， 答：这辆汽车用前半部分电量比用后半部分电量，能多行驶千米， 25. 综合与探究 问题情境 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，连接．将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F． 问题解决 （1）如图1，当点F落在边上时． ①求的长． ②如图2，连接交于点G，过点B作于点N，交于点M，试判断，与的数量关系，并说明理由． 深入探究 （2）当点F落在上方时，交于点P，交于点Q，连接．若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）①； ②；理由如下： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 则； （2）的长为 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和全等三角形的应用． （1）①根据矩形的性质得，，，由折叠得，，即可利用勾股定理求得和，设，则，再次利用勾股定理即可求得； ②根据矩形得，，由折叠得，，，，即可判定，得，结合等腰三角形的性质得，则； （2）根据题意可知只有满足题意，证明，有，，设，，，，，，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）①∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵将矩形沿直线折叠，点B的对应点为F， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 则； ②略 （2）的长为； 如图， ∵点F落在上方，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，，则，，， 根据折叠的性质得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 则． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． （1）求直线的解析式． （2）是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． （3）若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）存在，或 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线的解析式为 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 【小问3详解】 解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q的坐标为，，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $