信息必刷卷05（广东省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（广东专用） 考情速递 中考·新动向：增加开放性与探究性，逐渐增加试题开放性、探究性是近几年中考命题的趋势，强调知识综合运用：会注重考查学生对多个知识点的综合运用能力，一道题目可能涉及代数、几何、统计等多个领域的知识，要求学生具备融会贯通的能力。 中考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等，试题素材会体现数学与实际生活的联系，关注社会与经济发展、科学技术进步等。 命题·大预测：多元化与综合化：命题正朝着多元化、综合化方向发展，注重多维度的融合，例如数形结合、代数推理、跨学科融合以及综合实践应用等方面。 重视核心素养：更注重培养学生的基础知识、基本技能、基本思想以及核心能力，如运算能力、推理能力、几何直观能力、创新意识和综合实践能力等。如第21题体现知识综合运用，以高脚杯为背景，将几何图形与函数知识相融合，让学生将数学知识运用到解决与高脚杯相关的实际问题中，一道题目涵盖代数和几何两个领域，符合中考注重考查学生对多个知识点综合运用能力的趋势，要求学生具备融会贯通的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列运算结果为负数的是（　　） A．2﹣1 B．（﹣2）2 C．﹣（+2） D．|﹣2| 2．国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（　　） A．5.25×106 B．5.25×108 C．5.25×10﹣6 D．5.25×10﹣8 3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．±2 B．a3÷a2＝a C．m2•m3＝m6 D．（2x2）3＝6x6 5．在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．50° 6．学校计划从甲、乙两人中选拔1名同学参加市知识竞赛，两位同学6次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 7．如图，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数且a≠0）与正比例函数y2＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P（﹣4，2），则关于x的方程ax+b＝kx的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝4 8．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E是CD边上一点，以CE为一边作正方形CEMN，连接AM交CD于点H，若DH的长度为6，则CE的长为（　　） A．6 B．4 C．2 D． 9．如图，正五边形ABCDE的两条边AE，CD与⊙O相切，切点为点A，C，点F在圆上且在正五边形外部，则∠AFC的大小为（　　） A．52° B．72° C．88° D．90° 10．已知二次函数y＝（x﹣2）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＜2 D．1＜a＜3 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．分式方程的解为 　 　 ． 12．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的值可以是　 　 ． 14．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝120kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 15．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是 　 　 ． 3、 解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．计算：． 17．已知：如图，BP平分∠ABC，CD⊥BP于点D． （1）尺规作图：作直线DE，使DE∥BC，与AB相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知CD＝4，，求BE的长． 18．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学九年级数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶AB，AC，AD两两所成的角为120°．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角∠AEO＝53°，∠AEB是风叶AB的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在AO上时，求点C到地面EO的距离；（结果精确到1米） （2）在风叶旋转的过程中，求视角∠AEB的最大值．（参考数据，） 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19．《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了 　 　 名学生，中位数是 　 　 部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有 　 　 名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 20．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个更加环保的出行新时代．某新能源汽车生产车间现有A，B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同个工种的工人月工资相同．已知6个A工种工人的月工资与5个B工种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额为540万元． （1）求A，B两个工种工人的个人月工资． （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A，B两个工种工人共60人．要使车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的数量之差不高于80人，那么该如何招聘使得该车间每月应支付给这60个工人的工资总额最少，最少为多少？ 21．如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，杯底，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm．以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）． （1）求杯体CPD所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b，求k的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）． ①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22．综合探究 如图（1），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2m，E是BC的中点，△AFE与△ABE关于AE对称，连接FC． （1）求证：∠EFC＝∠FEA． （2）以AE为直径作⊙O． ①如图（2），过点F作FG⊥EC于点G，当EG＝CG时，试判断此时FG与⊙O的位置关系，并证明； ②如图（3），当5FC＝4OE时，求m的值． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（广东专用） 考情速递 中考·新动向：增加开放性与探究性，逐渐增加试题开放性、探究性是近几年中考命题的趋势，强调知识综合运用：会注重考查学生对多个知识点的综合运用能力，一道题目可能涉及代数、几何、统计等多个领域的知识，要求学生具备融会贯通的能力。 中考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等，试题素材会体现数学与实际生活的联系，关注社会与经济发展、科学技术进步等。 命题·大预测：多元化与综合化：命题正朝着多元化、综合化方向发展，注重多维度的融合，例如数形结合、代数推理、跨学科融合以及综合实践应用等方面。 重视核心素养：更注重培养学生的基础知识、基本技能、基本思想以及核心能力，如运算能力、推理能力、几何直观能力、创新意识和综合实践能力等。如第21题体现知识综合运用，以高脚杯为背景，将几何图形与函数知识相融合，让学生将数学知识运用到解决与高脚杯相关的实际问题中，一道题目涵盖代数和几何两个领域，符合中考注重考查学生对多个知识点综合运用能力的趋势，要求学生具备融会贯通的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列运算结果为负数的是（　　） A．2﹣1 B．（﹣2）2 C．﹣（+2） D．|﹣2| 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．0，是正数，不符合题意； B．（﹣2）2＝4＞0，是正数，不符合题意； C．﹣（+2）＝﹣2＜0，是负数，符合题意； D．|﹣2|＝2＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 2．国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（　　） A．5.25×106 B．5.25×108 C．5.25×10﹣6 D．5.25×10﹣8 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：525000000＝5.25×108． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4．下列运算正确的是（　　） A．±2 B．a3÷a2＝a C．m2•m3＝m6 D．（2x2）3＝6x6 【分析】分别根据算术平方根的定义，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可． 【解答】解：A.，故本选项不合题意； B．a3÷a2＝a，运算正确； C．m2•m3＝m5，故本选项不合题意； D．（2x2）3＝8x6，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5．在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB 的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．50° 【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD，∠CEF＝120°， ∴∠FE＝∠GFB＝60°， ∵∠HFG＝40°， ∴∠BFH＝∠GFB＝∠HFG＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 6．学校计划从甲、乙两人中选拔1名同学参加市知识竞赛，两位同学6次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【分析】根据方差的定义解答即可． 【解答】解：由统计图可知，甲在93至99之间波动，乙在95至97之间波动，所以甲的波动比乙大，即则． 故选：A． 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7．如图，一次函数y1＝ax+b（a，b为常数且a≠0）与正比例函数y2＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P（﹣4，2），则关于x的方程ax+b＝kx的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝4 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y1＝ax+b（a，b为常数且a≠0）与正比例函数y2＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P（﹣4，2）， ∴关于x的方程ax+b＝kx的解是x＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E是CD边上一点，以CE为一边作正方形CEMN，连接AM交CD于点H，若DH的长度为6，则CE的长为（　　） A．6 B．4 C．2 D． 【分析】根据题意设CE＝x，则EH＝6﹣x，再证明△ADH∽△MEH，再利用相似相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为12，正方形CEMN，DH的长度为6， ∴CH＝12﹣6＝6， 设CE＝x， 则EH＝6﹣x， ∵∠D＝∠HEM＝90°，∠AHD＝∠EHM， ∴△ADH∽△MEH， ∴， 即， 解得：x＝4， ∴CE＝4， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形性质等，解题的关键是掌握相关知识． 9．如图，正五边形ABCDE的两条边AE，CD与⊙O相切，切点为点A，C，点F在圆上且在正五边形外部，则∠AFC的大小为（　　） A．52° B．72° C．88° D．90° 【分析】连接OA、OC，由五边形ABCDE是正五边形，求得∠D＝∠E＝108°，由切线的性质推导出∠OAE＝∠OCD＝90°，求得∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣2×90°﹣2×108°＝144°，则∠AFC∠AOC＝72°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OC， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠D＝∠E（5﹣2）×180°＝108°， ∵AE，CD与⊙O相切，切点为点A，C， ∴AE⊥OA，CD⊥OC， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣2×90°﹣2×108°＝144°， ∴∠AFC∠AOC＝72°， 故选：B． 【点评】此题重点考查多边形内角和定理、正多边形和圆、切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．已知二次函数y＝（x﹣2）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0或a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＜2 D．1＜a＜3 【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，当x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，分a+1≤2，a﹣1＜2＜a+1，及a﹣1≥2三种情况考虑，根据y1＞y2，即可求出a的取值范围．（其实利用点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离来解决很简单） 【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2+2m+1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x≤2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴当a+1≤2，即a≤1时，显然成立； 当a﹣1＜2＜a+1，即1＜a＜3时，2﹣（a﹣1）＞a+1﹣2， 解得：a＜2， ∴1＜a＜2； 当a﹣1≥2，即a≥3时，显然不成立． 综上所述，a的取值范围为a＜2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键． 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．分式方程的解为 　x＝4　 ． 【分析】先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【解答】解：去分母得，3x＝2x+4， 解得x＝4， 检验：将x＝4代入x（x+2）＝24≠0， ∴原方程的解为x＝4． 故答案为：x＝4． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 12．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 　4　 ． 【分析】先将化简，再根据题意进行列式计算即可． 【解答】解：∵2，能与最简二次根式合并同类项， ∴x﹣1＝3， ∴x＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的值可以是　0（答案不唯一）　 ． 【分析】根据题意得出关于b的不等式，求出b的取值范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣1）2﹣4b＞0， 解得b， ∴b的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 14．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝120kg时，它的最快移动速度v＝ 　3　 m/s． 【分析】利用待定系数法求出v与m之间的函数关系式并将m＝120代入，求出对应v的值即可． 【解答】解：设v与m之间的函数关系式为v（k为常数，且k≠0）， 将m＝60，v＝6代入v， 得6， 解得k＝360， ∴v与m之间的函数关系式为v， 当m＝120时，v3， ∴当其载重后总质量m＝120kg时，它的最快移动速度v＝3m/s． 故答案为：3． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数关系式是解题的关键． 15．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是 　4　 ． 【分析】利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长． 【解答】解：设扇形的半径是r， 则2π×1， 解得：r＝4， ∴扇形的半径是4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键． 3、 解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16．计算：． 【分析】先根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂的运算法则把原式进行化简，再算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟知特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 17．已知：如图，BP平分∠ABC，CD⊥BP于点D． （1）尺规作图：作直线DE，使DE∥BC，与AB相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知CD＝4，，求BE的长． 【分析】（1）在BP的左侧作∠BDE＝∠DBC，DE交AB于点E即可； （2）过点E作EH⊥BD于点H．解直角三角形求出BD，EH，再利用勾股定理求解． 【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求； （2）过点E作EH⊥BD于点H． ∵CD⊥BP， ∴tamC， ∵CD＝4， ∴BD＝5， ∵AP平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∵∠DBC＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∵EH⊥BD， ∴BH＝DH， ∵∠EDH＝∠DBC， ∴tan∠EDH＝tan∠DBC， ∴， ∴EH＝2， ∴BE＝DE． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学九年级数学兴趣小组进行了如下实地测量．如图，三片风叶AB，AC，AD两两所成的角为120°．小组成员在离塔底O水平距离为48米的点E处，测得塔顶A的仰角∠AEO＝53°，∠AEB是风叶AB的视角．已知三片风叶的长度均为40米． （1）当点D在AO上时，求点C到地面EO的距离；（结果精确到1米） （2）在风叶旋转的过程中，求视角∠AEB的最大值．（参考数据，） 【分析】（1）在Rt△AEO中，利用三角函数求出AO＝64米．如图（1），过点C作CF⊥EO于点F，过点A作AG⊥CF于点G，则四边形AOFG是矩形，根据矩形的性质及线段的和差即可求出点C到地面EO的距离． （2）作AB′⊥BE于B′，在Rt△AB′E中，根据AB′＝AE•sin∠AEB，AE是定值，AB′随着∠AEB的增大而增大，可知当B′、B两点重合，EB与⊙A相切于点B时，AB′＝AB，AB′最大，此时∠AEB最大，∠ABE＝90°，解直角三角形即可求解． 【解答】解：（1）∵离塔底O水平距离为48米的点E， ∴OE＝48米， 在Rt△AEO中，∠AEO＝53°， ∴（米）． 如图（1），过点C作CF⊥EO于点F，过点A作AG⊥CF于点G， ∴∠AOF＝∠AGF＝∠OFG＝90°， 则四边形AOFG是矩形， ∴GF＝AO＝64米，∠OAG＝90°， ∴∠CAG＝30°， ∴米， ∴CF＝20+64＝84（米）， 故点C到地面EO的距离约为84米； （2）作AB′⊥BE于B′， 在Rt△AB′E中，AB′＝AE•sin∠AEB， ∵AE是定值， ∴AB′随着∠AEB的增大而增大，当B′、B两点重合，EB与⊙A相切于点B时，AB′＝AB，AB′最大，此时∠AEB最大，此时∠ABE＝90°， 如图（2）， 在Rt△AEO中，（米）， ∵， ∴∠AEB＝30°， 故视角∠AEB的最大值为30°． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，视点、视角和盲区，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19．《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了 　80　 名学生，中位数是 　2　 部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有 　288　 名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案． （2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案． （4）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次调查一共抽取了20÷25%＝80（名）学生． 将这80名学生的调查结果按照从大到小的顺序排列，排在第40和41个的数据为2部，2部， ∴中位数为（2+2）÷2＝2（部）． 故答案为：80；2． （2）“1部”的人数为80﹣4﹣20﹣16﹣12＝28（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）480288（名）， ∴估计约有288名学生至少阅读完2部必读名著． 故答案为：288． （4）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一部名著的结果有4种， ∴两人恰好阅读同一部名著的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 20．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个更加环保的出行新时代．某新能源汽车生产车间现有A，B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同个工种的工人月工资相同．已知6个A工种工人的月工资与5个B工种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额为540万元． （1）求A，B两个工种工人的个人月工资． （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A，B两个工种工人共60人．要使车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的数量之差不高于80人，那么该如何招聘使得该车间每月应支付给这60个工人的工资总额最少，最少为多少？ 【分析】（1）设A工种工人的个人月工资为x元，B工种工人的个人月工资为y元，根据“6个A工种工人的月工资与5个B工种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额为540万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再招聘m个A工种工人，则再招聘（60﹣m）个B工种工人，根据要使车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的数量之差不高于80人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该车间每月应支付给这60个工人的工资总额为w元，利用该车间每月应支付给这60个工人的工资总额＝A工种工人的个人月工资×再招聘A工种工人数+B工种工人的个人月工资×再招聘B工种工人数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A工种工人的个人月工资为x元，B工种工人的个人月工资为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A工种工人的个人月工资为10000元，B工种工人的个人月工资为12000元； （2）设再招聘m个A工种工人，则再招聘（60﹣m）个B工种工人， 根据题意得：300+m﹣[200+（60﹣m）]≤80， 解得：m≤20， 设该车间每月应支付给这60个工人的工资总额为w元，则w＝10000m+12000（60﹣m）， 即w＝﹣2000m+720000， ∵﹣2000＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣2000×20+720000＝680000，此时60﹣m＝60﹣20＝40（人）． 答：该再招聘20个A工种工人，40个B工种工人，才能使得该车间每月应支付给这60个工人的工资总额最少，最少为680000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 21．如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，杯底，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm．以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）． （1）求杯体CPD所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b，求k的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）． ①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【分析】（1）根据题意，得到P（0，6），D（3，15），设抛物线的解析式为y＝ax2+b，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+6＝x2﹣4x+10，再计算直线DE的解析式和直线DP的解析式，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设DQ与y轴的交点为M，计算OM的长即可得到坐标． ②设点N是抛物线上的一点，且N（n，n2+6），0≤n≤3；过点N作NG∥y轴，交DM于点G，过点G作GE⊥y轴于点E，确定，计算GN得最大值，且最大值为，过点N作NH⊥MD于点H，则， 故NH的最大值为． 【解答】解：（1）∵OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴P（0，6），D（3，15）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+b， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+6． （2）∵抛物线的解析式为y＝x2+6， ∴平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+6＝x2﹣4x+10． ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，E（0，10），P（2，6）， ∴E（0，10）的对称点为F（4，10）， ∵（3，15）， ∴平移后D（5，15）， 设直线DE的解析式为y＝kx+10， ∴15＝5k+10， 解得k＝1； ∴y＝x+10； 设直线DF的解析式为y＝px+q， ∴， 解得； ∴y＝5x﹣10， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E， ∴1＜k＜5． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设DQ与y轴的交点为M，直线l与y轴的交点为S， ∵CD＝6，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴，OT＝15， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为y＝x2+6， 设点N是抛物线上的一点，且N（n，n2+6），0≤n≤3； 过点N作NG∥y轴，交DM于点G， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， 过点G作GE⊥y轴于点E， ∵NG∥y轴， ∴GE＝n，∠TMD＝∠MGN＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a＝﹣1＜0，， ∴时，GN取得最大值，且最大值为， 过点N作NH⊥MD于点H， 则， 故NH的最大值为， 故液体的最大深度为． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22．综合探究 如图（1），在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2m，E是BC的中点，△AFE与△ABE关于AE对称，连接FC． （1）求证：∠EFC＝∠FEA． （2）以AE为直径作⊙O． ①如图（2），过点F作FG⊥EC于点G，当EG＝CG时，试判断此时FG与⊙O的位置关系，并证明； ②如图（3），当5FC＝4OE时，求m的值． 【分析】（1）根据题意可得2∠FEA+∠2＝180°，∠EFC＝∠3，通过等量代换即可得证； （2）①连接OF，根据题意求得∠4＝30°，证得OF＝OE，利用切线的判定定理证得OF⊥FG，即可解答； ②连接OF，证明△OEF∽△EFC，并得到OE，EF，FC之间的比例关系，结合条件5FC＝4OE，设FC＝4x，进而得到的比例关系求出m与x之间的数量关系，在Rt△ABE中利用勾股定理列出含m，x的方程，结合数量关系求出m的值． 【解答】（1）证明：如图， ∵△AFE与△ABE关于AE对称， ∴EF＝EB，∠FEA＝∠1， ∴2∠FEA+∠2＝180°， ∵E是BC的中点， ∴EC＝EB， ∴EF＝EC， ∴∠EFC＝∠3， ∴2∠EFC+∠2＝180°， ∴∠EFC＝∠FEA． （2）①FG与⊙O相切，证明如下： 如图，连接OF， ∵EG＝CG，BE＝CE，BC＝2m， ∴，EF＝BE＝m， 在Rt△EFG中，， ∴∠4＝30°， ∴∠2＝60°， ∴∠1＝∠3＝60°， 在矩形ABCD中，∠B＝90°， 由对称可知∠AFE＝90°， ∵AE是⊙O的直径， ∴点F在⊙O上， ∴OF＝OE， ∴∠5＝∠3＝60°， ∴∠4+∠5＝90°， 即OF⊥FG， ∴FG 与⊙O相切． ②如图，连接OF， ∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， 由（1）知∠EFC＝∠ECF，∠EFC＝∠FEA， ∴∠OEF＝∠OFE＝∠EFC＝∠ECF， ∴△OEF∽△EFC， ∴， ∵5FC＝4OE， 设FC＝4x，则OE＝5x， ∵， ∴， ∴m2＝20x2， 在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝2OE＝10x， ∴22+m2＝（10x）2＝100x2＝5m2， ∴m2＝1， ∴m＝1（负值已舍）． 【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查矩形的性质，切线的判定与性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质，切线的判定与性质是解题的关键． 23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 【分析】（1）由题意得：x2x+2； （2）证明△MND∽△BOC，则MN：ND＝BO：OC，即，即可求解； （3）由，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：x2x+2； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，2）， 由点B、C的坐标得：， 设点N（t，﹣t2tx+2），则点M（t，t+2），点D（t，﹣t2tx+2）， ∴． ∵PM∥OC，则△BOC∽△BPM， ∵△MND∽△BPM， ∴△MND∽△BOC， ∴MN：ND＝BO：OC，即， 解得：（舍去）或1或7（舍去）， ∴； （3）设点， 由点A、Q的坐标得，AQ的表达式为：y＝﹣（m﹣4）（x）， 则点F（0，2m）， 则 ， ∴当时，． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（广东专用） 数学·参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A B B A A B B C 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11.x＝4 12.4 13.0（答案不唯一） 14.3 15.4 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.解： ． 17.解：（1）如图，直线DE即为所求； （2）过点E作EH⊥BD于点H． ∵CD⊥BP， ∴tamC， ∵CD＝4， ∴BD＝5， ∵AP平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∵∠DBC＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∵EH⊥BD， ∴BH＝DH， ∵∠EDH＝∠DBC， ∴tan∠EDH＝tan∠DBC， ∴， ∴EH＝2， ∴BE＝DE． 18.解：（1）∵离塔底O水平距离为48米的点E， ∴OE＝48米， 在Rt△AEO中，∠AEO＝53°， ∴（米）． 如图（1），过点C作CF⊥EO于点F，过点A作AG⊥CF于点G， ∴∠AOF＝∠AGF＝∠OFG＝90°， 则四边形AOFG是矩形， ∴GF＝AO＝64米，∠OAG＝90°， ∴∠CAG＝30°， ∴米， ∴CF＝20+64＝84（米）， 故点C到地面EO的距离约为84米； （2）作AB′⊥BE于B′， 在Rt△AB′E中，AB′＝AE•sin∠AEB， ∵AE是定值， ∴AB′随着∠AEB的增大而增大，当B′、B两点重合，EB与⊙A相切于点B时，AB′＝AB，AB′最大，此时∠AEB最大，此时∠ABE＝90°， 如图（2）， 在Rt△AEO中，（米）， ∵， ∴∠AEB＝30°， 故视角∠AEB的最大值为30°． 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分. 19.解：（1）本次调查一共抽取了20÷25%＝80（名）学生． 将这80名学生的调查结果按照从大到小的顺序排列，排在第40和41个的数据为2部，2部， ∴中位数为（2+2）÷2＝2（部）． 故答案为：80；2． （2）“1部”的人数为80﹣4﹣20﹣16﹣12＝28（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）480288（名）， ∴估计约有288名学生至少阅读完2部必读名著． 故答案为：288． （4）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两人恰好阅读同一部名著的结果有4种， ∴两人恰好阅读同一部名著的概率为． 20.解：（1）设A工种工人的个人月工资为x元，B工种工人的个人月工资为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A工种工人的个人月工资为10000元，B工种工人的个人月工资为12000元； （2）设再招聘m个A工种工人，则再招聘（60﹣m）个B工种工人， 根据题意得：300+m﹣[200+（60﹣m）]≤80， 解得：m≤20， 设该车间每月应支付给这60个工人的工资总额为w元，则w＝10000m+12000（60﹣m）， 即w＝﹣2000m+720000， ∵﹣2000＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最小值，最小值＝﹣2000×20+720000＝680000，此时60﹣m＝60﹣20＝40（人）． 答：该再招聘20个A工种工人，40个B工种工人，才能使得该车间每月应支付给这60个工人的工资总额最少，最少为680000元． 21.解：（1）∵OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴P（0，6），D（3，15）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+b， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+6． （2）∵抛物线的解析式为y＝x2+6， ∴平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+6＝x2﹣4x+10． ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，E（0，10），P（2，6）， ∴E（0，10）的对称点为F（4，10）， ∵（3，15）， ∴平移后D（5，15）， 设直线DE的解析式为y＝kx+10， ∴15＝5k+10， 解得k＝1； ∴y＝x+10； 设直线DF的解析式为y＝px+q， ∴， 解得； ∴y＝5x﹣10， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E， ∴1＜k＜5． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设DQ与y轴的交点为M，直线l与y轴的交点为S， ∵CD＝6，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴，OT＝15， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为y＝x2+6， 设点N是抛物线上的一点，且N（n，n2+6），0≤n≤3； 过点N作NG∥y轴，交DM于点G， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， 过点G作GE⊥y轴于点E， ∵NG∥y轴， ∴GE＝n，∠TMD＝∠MGN＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a＝﹣1＜0，， ∴时，GN取得最大值，且最大值为， 过点N作NH⊥MD于点H， 则， 故NH的最大值为， 故液体的最大深度为． 五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分. 22.（1）证明：如图， ∵△AFE与△ABE关于AE对称， ∴EF＝EB，∠FEA＝∠1， ∴2∠FEA+∠2＝180°， ∵E是BC的中点， ∴EC＝EB， ∴EF＝EC， ∴∠EFC＝∠3， ∴2∠EFC+∠2＝180°， ∴∠EFC＝∠FEA． （2）①FG与⊙O相切，证明如下： 如图，连接OF， ∵EG＝CG，BE＝CE，BC＝2m， ∴，EF＝BE＝m， 在Rt△EFG中，， ∴∠4＝30°， ∴∠2＝60°， ∴∠1＝∠3＝60°， 在矩形ABCD中，∠B＝90°， 由对称可知∠AFE＝90°， ∵AE是⊙O的直径， ∴点F在⊙O上， ∴OF＝OE， ∴∠5＝∠3＝60°， ∴∠4+∠5＝90°， 即OF⊥FG， ∴FG 与⊙O相切． ②如图，连接OF， ∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， 由（1）知∠EFC＝∠ECF，∠EFC＝∠FEA， ∴∠OEF＝∠OFE＝∠EFC＝∠ECF， ∴△OEF∽△EFC， ∴， ∵5FC＝4OE， 设FC＝4x，则OE＝5x， ∵， ∴， ∴m2＝20x2， 在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝2OE＝10x， ∴22+m2＝（10x）2＝100x2＝5m2， ∴m2＝1， ∴m＝1（负值已舍）． 23.解：（1）由题意得：x2x+2； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，2）， 由点B、C的坐标得：， 设点N（t，﹣t2tx+2），则点M（t，t+2），点D（t，﹣t2tx+2）， ∴． ∵PM∥OC，则△BOC∽△BPM， ∵△MND∽△BPM， ∴△MND∽△BOC， ∴MN：ND＝BO：OC，即， 解得：（舍去）或1或7（舍去）， ∴； （3）设点， 由点A、Q的坐标得，AQ的表达式为：y＝﹣（m﹣4）（x）， 则点F（0，2m）， 则 ， ∴当时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$