（从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一-2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

1 / 8 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一 一、填空题 1．一个梯形下底是上底的 3倍，如果将上底延长 6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯 形上底是( )厘米，下底是( )厘米。 2．一个等腰梯形，下底是上底的 3倍，把上底延长 6厘米，恰好变成一个周长 26 厘米的平行 四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 3．把一张长 16 厘米、宽 8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上 10 个点 为顶点，在长方形内，画一个高是 8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高 是 8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 4．把一张长 24 厘米、宽 12 厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的 10 个点 为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是( )厘米。用 4个这样的梯形拼成一个长方 形，算一算这个长方形的周长最短是( )厘米。 5．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 6．三角形 ABC 中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 2 / 8 7．三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要 3根木棒，拼 2个三角形需要 5 根木棒，拼 4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼 n个三角形需要( ) 根木棒。 8．用一根长 18 厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余， 共可以围出 种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有 个。 9．一根长 14 厘米的吸管，如果第一段从 4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开）， 第二段从( )或( )厘米处剪开，剪成的 3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( ) 个。 二、选择题 11．在一个三角形中，最小的一个角是 47°，这个三角形一定是（ ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 12．数一数，下图中一共有（ ）个梯形。 A．12 B．13 C．14 D．15 13．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（ ）。 A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损 14．在图中找一个点，使它和点 A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（ ）种不同的选 法。 3 / 8 A．4 B．5 C．6 D．7 15．已知一个多边形的内角和是 720°，它是（ ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 16．在三角形 ABC 中，∠A－∠C＝∠B，那么这个三角形一定是（ ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 17．用下边六根小棒，你能围成（ ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 18．图中有（ ）个三角形。 A．6个 B．10 个 C．12 个 19．如图，在正方形格点上已经有 3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的 3 个点 可以连成一个平行四边形，那么第 4个点的位置可以有（ ）种情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 20．把一根 13 厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一 段小棒不能超过（ ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 三、计算题 21．如图，已知三角形 ABC 是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 4 / 8 四、操作题 22．①以 AB 为一边，画一个 100º的角。 ②以 CD 为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以 EF 为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 23．按要求做一做。（每个小正方形的边长是 1cm） （1）画出 A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全 B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移 9格后的图形。 五、解答题 24．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是 16 厘米，等 腰梯形的周长是 28 厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 5 / 8 25．如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从 A出发经过 C到达 B，与从 A出发经过 D，F，E到达 B，哪条路线更近？ 26．下图中正方形的内角和是多少度？沿着它的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三 角形，再将它们拼成一个较大的三角形，拼成的大三角形的内角和是多少度？ 27．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的 2倍， ∠3的度数是∠1的 3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 28．有 10 根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为 1，最长的 89，现在想用其中的 3根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能拼成。这 10 根木条中第二长的木条长多少？ 6 / 8 29．如图，制作一种零件，要求 AB 垂直于 BC，∠BOD＝130°，并且 AB 和 CD 的延长线的夹角 是 40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 30．从长度分别为 2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的 5根木棒中选取若干根木棒摆三 角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形 视为一种。） 31．一个梯形的下底的长度是上底的 4倍，如果将上底延长 21 厘米就成了一个平行四边形， 则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 32．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是 16 厘米，等腰梯形的周长是 24 厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？ 7 / 8 33．将一根 24 厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀 应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线 分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条 边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或 列表等。） 34．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果 如图。 （1）通过观察我发现（ ）、（ ）、（ ）能单独密铺，（ ）不能单独密铺。 8 / 8 （2）请从数学的角度解释你的发现： 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一 一、填空题 1．一个梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形上底是( )厘米，下底是( )厘米。 2．一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长6厘米，恰好变成一个周长26厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 3．把一张长16厘米、宽8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上10个点为顶点，在长方形内，画一个高是8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高是8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 4．把一张长24厘米、宽12厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是( )厘米。用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是( )厘米。 5．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 6．三角形ABC中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 7．三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 8．用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出 种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有 个。 9．一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 二、选择题 11．在一个三角形中，最小的一个角是47°，这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 12．数一数，下图中一共有（    ）个梯形。 A．12 B．13 C．14 D．15 13．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（    ）。 A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损 14．在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 15．已知一个多边形的内角和是720°，它是（    ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 16．在三角形ABC中，∠A－∠C＝∠B，那么这个三角形一定是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 17．用下边六根小棒，你能围成（    ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 18．图中有（    ）个三角形。 A．6个 B．10个 C．12个 19．如图，在正方形格点上已经有3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的3个点可以连成一个平行四边形，那么第4个点的位置可以有（    ）种情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 20．把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（    ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 三、计算题 21．如图，已知三角形ABC是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 四、操作题 22．①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 23．按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 五、解答题 24．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 25．如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从A出发经过C到达B，与从A出发经过D，F，E到达B，哪条路线更近？ 26．下图中正方形的内角和是多少度？沿着它的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形，再将它们拼成一个较大的三角形，拼成的大三角形的内角和是多少度？ 27．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 28．有10根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为1，最长的89，现在想用其中的3根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能拼成。这10根木条中第二长的木条长多少？ 29．如图，制作一种零件，要求AB垂直于BC，∠BOD＝130°，并且AB和CD的延长线的夹角是40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 30．从长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的5根木棒中选取若干根木棒摆三角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形视为一种。） 31．一个梯形的下底的长度是上底的4倍，如果将上底延长21厘米就成了一个平行四边形，则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 32．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？ 33．将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。） 34．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果如图。 （1）通过观察我发现（    ）、（    ）、（    ）能单独密铺，（    ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一 答案解析 一、填空题 1．一个梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】3 9 【解题思路】这个梯形的下底是上底的3倍，即下底是3个上底长；延长6厘米后，变成了平行四边形，也就是延长了3－1＝2个上底长，即2个上底长＝6厘米；求一个数的几倍是多少，用乘法；据此求解即可。 【详细解答】根据分析可得： 上底长： 6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米）； 下底长：3×3＝9（厘米）； 【考点点评】本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。 2．一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长6厘米，恰好变成一个周长26厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 【答案】4 【解题思路】根据题意可知，下底是上底的3倍，下底比上底多6厘米，6除以3与1的差等于上底的长度，上底长度乘3等于下底长度，平行四边形的周长减2个梯形下底的长度等于梯形两腰的长度和，再除以2即等于一条腰的长度，据此即可解答。 【详细解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） （26－3×3×2）÷2 ＝（26－18）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 原来梯形的一条腰长4厘米。 【考点点评】分析清楚上、下底间的关系是解答本题的关键。 3．把一张长16厘米、宽8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上10个点为顶点，在长方形内，画一个高是8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高是8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 【答案】12 16 【解题思路】 如图所示，长方形的长边被平均分成4份，其中1份是16÷4＝4（厘米）。要使最大的平行四边形的高是8厘米，则平行四边形的高等于长方形的宽，平行四边形的底应为3×4＝12（厘米）。 如图所示，画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和为长方形的长，即16厘米。 【详细解答】16÷4＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 4＋12＝16（厘米） 则画出的最大的平行四边形的高是8厘米，与它对应的底是12厘米。 画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和是16厘米。 【考点点评】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质。平行四边形的两组对边平行，垂足所在的边叫做底。等腰梯形的两条腰相等。 4．把一张长24厘米、宽12厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是( )厘米。用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是( )厘米。 【答案】42 132 【解题思路】对折两次后长方形的长被平均分成4份。要画出最大的梯形那么梯形的上底应该占3份，下底和长方形的长一样，据此用24除以4再乘3求出上底的长，再加上下底的长即可； 用2个梯形上底和下底互相拼接可以组成一个大长方形，大长方形的宽就是原来的宽，长就等于梯形的上底与下底的和，再用剩余的2个梯形同样拼成这样的大长方形，这时2个大长方形可以宽边与宽边重合或者长边与长边重合，组成一个更大的长方形。宽边与宽边重合时，宽不变，长变为大长方形长的2倍；长边与长边重合时，长不变，宽变为大长方形宽的2倍；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别计算后再比较选择短的即可。 【详细解答】24÷4×3 ＝6×3 ＝18（厘米） 18＋24＝42（厘米） 则以展开图上的10个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是42厘米。 宽边与宽边重合： （12＋42×2）×2 ＝（12＋84）×2 ＝96×2 ＝192（厘米） 长边与长边重合： （42＋12×2）×2 ＝（42＋24）×2 ＝66×2 ＝132（厘米） 132＜192 用4个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是132厘米。 【考点点评】解答本题的关键是要明确梯形的上、下底长度不一样，并且在拼接为长方形时要分情况讨论。 5．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】75 80 60 【解题思路】（1）有一个角是直角，有两条边相等的三角形是直角三角形，同时还是等腰三角形； 如图，蓝色三角形既是直角三角形又是等腰三角形，它的顶角是90°。 因为，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°； 所以，蓝色三角形的底角和＝三角形内角和－顶角；∠5＝蓝色三角形的底角和÷2；∠1＝三角形内角和－∠5－60°。 （2）利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出∠2的度数。 （3） 如图，大三角形是个等腰三角形，因此∠6＝40°； 因为三角形内角和是180°，所以∠3＝三角形内角和－∠2－∠6。 【详细解答】（1）180°－（180°－90°）÷2－60° ＝180°－90°÷2－60° ＝180°－45°－60° ＝135°－60° ＝75° 因此，∠1＝75°。 （2）与∠2不相邻的两个内角都是40° 40°＋40°＝80° 因此，∠2＝80°。 （3）180°－80°－40° ＝100°－40° ＝60° 因此，∠3＝60°。 【考点点评】本题主要考查三角形内角和的应用，关键在于找到图形中和特殊三角形有关的信息，如直角三角形、等腰三角形。 6．三角形ABC中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 【答案】360 【解题思路】三角形的内角和为180°，那么用180°减去45°可以计算出∠B和∠C的度数和；而减去的三角形中另外两个角的度数也为（180°－45°），观察发现虚线是将两个平角各分成两部分，平角为180°；那么剩下图形靠虚线的两个角度数和为（180°×2）减去（180°－45°），最后将剩下图形靠虚线的两个角度数和加上∠B和∠C的度数和即可。 【详细解答】根据分析： ∠B＋∠C＝180°－45°＝135° （180°×2）－（180°－45°） ＝360°－135° ＝225° 225°＋135°＝360° 所以剩下的图形的内角和是360°。 【考点点评】掌握三角形的内角和，以及对平角度数的认识，是解答本题的关键。 7．三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 【答案】稳定 9 【解题思路】根据所学，三角形具有稳定性，观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【详细解答】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 所以三角形具有稳定性，拼4个三角形需要9根木棒，以此类推，拼n个三角形需要（2n＋1）根木棒。 【考点点评】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 8．用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出 种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有 个。 【答案】7 4 【解题思路】根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，结合题意，铁丝的长度是18厘米，即所围成的三角形的周长是18厘米，所以最长边的长度必须小于三条边长度的一半，即18÷2＝9（厘米），即最长边应小于9厘米，从最长边8厘米依次列举出所有可能的情况即可，然后从所有情况中找出等腰三角形（含等边三角形）的个数进行解答即可。 【详细解答】18÷2＝9（厘米） 最长边应小于9厘米。 当最长边是8厘米时，围成的三角形可以是： ①8厘米，8厘米，2厘米； ②8厘米，7厘米，3厘米； ③8厘米，6厘米，4厘米； ④8厘米，5厘米，5厘米； 当最长边是7厘米时，围成的三角形可以是： ①7厘米，7厘米，4厘米； ②7厘米，6厘米，5厘米； 当最长边是6厘米时，围成的三角形可以是： ①6厘米，6厘米，6厘米； 4＋2＋1＝7（种） 所以用一根长18厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余，共可以围出7种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有4个。 【考点点评】熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键。 9．一根长14厘米的吸管，如果第一段从4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开），第二段从( )或( )厘米处剪开，剪成的3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【答案】8 9 【解题思路】这根吸管长14厘米，第一段长4厘米，剩下吸管长14－4＝10厘米。等腰三角形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是4厘米、4厘米、6厘米，或者4厘米、5厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从4＋4＝8厘米或者4＋5＝9厘米处剪开。 【详细解答】14－4－4＝6（厘米） 4＋4＞6 则长4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （14－4）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 4＋5＞5 则长4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。 4＋4＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 第二段从8厘米或者9厘米处剪开。 【考点点评】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 【答案】6 2 3 9 【解题思路】根据学过的图形的特点，依次数出各个图形的个数。有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形；长方形的两组对边互相平行，且两组对边分别相等，4个角都是直角；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【详细解答】 如图：，直角三角形有6个，分别是图形①、②、③、④、⑤、⑥。平行四边形有2个，分别是①和②、⑤和⑥拼成的平行四边形。 长方形有3个，分别是②和③、④和⑤、②③④⑤拼成的长方形。 梯形有9个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、①②③④、③④⑤⑥、①②③④⑤、②③④⑤⑥以及①②③④⑤⑥拼成的梯形。 直角三角形有6个，平行四边形有2个，长方形有3个，梯形有9个。 【考点点评】熟记三角形、长方形、平行四边形和梯形的特征是解题关键。 二、选择题 11．在一个三角形中，最小的一个角是47°，这个三角形一定是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，由题意可知，另一个锐角的度数一定大于47°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因为三角形的内角和是180°，所以可得出第三个内角必定小于90°，则这个三角形是锐角三角形。 【详细解答】结合三角形的特性，以及三角形的内角和定理可知，一个最小角是47°的三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A。 【考点点评】本题具有一定的思维量，能够想到一个三角形至少有2个锐角，是最基本的条件；再进一步考虑内角和180°，经过计算后可得出答案；本题具有举一反三的特性。 12．数一数，下图中一共有（    ）个梯形。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解题思路】观察图形可知，单独上面一层有6个梯形，单独下面一层有4个梯形，上、下层合起来有4个梯形，据此解题即可。 【详细解答】6＋4＋4＝14（个） 所以，图中一共有14个梯形。 故答案为：C 【考点点评】认真观察图形，有序数出图中梯形的个数，是解答此题的关键。 13．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（    ）。 A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损 【答案】D 【解题思路】这样做皮带可以磨损的面积就变大了。 【详细解答】“莫比乌斯带”状的传动带可以两面磨损。 故答案为：D 【考点点评】莫比乌斯带能够解决一些在平面上无法解决的问题，如手套易位问题。 14．在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过C点作AB边的平行线，此时有4个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。 【详细解答】 4＋2＝6（种） 故答案为：C 【考点点评】此题考查的是搭配问题的计算，熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。 15．已知一个多边形的内角和是720°，它是（    ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【解题思路】三角形的内角和是180°，先看720°里面有几个180°，用720除以180得4，即这个多边形可以被分为4个三角形，而过六边形的一个顶点连接对角线，可以将其分成4个三角形，据此解答。 【详细解答】720°÷180°＝4 4＋2＝6 这是一个六边形。 故答案为：C 【考点点评】一个四边形可以分成2个三角形，一个五边形可以分成3个三角形，一个六边形可以分成4个三角形。 16．在三角形ABC中，∠A－∠C＝∠B，那么这个三角形一定是（    ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】B 【解题思路】三角形内角和180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，再和题中的已知条件∠A－∠C＝∠B结合，可求出∠A等于多少度，进而确定这个三角形的类型。 【详细解答】∠A＋∠B＋∠C＝180°，把∠B＝∠A－∠C代入上式可得：∠A＋（∠A－∠C）＋∠C＝180°，即2个∠A＝180°；即∠A＝180°÷2＝90°； 三角形ABC的三个角中，有一个是直角，是直角三角形。 故答案为：B 【考点点评】通过题中的已知条件，确定出∠A的度数是解答此题的关键。 17．用下边六根小棒，你能围成（    ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，根据三角形三边的关系，先选出两根长度为3的小棒，3＋3＝6，6＞3，6＞2，6＞5，第三根小棒可以为3、2、5，那么可以围成三角形的小棒有：3、3、3，3、3、2，3、3、5；选出两根长度为2的小棒，2＋2＝4，4＞3，4＜5，第三根小棒可以为3，那么可以围成三角形的小棒有：2、2、3；因为两根3和两根2都选过了，再选会重复，那么可以选出3、2、5看能不能围成三角形，3＋2＝5，5＝5，那么3、2、5不能围成三角形；据此解答。 【详细解答】根据分析：可以围成三角形的3根小棒有：①3、3、3，②3、3、2，③3、3、5，④2、2、3，所以能围成4种三角形。 故答案为：C 【考点点评】掌握三角形的三边关系，是解答本题的关键。 18．图中有（    ）个三角形。 A．6个 B．10个 C．12个 【答案】C 【解题思路】如下图，从顶点引出4条线段，每2条线段与底边可以组成一个三角形，共可组成3＋2＋1＝6个三角形，原图有2个底边，就可以组成6×2＝12个三角形。 【详细解答】（3＋2＋1）×2＝12（个） 故答案为：C。 【考点点评】先通过简单的图形找出数三角形个数的规律，然后再数复杂图形。 19．如图，在正方形格点上已经有3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的3个点可以连成一个平行四边形，那么第4个点的位置可以有（    ）种情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据平行四边形特征，平行四边形的对边平行且相等，作图即可。 【详细解答】1.依次连接1、2、3点（或3、2、1），然后根据平行四边形的特征作出平行四边形即可。 2.依次连接1、3、2点（或2、3、1），然后根据平行四边形的特征作出平行四边形即可。 3.依次连接2、1、3点（或3、1、2），然后根据平行四边形的特征作出平行四边形即可。 如图，在正方形格点上已经有3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的3个点可以连成一个平行四边形，那么第4个点的位置可以有3种情况。 故答案为：C 【考点点评】按不同的顺序连接，已知的3点做出部分图形，进而画出平行四边形，是解答此题的关键。 20．把一根13厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一段小棒不能超过（    ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。据此可知，最长的一段小棒应小于三角形的周长的一半。这根小棒长13厘米，即三角形的周长为13厘米。13÷2＝6……1，则最长的一段小棒应小于等于6厘米。 【详细解答】13÷2＝6（厘米）……1（厘米） 则这个三角形中最长的一段小棒最长为6厘米，不能超过6厘米。 故答案为：A 【考点点评】本题考查三角形的三边关系，常运用三角形的三边关系判断给出的三条线段能否组成一个三角形。 三、计算题 21．如图，已知三角形ABC是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 【答案】75° 【解题思路】三角形的内角和是180°，在直角三角形中，两个锐角的和是90°，在直角三角形ABC中，∠A＋∠ACB＝90°，已知∠A的度数，可以求出∠ACB的度数；根据条件“∠1＝∠2”可以求出∠2的度数，∠2的度数是∠ACB的一半；在直角三角形DBC中，∠3＋∠2＝90°，则∠3＝90°－∠2，据此列式解答。 【详细解答】∠ACB＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 因为∠1＝∠2，所以∠2＝30°÷2＝15°； ∠3＝90°－∠2 ＝90°－15° ＝75° 答：∠3的度数是75°。 【考点点评】此题是考查三角形内角定理的实际应用，三角形三个内角的和是180°，由此即可推出直角三角形两锐角之和是90°。 四、操作题 22．①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 【答案】见详解 【解题思路】（1）使用量角器画100度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的高 【详细解答】 【考点点评】掌握画角、画平行四边形、梯形的方法，以及画高的方法是解题关键。 23．按要求做一做。（每个小正方形的边长是1cm） （1）画出A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形。 【答案】 （1）（2）见详解 【解题思路】（1）画三角形的高：从三角形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点，据此作图。 【详细解答】如图所示 【考点点评】熟练掌握画高的方法，以及如何画出轴对称图形是本题的解题关键。 五、解答题 24．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是16厘米，等腰梯形的周长是28厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 【答案】6厘米；5厘米 【解题思路】如下图，等腰梯形的周长也就是一个等腰三角形的周长加等腰三角形两条底边的长度。用等腰梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，即是两条等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长，等腰梯形上底的长度等于等腰三角形底边的长度，据此求出等腰梯形的上底；等腰梯形的腰长与等腰三角形的腰长相等，用等腰三角形的周长减去等边长，再除以2，即可求出它们的腰长。据此作答。 【详细解答】上底：（28－16）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 腰：（16－6）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：这个等腰梯形的上底长6厘米，一条腰长5厘米。 25．如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从A出发经过C到达B，与从A出发经过D，F，E到达B，哪条路线更近？ 【答案】两条路线一样近 【解题思路】三个三角形都是等边三角形，大三角形的边长是35＋15＝50（厘米），中三角形的边长是35厘米，小三角形的边长是15厘米，等边三角形的三条边都相等，第一条路线的长度就是大三角形的两条边长，第二条路线的长度就是中、小三角形的两条边长之和，据此计算比较即可解答。 【详细解答】路线A→C→B：35＋15＝50（厘米） 50×2＝100（厘米） 路线：A→D→F→E→B： 35×2＋15×2 ＝70＋30 ＝100（厘米） 100厘米＝100厘米 答：两条路线一样近。 26．下图中正方形的内角和是多少度？沿着它的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形，再将它们拼成一个较大的三角形，拼成的大三角形的内角和是多少度？ 【答案】360°；180° 【解题思路】根据正方形与三角形的特征及其内角的角度可求出正方形的内角和与大三角形的内角和。 正方形四个角为直角，即每个角是90°，可列式能够得出正方形的内角和。 根据题目中沿着正方形的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形可知，如图可以这样拼成一个大三角形。因为分成两个一样的三角形，所以∠1＝∠2，∠1利用可求出，∠3＝∠4，利用可求出四个角然后将四个角相加即是大三角形的内角和。 【详细解答】 ∠1和∠2为： ∠3和∠4为： 答：正方形的内角和是360°，大三角形的内角和是180°。 27．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】直角 【解题思路】已知∠2的度数是∠1的2倍，∠3的度数是∠1的3倍，把∠1的度数看作1份，则∠2的度数是2份，∠3的度数是3份。那么三个角的度数总共是1＋2＋3＝6份。可求出∠1的度数为180°÷（3＋2＋1）＝30°，最大角∠3的度数为30°×3＝90°，根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可知这个三角形按角分是直角三角形。 【详细解答】∠1＝180°÷（3＋2＋1） ＝180°÷6 ＝30° ∠2＝30°×2＝60° ∠3＝30°×3＝90° 答：这个三角形按角分是直角三角形。 28．有10根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为1，最长的89，现在想用其中的3根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能拼成。这10根木条中第二长的木条长多少？ 【答案】55 【解题思路】紧扣三角形三边关系，当两边之和等于第三边时，组不成三角形，据此解答。 【详细解答】因为三角形性质是两边之和大于第三边，当两边之和等于第三边时，组不成三角形，从第三个开始每个都是前两个数的和， 所以10根的长度分别是：1，2，3，5，8，13，21，34，55和89。 答：这10根木条中第二长的木条长55。 【考点点评】此题是三角形三边关系的灵活应用。 29．如图，制作一种零件，要求AB垂直于BC，∠BOD＝130°，并且AB和CD的延长线的夹角是40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 【答案】90° 【解题思路】延长AB和CD相交于E点，∠E＝40°，作图如下： 在三角形BCE中，∠C＝180°－90°－∠E，求出∠C的度数； ∠AOB和∠BOD组成平角，∠AOB ＝180°－∠BOD，求出∠AOB的度数；在三角形AOB中，∠A ＝180°－90°－∠AOB，求出∠A的度数，再求出∠A＋∠C的度数和。 【详细解答】延长AB和CD相交于E点。 ∠C＝180°－90°－∠E＝90°－40°＝50°； ∠AOB ＝180°－∠BOD＝180°－130°＝50°；∠A ＝180°－90°－∠AOB＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40°； ∠A＋∠C＝40°＋50°＝90° 答：∠A＋∠C的度数是90°才符合要求。 【考点点评】把∠A、∠C分别放在不同的三角形中，求出它们的度数，是解答此题的关键。 30．从长度分别为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的5根木棒中选取若干根木棒摆三角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形视为一种。） 【答案】29种 【解题思路】根据三角形的三边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。分情况讨论，可以是3根小棒，4根小棒、5根小棒。将符合条件的一一举例列出。 【详细解答】①3根小棒：（2，3，4）、（2、4、5）、（2、5、6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（3、5、6）（4，5，6）有7种； ②4根小棒：选2、3、4、5，组成的三角形有（2＋3，4，5）、（2＋4，3，5），有2种 选2、3、4、6，组成的三角形有（2＋3，4，6）、（2＋4，3，6）、（3＋4，2，6）有3种 选2、3、5、6，组成的三角形有（2＋3，5，6）、（2＋5，3，6），有2种 选2、4、5、6，组成的三角形有（2＋4，5，6）、（2＋5，4，6）、（2＋6，4，5）有3种； 选3、4、5、6，组成的三角形有（3＋4，5，6）、（3＋5，4，6）有2种； ③5根小棒：选2、3、4、5、6，组成的三角形有（2＋3、4＋5，6）、（2＋4、3＋5、6）、（2＋5、3＋4，6）、（2＋4、3＋6，5）、（2＋6、3＋4、5）、（2＋5、3＋6、4）、（2＋6、3＋5、4）、（3＋6、4＋5、2）、（2＋6，4＋5，3）、（2＋3＋4、5、6），有10种。 7＋2＋3＋2＋3＋2＋10＝29（种） 答：可以有29种不同的摆法。 【考点点评】按照题目的要求，分类情况讨论，在讨论的过程中，要按照顺序，做到不遗漏，不重复。 31．一个梯形的下底的长度是上底的4倍，如果将上底延长21厘米就成了一个平行四边形，则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 【答案】7厘米；28厘米 【解题思路】梯形的一组对边平行，平行四边形的两组对边平行且相等；如果将上底延长21厘米，就边长了一个平行四边形，说明梯形的下底比上底长21厘米；已知下底的长度是上底的4倍，把上底的长度看作1份，下底的长度就为4份，那么上底和下底的差是（4－1）份，对应为21厘米；用21除以（4－1）计算出1份的长度，也就是上底的长度；再乘4计算出下底的长度；据此解答。 【详细解答】上底： 21÷（4－1） ＝21÷3 ＝7（厘米） 下底：7×4＝28（厘米） 答：这个梯形的上底是7厘米，下底是28厘米。 【考点点评】掌握梯形和平行四边形的概念，以及和差倍问题的计算方法，是解答本题的关键。 32．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是16厘米，等腰梯形的周长是24厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？ 【答案】底4厘米；腰6厘米 【解题思路】由图可知，梯形的周长可以拆分为一个等腰三角形的周长加上两个等腰三角形的底边长，故用梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，求出两个等腰三角形的底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的底边长；等腰三角形的两腰长相等，所以用等腰三角形的周长减去底边长，再除以2，即可求出等腰三角形的腰长，据此作答。 【详细解答】（24－16）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 答：等腰三角形的底边长4厘米，腰长6厘米。 【考点点评】解决这类问题的关键在于理解图形之间的组合关系，并且运用周长的概念和等腰三角形的特性来建立数量关系。 33．将一根24厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或列表等。） 【答案】（1）不能；如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）如图：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。 （3）5种情况 【解题思路】（1）在中点0处剪开之后，两边一样长，无论剪哪边，剪开之后两段的长度刚好等于第三段的长度，不能围成三角形。因为三角形中，任意两边之和大于第三边。 （2）由图可知，A点左边的长度大于A点右边的长度，第二刀应该选择在A点左边线段上剪，因为这样剪开之后两段的长度和大于A点右边的长度，能围成三角形。 (3)根据三角形的三边关系，可以采用列表法进行解答。 【详细解答】（1）由分析可知：不能，如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）由分析可知：第二刀应该选择在A点左边线段上剪。如图： （3）如下表： 腰长/厘米 底长/厘米 周长/厘米 1 22 不能围成 2 20 不能围成 3 18 不能围成 4 16 不能围成 5 14 不能围成 6 12 不能围成 7 10 24 8 8 24 9 6 24 10 4 24 11 2 24 12 0 不能围成 有5种情况 【考点点评】本题考查了三角形的三边关系的应用，结合题意分析解答即可。 34．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果如图。 （1）通过观察我发现（    ）、（    ）、（    ）能单独密铺，（    ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 【答案】（1）三角形；正方形；正六边形；正五边形 （2）见详解 【解题思路】（1）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；由图即可看出哪此图形能单独密铺，哪些图形不能单独密铺； （2）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；通过计算可知：一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；据此解答。 【详细解答】根据分析： （1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺； 五边形的内角和是540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺； 六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺； 答：我发现一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。 【考点点评】此题考查了密铺的意义、能密铺图形的特征。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 24 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一 答案解析 一、填空题 1．一个梯形下底是上底的 3倍，如果将上底延长 6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯 形上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】3 9 【解题思路】这个梯形的下底是上底的 3倍，即下底是 3个上底长；延长 6厘米后，变成了平 行四边形，也就是延长了 3－1＝2个上底长，即 2个上底长＝6厘米；求一个数的几倍是多少， 用乘法；据此求解即可。 【详细解答】根据分析可得： 上底长： 6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米）； 下底长：3×3＝9（厘米）； 【考点点评】本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。 2．一个等腰梯形，下底是上底的 3倍，把上底延长 6厘米，恰好变成一个周长 26 厘米的平行 四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 【答案】4 【解题思路】根据题意可知，下底是上底的 3倍，下底比上底多 6厘米，6除以 3与 1的差等 于上底的长度，上底长度乘 3等于下底长度，平行四边形的周长减 2个梯形下底的长度等于梯 形两腰的长度和，再除以 2即等于一条腰的长度，据此即可解答。 【详细解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） （26－3×3×2）÷2 ＝（26－18）÷2 2 / 24 ＝8÷2 ＝4（厘米） 原来梯形的一条腰长 4厘米。 【考点点评】分析清楚上、下底间的关系是解答本题的关键。 3．把一张长 16 厘米、宽 8厘米的长方形纸对折两次后展开（如图所示），以展开图上 10 个点 为顶点，在长方形内，画一个高是 8厘米的最大平行四边形，底是( )厘米；画一个高 是 8厘米的最小等腰梯形，上底与下底的和是( )厘米。 【答案】12 16 【解题思路】 如图所示，长方形的长边被平均分成 4份，其中 1份是 16÷4＝4（厘米）。要使最大的平行四 边形的高是 8厘米，则平行四边形的高等于长方形的宽，平行四边形的底应为 3×4＝12（厘 米）。 如图所示，画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和为长方形的长，即 16 厘米。 【详细解答】16÷4＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 4＋12＝16（厘米） 3 / 24 则画出的最大的平行四边形的高是 8厘米，与它对应的底是 12 厘米。 画出的最小的等腰梯形的上底与下底的和是 16 厘米。 【考点点评】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质。平行四边形的两组对边平行，垂足所在 的边叫做底。等腰梯形的两条腰相等。 4．把一张长 24 厘米、宽 12 厘米的长方形纸对折再对折，展开后如图。以展开图上的 10 个点 为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是( )厘米。用 4个这样的梯形拼成一个长方 形，算一算这个长方形的周长最短是( )厘米。 【答案】42 132 【解题思路】对折两次后长方形的长被平均分成 4份。要画出最大的梯形那么梯形的上底应该 占 3份，下底和长方形的长一样，据此用 24 除以 4再乘 3求出上底的长，再加上下底的长即 可； 用 2个梯形上底和下底互相拼接可以组成一个大长方形，大长方形的宽就是原来的宽，长就等 于梯形的上底与下底的和，再用剩余的 2个梯形同样拼成这样的大长方形，这时 2个大长方形 可以宽边与宽边重合或者长边与长边重合，组成一个更大的长方形。宽边与宽边重合时，宽不 变，长变为大长方形长的 2倍；长边与长边重合时，长不变，宽变为大长方形宽的 2倍；再根 据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别计算后再比较选择短的即可。 【详细解答】24÷4×3 ＝6×3 ＝18（厘米） 18＋24＝42（厘米） 则以展开图上的 10 个点为顶点，画出的最大梯形的上底与下底的和是 42 厘米。 宽边与宽边重合： （12＋42×2）×2 ＝（12＋84）×2 ＝96×2 ＝192（厘米） 4 / 24 长边与长边重合： （42＋12×2）×2 ＝（42＋24）×2 ＝66×2 ＝132（厘米） 132＜192 用 4 个这样的梯形拼成一个长方形，算一算这个长方形的周长最短是 132 厘米。 【考点点评】解答本题的关键是要明确梯形的上、下底长度不一样，并且在拼接为长方形时要 分情况讨论。 5．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】75 80 60 【解题思路】（1）有一个角是直角，有两条边相等的三角形是直角三角形，同时还是等腰三角 形； 如图，蓝色三角形既是直角三角形又是等腰三角形，它的顶角是 90°。 因为，等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是 180°； 所以，蓝色三角形的底角和＝三角形内角和－顶角；∠5＝蓝色三角形的底角和÷2；∠1＝三 角形内角和－∠5－60°。 （2）利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出∠2的度数。 （3） 5 / 24 如图，大三角形是个等腰三角形，因此∠6＝40°； 因为三角形内角和是 180°，所以∠3＝三角形内角和－∠2－∠6。 【详细解答】（1）180°－（180°－90°）÷2－60° ＝180°－90°÷2－60° ＝180°－45°－60° ＝135°－60° ＝75° 因此，∠1＝75°。 （2）与∠2不相邻的两个内角都是 40° 40°＋40°＝80° 因此，∠2＝80°。 （3）180°－80°－40° ＝100°－40° ＝60° 因此，∠3＝60°。 【考点点评】本题主要考查三角形内角和的应用，关键在于找到图形中和特殊三角形有关的信 息，如直角三角形、等腰三角形。 6．三角形 ABC 中∠A＝45°（如图），沿虚线剪去这个角，剩下的图形的内角和是( )°。 【答案】360 【解题思路】三角形的内角和为 180°，那么用 180°减去 45°可以计算出∠B和∠C的度数 和；而减去的三角形中另外两个角的度数也为（180°－45°），观察发现虚线是将两个平角各 分成两部分，平角为 180°；那么剩下图形靠虚线的两个角度数和为（180°×2）减去（180° －45°），最后将剩下图形靠虚线的两个角度数和加上∠B和∠C的度数和即可。 【详细解答】根据分析： ∠B＋∠C＝180°－45°＝135° 6 / 24 （180°×2）－（180°－45°） ＝360°－135° ＝225° 225°＋135°＝360° 所以剩下的图形的内角和是 360°。 【考点点评】掌握三角形的内角和，以及对平角度数的认识，是解答本题的关键。 7．三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要 3根木棒，拼 2个三角形需要 5 根木棒，拼 4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼 n个三角形需要( ) 根木棒。 【答案】稳定 9 2 1n + 【解题思路】根据所学，三角形具有稳定性，观察图形可知，摆 1个、2个、3个三角形分别 要小棒的数量是 3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加 2根，据此 找到规律。 【详细解答】观察图形可知： 摆 1个三角形要 3根小棒，3＝1×2＋1； 摆 2个三角形要 5根小棒，5＝2×2＋1； 摆 3个三角形要 7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆 n个三角形要（2n＋1）根小棒。 所以三角形具有稳定性，拼 4个三角形需要 9根木棒，以此类推，拼 n个三角形需要（2n＋1） 根木棒。 【考点点评】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 8．用一根长 18 厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余， 共可以围出 种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有 个。 【答案】7 4 【解题思路】根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，结合题意，铁丝的长度 是 18 厘米，即所围成的三角形的周长是 18 厘米，所以最长边的长度必须小于三条边长度的一 7 / 24 半，即 18÷2＝9（厘米），即最长边应小于 9厘米，从最长边 8厘米依次列举出所有可能的情 况即可，然后从所有情况中找出等腰三角形（含等边三角形）的个数进行解答即可。 【详细解答】18÷2＝9（厘米） 最长边应小于 9厘米。 当最长边是 8厘米时，围成的三角形可以是： ①8厘米，8厘米，2厘米； ②8厘米，7厘米，3厘米； ③8厘米，6厘米，4厘米； ④8厘米，5厘米，5厘米； 当最长边是 7厘米时，围成的三角形可以是： ①7厘米，7厘米，4厘米； ②7厘米，6厘米，5厘米； 当最长边是 6厘米时，围成的三角形可以是： ①6厘米，6厘米，6厘米； 4＋2＋1＝7（种） 所以用一根长 18 厘米的铁丝围三角形，要求三角形三条边的长度都是整厘米数且铁丝无剩余， 共可以围出 7种不同的三角形，其中等腰三角形（含等边三角形）有 4个。 【考点点评】熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键。 9．一根长 14 厘米的吸管，如果第一段从 4厘米处剪开（如下图，需要在整厘米数处剪开）， 第二段从( )或( )厘米处剪开，剪成的 3小段，正好可以围成一个等腰三角形。 【答案】8 9 【解题思路】这根吸管长 14 厘米，第一段长 4厘米，剩下吸管长 14－4＝10 厘米。等腰三角 形的两条腰相等，则这个等腰三角形的三条边可以是 4厘米、4厘米、6厘米，或者 4厘米、5 厘米、5厘米。根据三角形的三边关系，它们能围成等腰三角形，所以第二段就应从 4＋4＝8 厘米或者 4＋5＝9厘米处剪开。 【详细解答】14－4－4＝6（厘米） 4＋4＞6 8 / 24 则长 4厘米、4厘米、6厘米的三条线段能围成一个三角形。 （14－4）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 4＋5＞5 则长 4厘米、5厘米、5厘米的三条线段能围成一个三角形。 4＋4＝8（厘米） 4＋5＝9（厘米） 第二段从 8厘米或者 9厘米处剪开。 【考点点评】本题考查等腰三角形的特性和三角形的三边关系，先根据等腰三角形的特性找出 可能的三条边的组合，再根据三角形的三边关系判断这个等腰三角形的三条边的长度。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( ) 个。 【答案】6 2 3 9 【解题思路】根据学过的图形的特点，依次数出各个图形的个数。有一个角是直角的三角形是 直角三角形；两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形；长方形的两组对边互相平行，且 两组对边分别相等，4个角都是直角；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【详细解答】 如图： ，直角三角形有 6个，分别是图形①、②、③、④、⑤、⑥。平 行四边形有 2个，分别是①和②、⑤和⑥拼成的平行四边形。 长方形有 3个，分别是②和③、④和⑤、②③④⑤拼成的长方形。 梯形有 9个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、①②③④、③④⑤⑥、①②③④⑤、 ②③④⑤⑥以及①②③④⑤⑥拼成的梯形。 直角三角形有 6个，平行四边形有 2个，长方形有 3个，梯形有 9个。 【考点点评】熟记三角形、长方形、平行四边形和梯形的特征是解题关键。 9 / 24 二、选择题 11．在一个三角形中，最小的一个角是 47°，这个三角形一定是（ ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】因为在一个三角形中，至少有 2个锐角，由题意可知，另一个锐角的度数一定大 于 47°，则这两个锐角的和一定大于 90°，又因为三角形的内角和是 180°，所以可得出第 三个内角必定小于 90°，则这个三角形是锐角三角形。 【详细解答】结合三角形的特性，以及三角形的内角和定理可知，一个最小角是 47°的三角 形一定是锐角三角形。 故答案为：A。 【考点点评】本题具有一定的思维量，能够想到一个三角形至少有 2个锐角，是最基本的条件； 再进一步考虑内角和 180°，经过计算后可得出答案；本题具有举一反三的特性。 12．数一数，下图中一共有（ ）个梯形。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解题思路】观察图形可知，单独上面一层有 6个梯形，单独下面一层有 4个梯形，上、下层 合起来有 4个梯形，据此解题即可。 【详细解答】6＋4＋4＝14（个） 所以，图中一共有 14 个梯形。 故答案为：C 【考点点评】认真观察图形，有序数出图中梯形的个数，是解答此题的关键。 13．机器上的传动带做成“莫比乌斯带”状的好处是（ ）。 A．美观漂亮 B．弹性增加 C．绷得更紧 D．两面磨损 【答案】D 【解题思路】这样做皮带可以磨损的面积就变大了。 【详细解答】“莫比乌斯带”状的传动带可以两面磨损。 10 / 24 故答案为：D 【考点点评】莫比乌斯带能够解决一些在平面上无法解决的问题，如手套易位问题。 14．在图中找一个点，使它和点 A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（ ）种不同的选 法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过 C 点作 AB 边的平行线，此时有 4个点可与点 A、B、C依次连接成为一个梯形；过 A点作 BC 边的 平行线，此时有 2个点可与点 A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。 【详细解答】 4＋2＝6（种） 故答案为：C 【考点点评】此题考查的是搭配问题的计算，熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的 关键。 15．已知一个多边形的内角和是 720°，它是（ ）。 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】C 【解题思路】三角形的内角和是 180°，先看 720°里面有几个 180°，用 720 除以 180 得 4， 即这个多边形可以被分为 4个三角形，而过六边形的一个顶点连接对角线，可以将其分成 4 个三角形，据此解答。 【详细解答】720°÷180°＝4 4＋2＝6 11 / 24 这是一个六边形。 故答案为：C 【考点点评】一个四边形可以分成 2个三角形，一个五边形可以分成 3个三角形，一个六边形 可以分成 4个三角形。 16．在三角形 ABC 中，∠A－∠C＝∠B，那么这个三角形一定是（ ）。 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】B 【解题思路】三角形内角和 180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，再和题中的已知条件∠A－∠C ＝∠B结合，可求出∠A等于多少度，进而确定这个三角形的类型。 【详细解答】∠A＋∠B＋∠C＝180°，把∠B＝∠A－∠C代入上式可得：∠A＋（∠A－∠C） ＋∠C＝180°，即 2个∠A＝180°；即∠A＝180°÷2＝90°； 三角形 ABC 的三个角中，有一个是直角，是直角三角形。 故答案为：B 【考点点评】通过题中的已知条件，确定出∠A的度数是解答此题的关键。 17．用下边六根小棒，你能围成（ ）种三角形。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解题思路】三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，根据三角形三边的关系， 先选出两根长度为 3的小棒，3＋3＝6，6＞3，6＞2，6＞5，第三根小棒可以为 3、2、5，那 么可以围成三角形的小棒有：3、3、3，3、3、2，3、3、5；选出两根长度为 2的小棒，2＋2 ＝4，4＞3，4＜5，第三根小棒可以为 3，那么可以围成三角形的小棒有：2、2、3；因为两根 3和两根 2都选过了，再选会重复，那么可以选出 3、2、5看能不能围成三角形，3＋2＝5，5 ＝5，那么 3、2、5不能围成三角形；据此解答。 【详细解答】根据分析：可以围成三角形的 3根小棒有：①3、3、3，②3、3、2，③3、3、5， ④2、2、3，所以能围成 4种三角形。 故答案为：C 【考点点评】掌握三角形的三边关系，是解答本题的关键。 18．图中有（ ）个三角形。 12 / 24 A．6 个 B．10 个 C．12 个 【答案】C 【解题思路】如下图，从顶点引出 4条线段，每 2条线段与底边可以组成一个三角形，共可组 成 3＋2＋1＝6个三角形，原图有 2个底边，就可以组成 6×2＝12 个三角形。 【详细解答】（3＋2＋1）×2＝12（个） 故答案为：C。 【考点点评】先通过简单的图形找出数三角形个数的规律，然后再数复杂图形。 19．如图，在正方形格点上已经有 3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的 3 个点 可以连成一个平行四边形，那么第 4个点的位置可以有（ ）种情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据平行四边形特征，平行四边形的对边平行且相等，作图即可。 【详细解答】1.依次连接 1、2、3点（或 3、2、1），然后根据平行四边形的特征作出平行四 边形即可。 13 / 24 2.依次连接 1、3、2点（或 2、3、1），然后根据平行四边形的特征作出平行四边形即可。 3.依次连接 2、1、3点（或 3、1、2），然后根据平行四边形的特征作出平行四边形即可。 如图，在正方形格点上已经有 3个点，想在这个格子图中再找一个点，使与之前的 3个点可以 连成一个平行四边形，那么第 4个点的位置可以有 3种情况。 故答案为：C 【考点点评】按不同的顺序连接，已知的 3点做出部分图形，进而画出平行四边形，是解答此 题的关键。 20．把一根 13 厘米长的小棒截成三段（整厘米数），围成一个三角形。这个三角形中最长的一 段小棒不能超过（ ）厘米。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于 第三边。据此可知，最长的一段小棒应小于三角形的周长的一半。这根小棒长 13 厘米，即三 角形的周长为 13 厘米。13÷2＝6……1，则最长的一段小棒应小于等于 6厘米。 【详细解答】13÷2＝6（厘米）……1（厘米） 则这个三角形中最长的一段小棒最长为 6厘米，不能超过 6厘米。 故答案为：A 14 / 24 【考点点评】本题考查三角形的三边关系，常运用三角形的三边关系判断给出的三条线段能否 组成一个三角形。 三、计算题 21．如图，已知三角形 ABC 是直角三角形，∠A＝60°，且∠1＝∠2，求∠3的度数。 【答案】75° 【解题思路】三角形的内角和是 180°，在直角三角形中，两个锐角的和是 90°，在直角三角 形 ABC 中，∠A＋∠ACB＝90°，已知∠A的度数，可以求出∠ACB 的度数；根据条件“∠1＝∠ 2”可以求出∠2的度数，∠2的度数是∠ACB 的一半；在直角三角形 DBC 中，∠3＋∠2＝90°， 则∠3＝90°－∠2，据此列式解答。 【详细解答】∠ACB＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 因为∠1＝∠2，所以∠2＝30°÷2＝15°； ∠3＝90°－∠2 ＝90°－15° ＝75° 答：∠3的度数是 75°。 【考点点评】此题是考查三角形内角定理的实际应用，三角形三个内角的和是 180°，由此即 可推出直角三角形两锐角之和是 90°。 四、操作题 22．①以 AB 为一边，画一个 100º的角。 ②以 CD 为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以 EF 为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 15 / 24 【答案】见详解 【解题思路】（1）使用量角器画 100 度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的 高 【详细解答】 【考点点评】掌握画角、画平行四边形、梯形的方法，以及画高的方法是解题关键。 23．按要求做一做。（每个小正方形的边长是 1cm） （1）画出 A号图形指定底边上的高。 （2）先根据对称轴补全 B号轴对称图形，再画出这个轴对称图形向右平移 9格后的图形。 【答案】 （1）（2）见详解 【解题思路】（1）画三角形的高：从三角形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之 间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据 图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。作平移后的图形步骤：找出构成图形的关 键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点 平移后的对应点的位置，连接对应点，据此作图。 【详细解答】如图所示 16 / 24 【考点点评】熟练掌握画高的方法，以及如何画出轴对称图形是本题的解题关键。 五、解答题 24．用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。每个等腰三角形的周长是 16 厘米，等 腰梯形的周长是 28 厘米。这个等腰梯形的上底长多少厘米？一条腰长多少厘米？ 【答案】6厘米；5厘米 【解题思路】如下图，等腰梯形的周长也就是一个等腰三角形的周长加等腰三角形两条底边的 长度。用等腰梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，即是两条等腰三角形的底边长，再除以 2，即可求出等腰三角形的底边长，等腰梯形上底的长度等于等腰三角形底边的长度，据此求 出等腰梯形的上底；等腰梯形的腰长与等腰三角形的腰长相等，用等腰三角形的周长减去等边 长，再除以 2，即可求出它们的腰长。据此作答。 【详细解答】上底：（28－16）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 腰：（16－6）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：这个等腰梯形的上底长 6厘米，一条腰长 5厘米。 25．如下图所示的是由三个等边三角形组成的图形，一只小蚂蚁从 A出发经过 C到达 B，与从 A出发经过 D，F，E到达 B，哪条路线更近？ 【答案】两条路线一样近 【解题思路】三个三角形都是等边三角形，大三角形的边长是 35＋15＝50（厘米），中三角形 的边长是 35 厘米，小三角形的边长是 15 厘米，等边三角形的三条边都相等，第一条路线的长 17 / 24 度就是大三角形的两条边长，第二条路线的长度就是中、小三角形的两条边长之和，据此计算 比较即可解答。 【详细解答】路线 A→C→B：35＋15＝50（厘米） 50×2＝100（厘米） 路线：A→D→F→E→B： 35×2＋15×2 ＝70＋30 ＝100（厘米） 100 厘米＝100 厘米 答：两条路线一样近。 26．下图中正方形的内角和是多少度？沿着它的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三 角形，再将它们拼成一个较大的三角形，拼成的大三角形的内角和是多少度？ 【答案】360°；180° 【解题思路】根据正方形与三角形的特征及其内角的角度可求出正方形的内角和与大三角形的 内角和。 正方形四个角为直角，即每个角是 90°，可列式90 能够得出正方形的内角和。 根据题目中沿着正方形的一条对角线剪开，得到两个完全一样的直角三角形可知，如图可以这 样拼成一个大三角形。 因为分成两个一样的三角形，所以∠1＝ ∠2，∠1利用90 2  可求出，∠3＝∠4，利用90 2  可求出四个角然后将四个角相加即是大三 角形的内角和。 【详细解答】90    ∠1和∠2为：90 2 45    ∠3和∠4为：90 2 45    45 45 45 45       90 45 45      18 / 24 135 45    180  答：正方形的内角和是 360°，大三角形的内角和是 180°。 27．在一个三角形中，∠1，∠2，∠3是三角形的三个内角，其中∠2的度数是∠1的 2倍， ∠3的度数是∠1的 3倍。这个三角形按角分是什么三角形？ 【答案】直角 【解题思路】已知∠2的度数是∠1的 2倍，∠3的度数是∠1的 3倍，把∠1的度数看作 1份， 则∠2的度数是 2份，∠3的度数是 3份。那么三个角的度数总共是 1＋2＋3＝6份。可求出∠ 1的度数为 180°÷（3＋2＋1）＝30°，最大角∠3的度数为 30°×3＝90°，根据直角三角 形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可知这个三角形按角分是直角三角形。 【详细解答】∠1＝180°÷（3＋2＋1） ＝180°÷6 ＝30° ∠2＝30°×2＝60° ∠3＝30°×3＝90° 答：这个三角形按角分是直角三角形。 28．有 10 根长度不等的木条，每根长度都是整数，最短的为 1，最长的 89，现在想用其中的 3根拼成一个三角形木架，但是不管怎样都不能拼成。这 10 根木条中第二长的木条长多少？ 【答案】55 【解题思路】紧扣三角形三边关系，当两边之和等于第三边时，组不成三角形，据此解答。 【详细解答】因为三角形性质是两边之和大于第三边，当两边之和等于第三边时，组不成三角 形，从第三个开始每个都是前两个数的和， 所以 10 根的长度分别是：1，2，3，5，8，13，21，34，55 和 89。 答：这 10 根木条中第二长的木条长 55。 【考点点评】此题是三角形三边关系的灵活应用。 29．如图，制作一种零件，要求 AB 垂直于 BC，∠BOD＝130°，并且 AB 和 CD 的延长线的夹角 是 40°，那么∠A＋∠C的度数是多少才符合要求？ 19 / 24 【答案】90° 【解题思路】延长 AB 和 CD 相交于 E点，∠E＝40°，作图如下： 在三角形 BCE 中，∠C＝180°－90°－∠E，求出∠C的度数； ∠AOB 和∠BOD 组成平角，∠AOB ＝180°－∠BOD，求出∠AOB 的度数；在三角形 AOB 中，∠A ＝180°－90°－∠AOB，求出∠A的度数，再求出∠A＋∠C的度数和。 【详细解答】延长 AB 和 CD 相交于 E点。 ∠C＝180°－90°－∠E＝90°－40°＝50°； ∠AOB ＝180°－∠BOD＝180°－130°＝50°；∠A ＝180°－90°－∠AOB＝180°－90°－ 50°＝90°－50°＝40°； ∠A＋∠C＝40°＋50°＝90° 答：∠A＋∠C的度数是 90°才符合要求。 20 / 24 【考点点评】把∠A、∠C分别放在不同的三角形中，求出它们的度数，是解答此题的关键。 30．从长度分别为 2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的 5根木棒中选取若干根木棒摆三 角形，可以有多少种不同的摆法？（允许连接，但不允许折断；经过旋转、翻转后一样的图形 视为一种。） 【答案】29 种 【解题思路】根据三角形的三边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。分 情况讨论，可以是 3根小棒，4根小棒、5根小棒。将符合条件的一一举例列出。 【详细解答】①3根小棒：（2，3，4）、（2、4、5）、（2、5、6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（3、 5、6）（4，5，6）有 7种； ②4根小棒：选 2、3、4、5，组成的三角形有（2＋3，4，5）、（2＋4，3，5），有 2种 选 2、3、4、6，组成的三角形有（2＋3，4，6）、（2＋4，3，6）、（3＋4，2，6）有 3种 选 2、3、5、6，组成的三角形有（2＋3，5，6）、（2＋5，3，6），有 2种 选 2、4、5、6，组成的三角形有（2＋4，5，6）、（2＋5，4，6）、（2＋6，4，5）有 3种； 选 3、4、5、6，组成的三角形有（3＋4，5，6）、（3＋5，4，6）有 2种； ③5根小棒：选 2、3、4、5、6，组成的三角形有（2＋3、4＋5，6）、（2＋4、3＋5、6）、（2 ＋5、3＋4，6）、（2＋4、3＋6，5）、（2＋6、3＋4、5）、（2＋5、3＋6、4）、（2＋6、3＋5、4）、 （3＋6、4＋5、2）、（2＋6，4＋5，3）、（2＋3＋4、5、6），有 10 种。 7＋2＋3＋2＋3＋2＋10＝29（种） 答：可以有 29 种不同的摆法。 【考点点评】按照题目的要求，分类情况讨论，在讨论的过程中，要按照顺序，做到不遗漏， 不重复。 31．一个梯形的下底的长度是上底的 4倍，如果将上底延长 21 厘米就成了一个平行四边形， 则这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 【答案】7厘米；28 厘米 【解题思路】梯形的一组对边平行，平行四边形的两组对边平行且相等；如果将上底延长 21 厘米，就边长了一个平行四边形，说明梯形的下底比上底长 21 厘米；已知下底的长度是上底 的 4倍，把上底的长度看作 1份，下底的长度就为 4份，那么上底和下底的差是（4－1）份， 对应为 21 厘米；用 21 除以（4－1）计算出 1份的长度，也就是上底的长度；再乘 4计算出下 底的长度；据此解答。 21 / 24 【详细解答】上底： 21÷（4－1） ＝21÷3 ＝7（厘米） 下底：7×4＝28（厘米） 答：这个梯形的上底是 7厘米，下底是 28 厘米。 【考点点评】掌握梯形和平行四边形的概念，以及和差倍问题的计算方法，是解答本题的关键。 32．如图，用三个完全一样的等腰三角形拼成一个等腰梯形。已知每个等腰三角形的周长都是 16 厘米，等腰梯形的周长是 24 厘米，那么等腰三角形的底边长和腰长分别是多少厘米？ 【答案】底 4厘米；腰 6厘米 【解题思路】由图可知，梯形的周长可以拆分为一个等腰三角形的周长加上两个等腰三角形的 底边长，故用梯形的周长减去一个等腰三角形的周长，求出两个等腰三角形的底边长，再除以 2，即可求出等腰三角形的底边长；等腰三角形的两腰长相等，所以用等腰三角形的周长减去 底边长，再除以 2，即可求出等腰三角形的腰长，据此作答。 【详细解答】（24－16）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 答：等腰三角形的底边长 4厘米，腰长 6厘米。 【考点点评】解决这类问题的关键在于理解图形之间的组合关系，并且运用周长的概念和等腰 三角形的特性来建立数量关系。 33．将一根 24 厘米长的线段剪两刀，变成三段，要想围成一个三角形，可以怎样剪？第一刀 应该剪在哪里呢？试着完成下面的问题。 （1）如果第一刀剪在中点，可以吗？说说你的理由。 22 / 24 （2）如果第一刀剪在中点的右边的位置（如下图），那第二刀要剪在哪里呢？在下图中用虚线 分一分（必要时可用尺量一下）。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边长各是多少？请你想出两种情况，并说明每条 边各长多少厘米（边长取整厘米数）。（提示：如果画图，要在图中标出数据；也可以列算式或 列表等。） 【答案】（1）不能；如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是 12 厘米，另外两条 边的和是 12 厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）如图：第二刀应该选择在 A点左边线段上剪。 （3）5种情况 【解题思路】（1）在中点 0处剪开之后，两边一样长，无论剪哪边，剪开之后两段的长度刚好 等于第三段的长度，不能围成三角形。因为三角形中，任意两边之和大于第三边。 （2）由图可知，A点左边的长度大于 A点右边的长度，第二刀应该选择在 A点左边线段上剪， 因为这样剪开之后两段的长度和大于 A点右边的长度，能围成三角形。 (3)根据三角形的三边关系，可以采用列表法进行解答。 【详细解答】（1）由分析可知：不能，如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是 12 厘米，另外两条边的和是 12 厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不 能剪在中点； （2）由分析可知：第二刀应该选择在 A点左边线段上剪。如图： 23 / 24 （3）如下表： 腰长/厘米 底长/厘米 周长/厘米 1 22 不能围成 2 20 不能围成 3 18 不能围成 4 16 不能围成 5 14 不能围成 6 12 不能围成 7 10 24 8 8 24 9 6 24 10 4 24 11 2 24 12 0 不能围成 有 5种情况 【考点点评】本题考查了三角形的三边关系的应用，结合题意分析解答即可。 34．小华在学习图形密铺时分别用等边三角形、正方形、正五边形、正六边形进行拼摆，结果 如图。 （1）通过观察我发现（ ）、（ ）、（ ）能单独密铺，（ ）不能单独密铺。 （2）请从数学的角度解释你的发现： 【答案】（1）三角形；正方形；正六边形；正五边形 24 / 24 （2）见详解 【解题思路】（1）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图 形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；由图即可看出哪此图形能单独密铺， 哪些图形不能单独密铺； （2）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一 个周角；通过计算可知：一个多边形的内角之和能被 360°整除，这样的多边形能密铺；据此 解答。 【详细解答】根据分析： （1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）三角形的内角和是 180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是 360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺； 五边形的内角和是 540°，540°不能被 360°整除，五边形不能密铺； 六边形的内角和是 720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺； 答：我发现一个多边形的内角之和能被 360°整除，这样的多边形能密铺。 【考点点评】此题考查了密铺的意义、能密铺图形的特征。 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本 （从课本到奥数）第七单元 三角形、平行四边形和梯形奥数思维训练一 参考答案 1．3 9 2．4 3．12 16 4．42 132 5．75 80 60 6．360 7．稳定 9 8．7 4 9．8 9 10．6 2 3 9 11．A 12．C 13．D 14．C 15．C 16．B 17．C 18．C 19．C 20．A 21．∠ACB＝90°－∠A＝90°－60°＝30°； 因为∠1＝∠2，所以∠2＝30°÷2＝15°； ∠3＝90°－∠2 ＝90°－15° ＝75° 答：∠3的度数是75°。 22． 23．如图所示 24．上底：（28－16）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 腰：（16－6）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：这个等腰梯形的上底长6厘米，一条腰长5厘米。 25．路线A→C→B：35＋15＝50（厘米） 50×2＝100（厘米） 路线：A→D→F→E→B： 35×2＋15×2 ＝70＋30 ＝100（厘米） 100厘米＝100厘米 答：两条路线一样近。 26． ∠1和∠2为： ∠3和∠4为： 答：正方形的内角和是360°，大三角形的内角和是180°。 27．∠1＝180°÷（3＋2＋1） ＝180°÷6 ＝30° ∠2＝30°×2＝60° ∠3＝30°×3＝90° 答：这个三角形按角分是直角三角形。 28．因为三角形性质是两边之和大于第三边，当两边之和等于第三边时，组不成三角形，从第三个开始每个都是前两个数的和， 所以10根的长度分别是：1，2，3，5，8，13，21，34，55和89。 答：这10根木条中第二长的木条长55。 29．延长AB和CD相交于E点。 ∠C＝180°－90°－∠E＝90°－40°＝50°； ∠AOB ＝180°－∠BOD＝180°－130°＝50°；∠A ＝180°－90°－∠AOB＝180°－90°－50°＝90°－50°＝40°； ∠A＋∠C＝40°＋50°＝90° 答：∠A＋∠C的度数是90°才符合要求。 30．①3根小棒：（2，3，4）、（2、4、5）、（2、5、6）、（3，4，5）、（3，4，6）、（3、5、6）（4，5，6）有7种； ②4根小棒：选2、3、4、5，组成的三角形有（2＋3，4，5）、（2＋4，3，5），有2种 选2、3、4、6，组成的三角形有（2＋3，4，6）、（2＋4，3，6）、（3＋4，2，6）有3种 选2、3、5、6，组成的三角形有（2＋3，5，6）、（2＋5，3，6），有2种 选2、4、5、6，组成的三角形有（2＋4，5，6）、（2＋5，4，6）、（2＋6，4，5）有3种； 选3、4、5、6，组成的三角形有（3＋4，5，6）、（3＋5，4，6）有2种； ③5根小棒：选2、3、4、5、6，组成的三角形有（2＋3、4＋5，6）、（2＋4、3＋5、6）、（2＋5、3＋4，6）、（2＋4、3＋6，5）、（2＋6、3＋4、5）、（2＋5、3＋6、4）、（2＋6、3＋5、4）、（3＋6、4＋5、2）、（2＋6，4＋5，3）、（2＋3＋4、5、6），有10种。 7＋2＋3＋2＋3＋2＋10＝29（种） 答：可以有29种不同的摆法。 31．上底： 21÷（4－1） ＝21÷3 ＝7（厘米） 下底：7×4＝28（厘米） 答：这个梯形的上底是7厘米，下底是28厘米。 32．（24－16）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 答：等腰三角形的底边长4厘米，腰长6厘米。 33．（1）不能，如果第一刀剪在中点，那么三角形的其中一条边长是12厘米，另外两条边的和是12厘米，三角形任意两条边的和大于第三边，由此可知第一刀不能剪在中点； （2）第二刀应该选择在A点左边线段上剪。如图： （3）如下表： 腰长/厘米 底长/厘米 周长/厘米 1 22 不能围成 2 20 不能围成 3 18 不能围成 4 16 不能围成 5 14 不能围成 6 12 不能围成 7 10 24 8 8 24 9 6 24 10 4 24 11 2 24 12 0 不能围成 有5种情况 34．（1）通过观察我发现等边三角形、正方形、正六边形能单独密铺，正五边形不能单独密铺。 （2）三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，四边形能密铺； 五边形的内角和是540°，540°不能被360°整除，五边形不能密铺； 六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺； 答：我发现一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$