8.6.3平面与平面垂直第一课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.3平面与平面垂直 第一课时 面面垂直的判定 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系． 2.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直. 学习目标 复习回顾 直线与平面垂直 定义 判定定理 空间距离 直线和平面所成角 性质 点面距离 线面距离 面面距离 定义 范围 步骤 复习回顾 ★判断直线与直线平行的方法： ①三角形、梯形的中位线 ②平行四边形的对边平行、棱柱的侧棱互相平行… ③相似线段成比例 ④基本事实4（平行线的传递性） ⑤直线与平面平行的性质定理 ⑥面面平行的性质定理 ⑦线面垂直的性质定理 复习回顾 两个平面平行 两个平面相交 ：没有公共点 ：有无数个公共点 直线与平面垂直一节中的研究思路是什么？ 异面直线夹角 直线与平面垂直的定义 判定 性质 空间中平面与平面的位置关系 导入 在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础． 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况，类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直． 新知讲解——二面角 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面. 射线 射线 半平面 半平面 新知讲解——二面角 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱． 这两个半平面叫做二面角的面 记作： A B P Q 棱 新知讲解——二面角 二面角的记法 A B   二面角－AB－  A B C D 二面角C－AB－ D   l l   二面角－ l－  新知讲解 思考 在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? A B O l A′ B′ O′ α β 那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？ 新知讲解——二面角的平面角 【问题】 在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？如果不能，又该如何作图呢？ 不能，因为角的大小会由于所作射线的位 置不一样而不同，而度量一个量的基本要求 是“唯一性”． P A B 以棱上给定的一点为顶点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的． 新知讲解——二面角的平面角 二面角的平面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足 在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB 射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角 二面角的平面角必须满足： ③角的边都要垂直于二面角的棱 ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 新知讲解——二面角的平面角 在棱上选多个点,画出多个所折二面角的一个平面角,这些角相等吗？ α β B 。 O A B1 。 O1 A1 依据等角定理 二面角的平面角的取值范围是什么？ 新知讲解——二面角的平面角 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 锐二面角 直二面角 钝二面角 α(β) l A(B) O α β l A B O θ=0o θ =180o 二面角的平面角的取值范围： 0°≤α≤180° 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 表示二面角的两个半平面展开成一个平面. 表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面. 新知讲解——夹角的范围 异面直线所成角：___________， 线面角：____________. 二面角的平面角：____________. [ 0, π] 典例分析 课本P164 T18 如图，在三棱锥中，，.作出二面角的平面角，并求出它的余弦值. 证明：取的中点，连接，， 由已知条件得，，又， 通过解三角形可得二面角的平面角的余弦值为 方法归纳 求二面角的大小关键是作出平面角,求二面角大小的步骤: (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小 巩固练习 练习：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° B 新知讲解 思考 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数． 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 二面角C-AO-B 二面角A-BO-C 二面角A-CO-B 新知讲解——面面垂直的定义 平面与平面垂直： 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作. 在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定. 新知讲解 观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们： 如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 猜想： 如果一个面经过另一个面的垂线，那么面面垂直. 类似结论也可以在长方体中发现．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD． 新知讲解——面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 符号语言：，. 图形语言： β a A α 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与直线垂直 转化 转化 典例分析 已知：AB⊥β，AB α. 求证：α⊥β. ∪ 证明： 在平面β内过B点作直线BE⊥l， 设α∩β=l, ∪ ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∵AB⊥β，l β， ∴AB⊥l. ∪ 则∠ABE就是二面角α-l-β的平面角， ∴二面角α-l-β是直二面角， ∴α⊥β. α β l A B E 典例分析 例7： 如右图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'. A B C D ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD平面ABCD，∴AA'⊥BD. 又AC⊥BD，AC∩AA'=A， ∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面A'BD， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 证明： 巩固练习 证明平面与平面垂直的三个常用方法 (1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角； ③根据定义，这两个相交平面互相垂直． (2)利用面面垂直的判定定理： 要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直 (3)两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 巩固练习 P159 T4 ∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC. 又BD平面ABC，∴AA'⊥BD. ∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点， ∴ AC⊥BD， 又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'. 证明： B D C A′ B′ C′ A 4. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′. 典例分析 例8： 如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC P A B O C ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ AB是圆O直径 PA⊥面ABC BC⊂面ABC BC⊥AC BC⊥PA BC⊥面PAC 平面PAC⊥平面PBC 分析： 典例分析 例8： 如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC P A B O C ∵点C是圆周上不同于A, B的任意一点，AB是圆O的直径， ∴∠BCA=90°，即BC ⊥AC. 又∵PA∩AC=A， ∴BC ⊥平面PAC. 又∵BC 平面PBC， ∴平面PAC ⊥平面PBC. 证明：设圆O所在的平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC  α，∴PA ⊥BC. 典例分析 例8： 如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在 的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC P A B O C 1.你还能发现哪些面互相垂直？ 2.三棱锥P-ABC的四个面的形状是怎样的？ 3.你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？ 面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC 都是直角三角形 ∠PCA 巩固练习 P159 T3 如下图，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? 解：平面ABC⊥平面BCD， 平面ABD⊥平面BCD 平面ABC⊥平面ACD 理由如下： 归纳总结 例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注． P A B O C 归纳总结 四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”； 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”； 底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”． 堑堵 阳马 鳖臑 归纳总结 四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”； 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”； 底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”． 两个堑堵组成 一个长方体 一个阳马和一个 鳖臑组成一个堑堵 两个鳖臑组成 一个阳马 课后习题 P159 1．如图，检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了．这是为什么？ 当曲尺的另一边在工件的另一个面上转动时，如果和另一个面密合，曲尺紧靠工件一个面的边就与另一个面内无 数条相交直线都垂直，从而这边就与另一个面垂直. 同时， 这边紧靠工件的一个面，可看成这边在这个面内，故这两个面垂直． 课后习题 P159 a b D a b a 课后习题 P155 3. 如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点. 求证：DF//平面ABC. D A F B E C M 解： 取AB的中点M，连接FM，CM. ∴DF // 平面ABC. ∴DF//CM. ∴四边形DCMF是平行四边形. 由F是EB的中点可得， EA 2FM. 又EA 2DC， ∴FM DC， 又DF 平面ABC，CM⊂平面ABC， 巩固练习 1、如图，在四棱锥中，平面，过点作直 线的平行线交于点为线段上一点,求证：平面平面. 证明 因为平面，平面，所以， 因为 ，所以， 因为 ，，平面， 所以 平面， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面， 所以平面平面 . 巩固练习 2、在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，， ，求证：平面平面. 证明 在直角梯形 中，， 所以 . 因为 ，所以 . 因为 ，，平面， 所以 平面，所以平面. 因为 平面， 所以 平面平面. 课堂总结 1. 二面角的定义及二面角的平面角的范围 3．面面垂直的判定定理 2. 平面与平面垂直的定义及判断方法 $$