精品解析：江苏省南京外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

南京外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解. 【详解】∵，∴复数的虚部为3. 故选：B. 2. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D. 【详解】设三边所对的角分别为， 对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，由A知，，所以， 又，，，故D正确． 故选：C． 3. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可. 【详解】由图可得：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确. 故选：D. 4. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】， 由余弦定理得， 解得，舍去， 则的面积为. 故选：A. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选:A． 6. 若 均为单位向量，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可. 【详解】因为 均为单位向量，且， 因为，所以， 所以， 则. 则的最大值为. 故选：B. 7. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 8. 在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理可求，设，在，中利用正弦定理列方程可求，再结合面积公式表示，，由此可求结论. 【详解】在中，由余弦定理，， 因为， 所以，即， 又因为，所以． 设，因为，， 则，，， 在中，由正弦定理，，即， 在中，由正弦定理，，即， 又，所以， 所以， 所以， 即，因为， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是（ ） A. 若向量与同向，，则点的坐标为 B. 若，且，则向量的坐标为 C. 若，，则 D. 若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用向量共线、向量模长、向量垂直、向量夹角等概念及运算．通过已知条件，结合向量的坐标运算和相关公式来逐一判断各个选项的正确性． 【详解】对于A，向量与同向，所以，，又， 所以，所以，又，所以，故A正确； 对于B，若，且，则向量的坐标为或，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，若，且与的夹角为锐角，则与夹角为锐角， 所以，且，，故D错误． 故选：AC． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 中，，，，则满足条件的的个数为2 B. 若，则关于的方程有一解 C. D. 锐角三角形中，，，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理化简判断A，根据辅助角公式计算求解判断B，应用同角三角函数关系及两角差正弦计算求解判断C，应用余弦定理计算求解判断D. 【详解】A．，所以没有满足条件，A错误； B．，所以，因为，所以，B正确； C．，C正确； D．设，由余弦定理，，，解得，所以D正确． 故选：BCD． 11. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C. 若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D. 若是的外心，，则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理与三角恒等变换求得判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C；根据模长关系可得，再利用三角代换可求得的最小值判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理，， 所以，， 所以，因为，所以， 所以，，所以，故A正确； 对于В．是边上的一点，且， 则有，即， 由，，，， ，所以16， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积，故B正确． 对于C，不妨设最大，则， 又因为是钝角三角形，所以，解得， 所以，所以，故C错误； 对于D．若是的外心，有，， 由，所以， 得， 设，，则， 其中，当取 “”，所以D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，且，向量______． 【答案】0 【解析】 【分析】转化向量，结合图形的关系，即可求数量积. 【详解】． 故答案为：0 13. 函数，的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用换元法将原函数转化为含未知量的函数，求解出函数的值域即为函数的值域. 【详解】令，则. ，，， ∴， 故函数，的值域为. 故答案为：. 14. 如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连，，设，，有，，，，根据已知及和角正弦公式得，再应用平方关系、二倍角余弦公式得，最后用余弦定理求线段长度. 【详解】取中点，连，，易知，， 设，，故，， 则，，，，， 所以，， 平方后求和，得，， 所以，则， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角，为钝角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角的平方关系与商数关系求得，利用，进而利用两角和的正切公式即可求解； （2）利用二倍角的余弦公式可求得，进而可求得，进而可求得，可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，，所以，所以， 【小问2详解】 因为为锐角，，由， 可得， 所以． ， 又因为，所以，而， 可得，所以． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解； （3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，，∴由正弦定理得，化简得， ∴由余弦定理可得. 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知. 因为的面积为，解得. 由（1）可得，所以，即， 所以，解得（舍去）. 【小问3详解】 由（1）知. 由，得. 因为，所以，所以，即. ， 由正弦定理可知. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）的平分线与交于点，求点的坐标． （2）若，为与的交点． ①若，求； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题干条件易得D点坐标，由角平分线定理可得，由此可写出点的坐标； （2）①时，易得E点坐标，从而可写出的坐标，利用数量积可得； ②设，写出的坐标，得到关于的二次函数，由二次函数知识可知，在对称轴处取得最小值. 【小问1详解】 由题意可得，所以，由角平分线定理可知， 所以，故点. 【小问2详解】 ①因为为中点，所以，，， 则，，， 所以； ②设，则， 故，此为关于的二次函数， 对称轴为，即当时，取得最小值． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． 【小问2详解】 由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． 【小问3详解】 在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 19. 在中，，为边上两点，，，． （1）若，，，用，，的三角函数值表示的值； （2）若，，求的值； （3）若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①；②27. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，先在中根据正弦定理求出EA，再在中用正弦定理求出EB，进而得到DE；另一种方法是通过，结合正弦定理求出BC从而得到DE． （2）先在用余弦定理得出，再根据判断是正三角形．过作DE垂线，利用正三角形性质得到，最后根据正切定义表示出与，求出比值． （3）通过已知条件得出边的比例关系，再利用三角形三边关系确定边的取值范围，进而求出三角形面积的表达式，最后根据二次函数性质求面积最大值． 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：，， 在中由正弦定理得：， ，． 法二：． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 在中，， 所以为正三角形，过作的垂线，垂足为， ，，则． 【小问3详解】 由，，，， 所以， ， 两式相乘得，所以 设，则，由，解得， 在中，， 则， ， 由，得， 当时，面积的最大值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. i D. 2. 在中，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若 均为单位向量，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是（ ） A. 若向量与同向，，则点的坐标为 B. 若，且，则向量的坐标为 C. 若，，则 D. 若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 中，，，，则满足条件的的个数为2 B. 若，则关于的方程有一解 C. D. 锐角三角形中，，，则的取值范围为 11. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C. 若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D. 若是的外心，，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，且，向量______． 13. 函数，的值域为______． 14. 如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知为锐角，为钝角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，，求的值. 17. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）的平分线与交于点，求点的坐标． （2）若，为与的交点． ①若，求； ②求的最小值． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 19. 在中，，为边上两点，，，． （1）若，，，用，，的三角函数值表示的值； （2）若，，求的值； （3）若，． ①求的值； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $