数学（南通卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（南通卷） 数学·参考答案 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C B B A D A 2、 填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（a+2b）（a﹣2b）． 12．18π． 13．3.6． 14．9.3． 15．． 16．1． 17．﹣1． 18．． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）【详解】解：（1）， ①×3﹣②，得 x＝7， 将x＝7代入①，得 y＝﹣2， 故原方程组的解是；（5分） （2）（a+1） ．（10分） 20．（10分）【详解】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种， ∴甲选择“微信”支付的概率为． 故答案为：．（5分） （2）画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种，（8分） ∴三人选择同一种支付方式的概率为．（10分） 21．（12分）【详解】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：， 八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：， ∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200140（人），（3分） ∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200180（人），（6分） 140+180＝320（人）． 答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名；（8分） （2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的中位数和众数大于八年级， ∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）．（12分） 22．（10分）【详解】解：小明的作图方法正确，（2分） 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形．（10分） 23．（12分） （1）（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°， ∵AE⊥PB，垂足为E， ∴∠AEP＝90°， ∴∠P+∠PAE＝90°， ∴∠OAD＝∠P， ∵∠COD＝2∠OAD， ∴∠COD＝2∠P．（6分） （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°， ∵PB是⊙O的切线， ∴PB⊥OB， ∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OBEF是矩形， ∵AC是⊙O的直径，且AC＝8， ∴OA＝OD＝OB＝FE＝4， ∵∠OAD＝∠P＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴AF＝DFAD＝2， ∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2， ∵tan60°， ∴PE＝2， ∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210， ∴阴影部分的面积为10．（12分） 24．（12分）【详解】解：（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620； 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480． ∴w与x的函数关系式为w．（6分） （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296． ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；（8分） 当31≤x≤60时， w＝﹣40x+2480． ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240．（10分） ∵1296＞1240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．（12分） 25．（13分）（1）解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBW， ∵△PBQ由△APB折叠得到， ∴△ABP≌△QBP， ∴∠APB＝∠OPB，∠PQB＝∠A＝90°， ∴∠PBW＝∠QPB， ∴BW＝PW， 由题意可知，AD∥EF∥BC，AE＝BE， ∴， PQ＝QW， ∵PB＝BW＝PW， ∴△PBW是等边三角形；（5分） （2）设BP交GH于点R， AB＝4a，则BG＝a， ∵△PBQ由△PBA折叠得到， ∴△ABP≌△QBP， ∴AP＝PQ，∠APB＝∠QPB，BQ＝AB＝4a， ∵BG＝a， ∴GQa， ∵GQ∥AP， ∴∠APB＝∠PRQ， ∴△ABP∽△GBR， ∴PQ＝RQ，， ∴RQ＝AP， ∴， ∴AP＝RQ， ∴tan∠ABR， ∴tan∠ABP的值为；（9分） （3）记直线PK交边 BC于点T， 由BC∥AD，可得△TKC∽△PKD， ∴， 设TC＝x，则PD＝5x，PQ＝AP＝4﹣5x， 同（1）可得BT＝PT＝4﹣x， TQ＝（4﹣x）﹣（4﹣5x）＝4x， 在Rt△BQT中，BQ2+TO2＝BT2， ∴32+（4x）2＝（4﹣x）2， 解得x1＝﹣1（舍去），x2， ∴PD＝5x， ∴线段PD的长为．（13分） 26．【详解】解：（1）∵直线y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1， ∴x＝4时，y＝1， 故定点D坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）．（4分） （2）如图：过A作AD⊥x轴，过B作BF⊥x轴． 联立y＝a（x﹣4）2和y＝kx+1﹣4k得ax2﹣（8a+k）x+16a+4k﹣1＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2，x1x2， ∵∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCF＝90°， ∴∠DAC＝∠BCF， ∵∠ADC＝∠BFC＝90°， ∴△ADC～△CFB， ∴， ∵C（4，0）， ∴， ∴y1y2＝（4﹣x1）（x2﹣4）， ∴y1y2＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴（kx1+1﹣4k）（kx2+1﹣4k）＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴[kx1+（1﹣4k）][kx2+（1﹣4k）]＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴（k2+1）x1x2+（k﹣4k2﹣4）（x1+x2）+（1﹣4k）2+16＝0， ∴（k2+1）•（k﹣4k2﹣4）•（1﹣4k）2+16＝0， ∴（k2+1）（16a+4k﹣1）+（k﹣4k2﹣4）（8a+k）+a（1﹣4k）2+16a＝0， ∴16ak2+4k3﹣k2+16a+4k﹣1+8ak﹣32ak2﹣32a+k2﹣4k3﹣4k+a﹣8ak+16ak2+16a＝0， ∴a＝1．（8分） （3）过E作EM⊥FB，过C作CN⊥FB．如图： 由S△ABE＝3S△ABC，得EM＝3CN． 由y＝kx+1﹣4k得F（1﹣4k，0），P（，0）， 由y＝a（x﹣4）2得E（0，16a），C（4，0）， 由（1）得D（4，1）． ∵EO∥CD， ∴∠EFM＝∠CDN， ∠EMF＝∠CND＝90°， ∴△EMF～△CND， ∴3． ∴EF＝3CD， ∴16a﹣（1﹣4k）＝3×1， ∴k＝1﹣4a． 由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2，x1x2， ∴S△ABC ＝S△PCB﹣S△PCA （4）（y2﹣y1） （kx2+1﹣4k﹣kx1﹣1+4k） （x2﹣x1） ， ∴a时，S△ABC， 故S△ABC最小值．（13分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考押题预测卷（南通卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2、 填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15．___________________ 16 ． 17． 18． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （12分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学押题预测卷（南通卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103 【答案】B 【解析】解：10870＝1.087×104． 故选：B． 2．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：∵|m|＝2，|n|＝3， ∴m＝±2，n＝±3， ∵|m+n|＝m+n， ∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3， 当m＝2，n＝3时，； 当m＝﹣2，n＝3时，， 故选：C． 3．下列几何体中，三视图都是圆的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 【答案】C 【解析】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意； C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意． D．正方体的三视图都是正方形，故本选项不合题意； 故选：C． 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【解析】解：∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°， ∵ED∥AB， ∴∠A＝∠ADE＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°， 故选：C． 6．某商店原来每天可销售某种水果100kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（　　） A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800 C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝800 【答案】B 【解析】解：当每千克降价x元时，每千克的销售利润为（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克． 根据题意得：（100+30x）（7﹣x）＝800． 故选：B． 7．如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】解：由题意可得：OB＝4，BC＝2， 则OC2， 故点M对应的数是：2． 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12 【答案】A 【解析】解：设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab， ∵OD是△ABC的中位线， ∴OC＝OB＝b， ∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°， ∴，即ab＝﹣12， ∴k＝ab＝﹣12， 故选：A． 9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接DE， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α， ∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝α， ∵点A关于直线DP的对称点为E， ∴DP垂直平分AE， ∴ED＝AD， ∴ED＝CD， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC， ∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°， ∴α+2（∠DEA+∠DEC）＝360°， ∴α+2∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝180°α， 故选：D． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【解析】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n， 因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b， 化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3； A．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确； B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误； C．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误； D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：（a+2b）（a﹣2b）． 12．若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为 　18π　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：依题意知母线长＝6，底面半径r＝3， 则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×3×6＝18π． 故答案为：18π． 13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 　3.6　 m/s． 【答案】3.6． 【解析】解：∵智能机器人的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s， 设反比例函数解析式为，代入得： k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为， 当m＝100时，， 故答案为：3.6． 14．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　9.3　 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 【答案】9.3 【解析】解：过点D作DE⊥AB于E， 则四边形DCBE为矩形， ∴DE＝BC＝6m，BE＝CD＝1.6m， 在Rt△ADE中，∠ADE＝52°，tan∠ADE， 则AE＝DE•tan∠ADE≈6×1.28＝7.68（m）， ∴AB＝AE+BE＝7.68+1.6≈9.3（m）， 故答案为：9.3． 15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　4或1　 ． 【答案】4或1． 【解析】解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3或x1＝3，x2＝2． 当x1＝2，x2＝3时，x1※x2＝2×3﹣2＝4； 当x1＝3，x2＝2时，x1※x2＝3﹣2＝1． ∴x1※x2＝4或1． 故答案为：4或1． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，BE与AC相交于点F．若DE＝3，则AF的长为 　1　 ． 【答案】1． 【解析】解：∵AD＝4，DE＝3， ∴AE＝AD﹣DE＝4﹣3＝1． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝4． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5． ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴，即， 解得：AF＝1， 经检验，AF＝1是所列方程的解，且符合题意， ∴AF的长为1． 故答案为：1． 17．若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解析】解：由题意可知：a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根， ∴a+b＝5，ab＝3， ∴a+b﹣2ab＝5﹣2×3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 18．如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：连接BP，由对称性得：OA＝OB， 而Q是AP的中点， ∴ ∵OQ的长的最大值为3，则BP长的最大值为2×3＝6， 如图所示： 当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴与D， ∵CP＝2， ∴BC＝4，B在直线y＝2x上， 设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， 代入数据得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2， 整理得：5t2+8t＝0， 解得：t1＝0（舍去），或， ∴， ∵B在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）解方程； （2）计算：（a+1）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）， ①×3﹣②，得 x＝7， 将x＝7代入①，得 y＝﹣2， 故原方程组的解是； （2）（a+1） ． 20．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为 　　 ； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种， ∴甲选择“微信”支付的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种， ∴三人选择同一种支付方式的概率为． 21．（12分）某校组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理与分析如下： 测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 2 测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 90 61 八年级 84 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？ （2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平情况． 【答案】（1）320人； （2）见解析． 【解析】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：， 八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为：， ∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200140（人）， ∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200180（人）， 140+180＝320（人）． 答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名； （2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的中位数和众数大于八年级， ∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【答案】小明的作图方法正确，证明详见解答． 【解析】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）10， 【解析】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°， ∵AE⊥PB，垂足为E， ∴∠AEP＝90°， ∴∠P+∠PAE＝90°， ∴∠OAD＝∠P， ∵∠COD＝2∠OAD， ∴∠COD＝2∠P． （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°， ∵PB是⊙O的切线， ∴PB⊥OB， ∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OBEF是矩形， ∵AC是⊙O的直径，且AC＝8， ∴OA＝OD＝OB＝FE＝4， ∵∠OAD＝∠P＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴AF＝DFAD＝2， ∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2， ∵tan60°， ∴PE＝2， ∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210， ∴阴影部分的面积为10． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1）w；（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【解析】解：（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620； 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480． ∴w与x的函数关系式为w． （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296． ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时， w＝﹣40x+2480． ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240． ∵1296＞1240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 25．（13分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值； （3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K．若，求线段PD的长． 【答案】（1）证明详见解答； （2）tan∠ABP的值为； （3）线段PD的长为． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBW， ∵△PBQ由△APB折叠得到， ∴△ABP≌△QBP， ∴∠APB＝∠OPB，∠PQB＝∠A＝90°， ∴∠PBW＝∠QPB， ∴BW＝PW， 由题意可知，AD∥EF∥BC，AE＝BE， ∴， PQ＝QW， ∵PB＝BW＝PW， ∴△PBW是等边三角形； （2）设BP交GH于点R， AB＝4a，则BG＝a， ∵△PBQ由△PBA折叠得到， ∴△ABP≌△QBP， ∴AP＝PQ，∠APB＝∠QPB，BQ＝AB＝4a， ∵BG＝a， ∴GQa， ∵GQ∥AP， ∴∠APB＝∠PRQ， ∴△ABP∽△GBR， ∴PQ＝RQ，， ∴RQ＝AP， ∴， ∴AP＝RQ， ∴tan∠ABR， ∴tan∠ABP的值为； （3）记直线PK交边 BC于点T， 由BC∥AD，可得△TKC∽△PKD， ∴， 设TC＝x，则PD＝5x，PQ＝AP＝4﹣5x， 同（1）可得BT＝PT＝4﹣x， TQ＝（4﹣x）﹣（4﹣5x）＝4x， 在Rt△BQT中，BQ2+TO2＝BT2， ∴32+（4x）2＝（4﹣x）2， 解得x1＝﹣1（舍去），x2， ∴PD＝5x， ∴线段PD的长为． 26．（13分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2（a＞0）的顶点为C，抛物线与直线y＝kx+1﹣4k交于A、B两点，点A在点B的左侧． （1）直线经过定点D，点D的坐标是 　（4，1）　 ； （2）如果直线y＝kx+1﹣4k绕点D旋转的过程中，AC与BC始终互相垂直，求a的值； （3）抛物线与y轴交于点E，直线与y轴交于点F，如果S△ABE＝3S△ABC，求S△ABC的最小值． 【答案】（1）（4，1）． （2）a＝1． （3）S△ABC最小值． 【解析】解：（1）∵直线y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1， ∴x＝4时，y＝1， 故定点D坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． （2）如图：过A作AD⊥x轴，过B作BF⊥x轴． 联立y＝a（x﹣4）2和y＝kx+1﹣4k得ax2﹣（8a+k）x+16a+4k﹣1＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2，x1x2， ∵∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCF＝90°， ∴∠DAC＝∠BCF， ∵∠ADC＝∠BFC＝90°， ∴△ADC～△CFB， ∴， ∵C（4，0）， ∴， ∴y1y2＝（4﹣x1）（x2﹣4）， ∴y1y2＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴（kx1+1﹣4k）（kx2+1﹣4k）＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴[kx1+（1﹣4k）][kx2+（1﹣4k）]＝4（x1+x2）﹣x1x2﹣16， ∴（k2+1）x1x2+（k﹣4k2﹣4）（x1+x2）+（1﹣4k）2+16＝0， ∴（k2+1）•（k﹣4k2﹣4）•（1﹣4k）2+16＝0， ∴（k2+1）（16a+4k﹣1）+（k﹣4k2﹣4）（8a+k）+a（1﹣4k）2+16a＝0， ∴16ak2+4k3﹣k2+16a+4k﹣1+8ak﹣32ak2﹣32a+k2﹣4k3﹣4k+a﹣8ak+16ak2+16a＝0， ∴a＝1． （3）过E作EM⊥FB，过C作CN⊥FB．如图： 由S△ABE＝3S△ABC，得EM＝3CN． 由y＝kx+1﹣4k得F（1﹣4k，0），P（，0）， 由y＝a（x﹣4）2得E（0，16a），C（4，0）， 由（1）得D（4，1）． ∵EO∥CD， ∴∠EFM＝∠CDN， ∠EMF＝∠CND＝90°， ∴△EMF～△CND， ∴3． ∴EF＝3CD， ∴16a﹣（1﹣4k）＝3×1， ∴k＝1﹣4a． 由（2）知A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2，x1x2， ∴S△ABC ＝S△PCB﹣S△PCA （4）（y2﹣y1） （kx2+1﹣4k﹣kx1﹣1+4k） （x2﹣x1） ， ∴a时，S△ABC， 故S△ABC最小值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学押题预测卷（南通卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103 2．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．下列几何体中，三视图都是圆的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 6．某商店原来每天可销售某种水果100kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（　　） A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800 C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝800 7．如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　） A． B． C．5 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12 9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A． B． C． D． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：a2﹣4b2＝　 　 ． 12．若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为 　 　 ． 13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 14．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　 　 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　 ． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，BE与AC相交于点F．若DE＝3，则AF的长为 　 　 ． 17．若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是 　 　 ． 18．如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）解方程； （2）计算：（a+1）． 20．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为 　 　 ； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 21．（12分）某校组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理与分析如下： 测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 2 测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 90 61 八年级 84 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？ （2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平情况． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法：（1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25．（13分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值； （3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K．若，求线段PD的长． 26．（13分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2（a＞0）的顶点为C，抛物线与直线y＝kx+1﹣4k交于A、B两点，点A在点B的左侧． （1）直线经过定点D，点D的坐标是 　 　 ； （2）如果直线y＝kx+1﹣4k绕点D旋转的过程中，AC与BC始终互相垂直，求a的值； （3）抛物线与y轴交于点E，直线与y轴交于点F，如果S△ABE＝3S△ABC，求S△ABC的最小值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（南通卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（本大题共 8小题，第 11～12题每题 3分，第 13～18题每题 4分，共 30分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15．___________________ 16 ． 17． 18． 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （12分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13分） 26. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考数学押题预测卷（南通卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．0.1087×105 B．1.087×104 C．1.087×103 D．10.87×103 2．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则（　　） A． B． C．或 D．或 3．下列几何体中，三视图都是圆的是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体 4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 6．某商店原来每天可销售某种水果100kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，则每千克应降价多少元？设每千克应降价x元，则所列方程是（　　） A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800 C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝800 7．如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（　　） A． B． C．5 D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12 9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝α，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，CE，则∠AEC的度数为（　　） A． B． C． D． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：a2﹣4b2＝　 　 ． 12．若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为 　 　 ． 13．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 14．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　 　 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2＝2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1※x2＝　 　 ． 16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，BE与AC相交于点F．若DE＝3，则AF的长为 　 　 ． 17．若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是 　 　 ． 18．如图，一次函数y＝2x与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆心，2为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（12分）（1）解方程； （2）计算：（a+1）． 20．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为 　 　 ； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 21．（12分）某校组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理与分析如下： 测试成绩频数统计表 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 3 4 3 八年级 1 7 2 测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 85 90 61 八年级 84 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？ （2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平情况． 22．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法：（1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25．（13分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： （1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形； （2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值； （3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K．若，求线段PD的长． 26．（13分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2（a＞0）的顶点为C，抛物线与直线y＝kx+1﹣4k交于A、B两点，点A在点B的左侧． （1）直线经过定点D，点D的坐标是 　 　 ； （2）如果直线y＝kx+1﹣4k绕点D旋转的过程中，AC与BC始终互相垂直，求a的值； （3）抛物线与y轴交于点E，直线与y轴交于点F，如果S△ABE＝3S△ABC，求S△ABC的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$