重难点07 点、直线和圆的位置关系与切线长定理(10大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

重难点07 点、直线和圆的位置关系与切线长定理 上海中考数学中，点、直线、圆及圆与圆的位置关系是核心几何考点，需以“距离与半径的数量关系”为判定核心，精准掌握点在圆内外、直线与圆相切(连圆心与切点构直角三角形)或相交(垂径定理结合勾股定理求弦长)、圆与圆相切(分内外切讨论圆心距与半径和差关系)等型，解颖时注重坐标系中距离公式的应用及动态问题中临界状态的分类，避免遗漏相切双重性、参数范围等易错点，通过“数”“形"结合与方程思想提升逻辑推理和计算能力。 题型一 判断点与圆的位置关系 1.如果d < r，则点在圆内。2.如果d = r，则点在圆上。3.如果d > r，则点在圆外。 典例1（2023·上海长宁·二模）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 1-1（2024·上海嘉定·二模）在中， ，，以点为圆心，半径为的圆记作圆，那么下列说法正确的是（  ） A．点在圆外，点在圆上； B．点在圆上，点B在圆内； C．点在圆外，点在圆内； D．点、都在圆外． 1-2（2024·上海闵行·二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 1-3（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 典例2（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 2-1（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．    2-2（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 2-3（2023·河南南阳·一模）如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 ．    题型三 点与圆上一点的最值问题 三点共线时取最值：当点 在圆外或圆内时， 的最值出现在直线 与圆的交点处。 最大值：（点 在 延长线与圆的交点）； 最小值：（点 在 线段与圆的交点，若 在圆内，则 ）。 典例3（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 3-1．（2025·广西柳州·一模）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为 ． 3-2（2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 3-3（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型四 求三角形外心坐标 外心的定义与性质 定义：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 性质：外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径 ）。 典例4（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4-1（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 4-2（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 4-3（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 题型五 求特殊三角形外接圆的半径 1．直角三角形：外接圆半径 2．等边三角形：半径 （ 为边长，外心与重心重合）。 3．等腰三角形：利用底边垂直平分线，通过勾股定理列方程 为高， 为底边一半）. 典例5（2025·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过三点，D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，的值是 ． 5-1（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 5-2（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 5-3（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 题型六 直线和圆的位置关系 辅助线4种构造法 1．见切线连圆心：连接切点与圆心，得垂直关系 。 2．见弦作垂线：过圆心作弦的垂线，用垂径定理构造直角三角形。 3．圆外一点连圆心：利用切线长定理，结合等腰三角形或全等三角形。 4．构造直径：直径所对圆周角为直角 ，用于转化角度。 典例6（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 6-1（2024·上海虹口·二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 6-2（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 6-3（2024·上海青浦·二模）在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 6-4（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 题型七 切线的判定定理 切线判定定理: 经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线(需满足“过外端”和“垂直半径”两条件). 圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线(用距离公式判断). 典例7（2023·上海静安·三模）如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C． (1)证明：是圆O的切线； (2)若点D是优弧的中点，且，求； (3)记，，求：y关于x的解析式及其与x轴夹角的正切值． 7-1（2024·上海嘉定·三模）如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 7-2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点C，E在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 7-3（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 7-4（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． (1)连接，求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型八 切线的性质定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论: 1.过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 2.过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 典例8 （2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 8-1 （2023·上海普陀·三模）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，，点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足．设，． (1)求：y关于x的函数表达式及其定义域 (2)如图2，过点作于点，连接，． ①当为直角三角形时，求的值； ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 8-2 （2023·上海青浦·三模）如图①，已知：在矩形的边上有一点O，，以O为圆心，长为半径作圆，交于M，恰好与相切于H，过H作弦，弦．若点E是边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线交于F，再把沿着动直线对折，点C的对应点为G．设，与矩形重叠部分的面积为S． (1)求矩形的周长； (2)的直角顶点G能落在上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由； (3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出与相切时，S的值． 8-3 （2024·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 8-4 （2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积； (3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 题型九 切线的性质和判定的综合应用 典例9（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 9-1（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 9-2（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 9-3（2024·江苏常州·二模）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点A在以为直径的半圆上，且点A 的横坐标为 ，M为线段 的中点．    (1)求点 A的纵坐标； (2)用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）； (3)求满足 （2）中条件的点 P纵坐标的最小值． 9-4（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型十 圆和圆的位置关系 1．外离：两圆无公共点，且每个圆上的点都在另一圆外部。 2．外切：两圆有唯一公共点（切点），且圆心距等于半径之和 。 3．相交：两圆有两个公共点，圆心距满足 。 4．内切：两圆有唯一公共点，圆心距等于半径之差 。 5．内含：两圆无公共点，且一个圆在另一圆内部 。 典例10（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 10-1（2025·上海杨浦·二模）如图，已知线段的长为10，圆A的半径为2，点P是线段上一点，以B为圆心、为半径作圆，将圆B绕点P旋转得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10-2（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B； ②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点； ③连接，，，，，线段与相交于点C. 则下列说法中不一定正确的是（    ） A．，均为的切线 B． C． D． 10-3（2023·山东菏泽·一模）已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（    ） A． B． C． D． 10-4（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知两圆的半径R、分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是 ． （建议用时30分钟） 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（2023·上海徐汇·二模）如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 7．（2023·上海杨浦·三模）已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．    (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值． 2 / 104 1 / 104 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 点、直线和圆的位置关系与切线长定理 上海中考数学中，点、直线、圆及圆与圆的位置关系是核心几何考点，需以“距离与半径的数量关系”为判定核心，精准掌握点在圆内外、直线与圆相切(连圆心与切点构直角三角形)或相交(垂径定理结合勾股定理求弦长)、圆与圆相切(分内外切讨论圆心距与半径和差关系)等型，解颖时注重坐标系中距离公式的应用及动态问题中临界状态的分类，避免遗漏相切双重性、参数范围等易错点，通过“数”“形"结合与方程思想提升逻辑推理和计算能力。 题型一 判断点与圆的位置关系 1.如果d < r，则点在圆内。2.如果d = r，则点在圆上。3.如果d > r，则点在圆外。 典例1（2023·上海长宁·二模）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵半径为5， ∴，，，， ∴到圆心O距离为7的点为点， 故选：C． 1-1（2024·上海嘉定·二模）在中， ，，以点为圆心，半径为的圆记作圆，那么下列说法正确的是（  ） A．点在圆外，点在圆上； B．点在圆上，点B在圆内； C．点在圆外，点在圆内； D．点、都在圆外． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出，由等腰三角形的性质求出，即可判断出点B和点A与的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为6， ∵， ∴点在圆外，点在圆内； 故选：C． 1-2（2024·上海闵行·二模）在中，，，，以点，点，点为圆心的的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（    ） A．点在上 B．与内切 C．与有两个公共点 D．直线与相切 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理解得，然后根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的半径为5， ∴点在上，选项A正确，不符合题意； ∵的半径分别为5、10，且， ∴与内切，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴与相交，有两个公共点，选项C正确，不符合题意； 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∵， ∴直线与相交，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 1-3（22-23九年级上·山东滨州·期末）已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 【答案】A 【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答． 【详解】解：解方程可得，，， ∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根， ∴， ∴点P在的内部， 故选A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 典例2（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 2-1（2023·上海·一模）如图，矩形中，，，以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是 ．    【答案】 【分析】首先利用勾股定理得出的长，利用以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外，得出r的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵矩形矩形中，，， ∴， ∵以A为圆心，r为半径作，使得点D在圆内，点C在圆外， ∴半径r的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用图形得出r的取值范围是解题关键． 2-2（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键 连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 2-3（2023·河南南阳·一模）如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】以为直径作，连接，交为点P，根据点圆最值的性质，则为最小距离，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取中点H，连接，交为点P，则为所求，    ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键． 题型三 点与圆上一点的最值问题 三点共线时取最值：当点 在圆外或圆内时， 的最值出现在直线 与圆的交点处。 最大值：（点 在 延长线与圆的交点）； 最小值：（点 在 线段与圆的交点，若 在圆内，则 ）。 典例3（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 3-1．（2025·广西柳州·一模）量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具．有一天，爱思考的小聪拿着量角器和三角板拼成了如图1所示的样子，计划让三角板的直角顶点始终在量角器的半圆弧上运动．紧接着小聪根据自己的想法画出了示意图（如图2）．已知C是量角器半圆弧的中点，P为三角板的直角顶点，两直角边，PF分别过点A，B，连接，过点O作于点M，交于点N．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，，作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点，可得点N在上，运动轨迹是，，当点P在上时，即可求解． 【详解】解：当点P在上时，点N在线段的右侧，如图，连接，． 是半圆的中点， ， 即， ， 是等腰直角三角形， 作的外接圆，连接，，则圆心T为的中点， ， ， ， ， ， ， 点N在上，运动轨迹是， 过点T作于点H， ， ∴， ，， ， ， ∴． 在中， ， ， ， ， ． 在中， ． ∵， ∴， 的最小值为； 当点P在上时，如图， 在线段的右侧，此时显然大于； 综上所述：的最小值为． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上任一点距离最值问题，圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；能通过圆的基本性质，圆周角定理，等腰三角形的判定及性质找出取得最小值的条件，并能熟练利用勾股进行求解是解题的关键． 3-2（2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点．即可推得． 本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用． 【详解】（1）解：在方格中找到以为斜边的直角三角形， 用勾股定理求解为：， （2）解：如图，取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点． 3-3（2025·广东深圳·一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 题型四 求三角形外心坐标 外心的定义与性质 定义：三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 性质：外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径 ）。 典例4（2023·河北沧州·模拟预测）如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下．对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（    ） 甲的作法                            乙的作法                          过点B作与AC垂直的直线，            以O为圆心，OA长为半径画弧， 交AC于点P，则P即为所求            交AC于点P，则P即为所求 A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：甲的作法， ， ， ∵O是中点， ， ， ∴O是的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：， ∴O是的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 4-1（2023·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是的外接圆的圆心，求点P坐标； (3)点D坐标是，点M、N在抛物线上，且四边形是平行四边形，求线段的长． 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，由点P是的外接圆的圆心得到点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上．点P横坐标是．设点P坐标为，由，求出，即可得到点P的坐标； （3）先说明点，N关于原点对称．设点M的横坐标为m（），则点M坐标是，点N坐标是，把点坐标代入，解得（负值已舍），得到点M坐标是，点N坐标是，利用两点间距离公式即可得到线段的长． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵点P是的外接圆的圆心． ∴点P在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上． ∴点P横坐标是． 设点P坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴．点P的坐标是． （3）∵点O是中点，即O是平行四边形对角线交点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点，N关于原点对称． 设点M的横坐标为m（）， 则点M坐标是，点N坐标是， 把点坐标代入， 得， 解得（负值已舍）， 当时，， ∴点M坐标是，点N坐标是， ∴． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． 4-2（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．    (1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键． （1）连接并延长，使，再依次连接点即可； （2）找出，垂直平分线的交点，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示：即为所求； （2）解：如图2，点P为的外心， ∵四边形为正方形， ∴为的垂直平分线， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， 由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点， ∴点为外心， ∴点坐标为． 故答案为：． 4-3（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 题型五 求特殊三角形外接圆的半径 1．直角三角形：外接圆半径 2．等边三角形：半径 （ 为边长，外心与重心重合）。 3．等腰三角形：利用底边垂直平分线，通过勾股定理列方程 为高， 为底边一半）. 典例5（2025·江苏·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过三点，D是上的一动点．当点D到弦的距离最大时，的值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点P作于E，延长交于点D，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出，进而求出，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点P作于E，延长交于点D，此时点D到弦的距离最大， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、正弦的定义、勾股定理是解题的关键． 5-1（2025·江苏苏州·模拟预测）经过点，，的圆的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解三角形的外接圆的半径，勾股定理的应用，先画图，判断圆心在的垂直平分线上，即在轴上，设，再利用勾股定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：如图，记圆心为， ∵，， ∴圆心在的垂直平分线上，即在轴上， 设， ∴， 解得：； ∴半径为：， ∴圆的周长为， 故答案为： 5-2（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 5-3（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题； （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 题型六 直线和圆的位置关系 辅助线4种构造法 1．见切线连圆心：连接切点与圆心，得垂直关系 。 2．见弦作垂线：过圆心作弦的垂线，用垂径定理构造直角三角形。 3．圆外一点连圆心：利用切线长定理，结合等腰三角形或全等三角形。 4．构造直径：直径所对圆周角为直角 ，用于转化角度。 典例6（2024·上海杨浦·三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6，那么圆O与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答即可； 【详解】A在半径为3的圆O上，如果点A到直线的距离是6， 圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D. 6-1（2024·上海虹口·二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C到的距离d，比较d与半径的大小判断即可． 【详解】解：如图， ∵在平行四边形中，，， 设点C到的距离为d， ∴点C到的距离， ∴直线与圆C相交，即有2个交点， 故选：B． 6-2（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 6-3（2024·上海青浦·二模）在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，根据题意分两种情况，当线段在外时和当线段在内时，分别得到r的取值范围即可． 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，相似三角形的判定以及性质，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键． 6-4（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与相交，理由见解析． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接并延长交于点，连接，由可得，进而得，，利用勾股定理得，得到，再由勾股定理即可得到的长； （）直线与相交．过点作于，由三角函数得，得到，进而得，再根据三角形的面积得，即可求证． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：直线与相交，理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相交． 题型七 切线的判定定理 切线判定定理: 经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线(需满足“过外端”和“垂直半径”两条件). 圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线(用距离公式判断). 典例7（2023·上海静安·三模）如图，过圆外一点P作圆O的切线交圆与A，在圆上一点B（不与A重合），，点D在优弧上运动，连接与圆的另一个交点为C． (1)证明：是圆O的切线； (2)若点D是优弧的中点，且，求； (3)记，，求：y关于x的解析式及其与x轴夹角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，1 【分析】（1）连接，由切线的定义可得．证明，推出，即可证明是圆O的切线； （2）先证垂直平分，经过圆心，通过证明得出，通过证明得出，设，，利用勾股定理解可得，进而解出，最后根据可得答案； （3）由得出，由得出，进而可得，即，推出，再证，推出，结合，可得． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为圆O的切线， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线； （2）解：∵D是优弧的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，且经过圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 如图，连接， ∵是圆O的切线 ∴， ∵经过圆心，即为直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 两边同时除以得：， 解得(负值舍去）， ∴． （3）解：由（2）知， ∴， 同理可证， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即y关于x的解析式是． ∴该解析式与x轴夹角的正切值． 【点睛】本题考查属于圆的综合题，考查切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是利用圆的性质找出相似三角形． 7-1（2024·上海嘉定·三模）如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 【答案】(1)相切，理由见详解 (2)见详解 【分析】（1）由圆周角定理得到，证得，根据相似三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）由弧和圆周角的关系证得，根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得，由等腰三角形的判定定理即可证得结论． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：∵， ∴， 点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 7-2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是的直径，点C，E在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7-3（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． （1）如图1，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论； （2）①如图2，过作于点，证明，则，得； ②过点C作，连接，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②过点C作，连接，过点C作， 是的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 7-4（2023·辽宁丹东·模拟预测）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． (1)连接，求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． （1）证，得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出，最后根据求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 与相切， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，，，， ， ，， ， ， 设的半径为，则， 解得， 在中，，，， ， ， 即的长为：． 题型八 切线的性质定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论: 1.过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 2.过切点且垂直于切线的直线必过圆心. 典例8 （2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)相切，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点C作于点，先解求出，的度数，过点O作于点，则当点与点重合时，，由，得到，故，即可判断； （2）由垂径定理的推论可得，可得为等腰直角三角形，证明，则，设，则，由，得到，那么，代入即可求解； （3）当与线段相切时，过点作于点，过点作于点，导角证明，则，那么；当经过点时，过点分别作，垂足分别为，由平行线分线段成比例定理得到，设，则，则，那么，解得到，再由平行线分线段成比例定理得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于两个临界情况进行分析． 8-1 （2023·上海普陀·三模）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，，点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足．设，． (1)求：y关于x的函数表达式及其定义域 (2)如图2，过点作于点，连接，． ①当为直角三角形时，求的值； ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 【答案】(1) (2)①的值为或；② 【分析】（1）连接，设半径为，利用，得，代入计算求得半圆的半径；再根据，用含的代数式表示的长，再计算求的长即可； （2）①显然，所以分两种情形，当时，则四边形是矩形，当时，过点作于点，则四边形是矩形，分别根据图形可得答案； ②连接，，由对称可知，，利用三角函数表示出和的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连接，设半径为， 切半圆于点， ， ， ， ， ， ， 解得， 半圆的半径为； ， ，， ， ， ； （2）解：①显然，所以分两种情形， 当时，则四边形是矩形， ， ， ， ， 当时，过点作于点，如图， 则四边形是矩形， ∵，， ∴， ，， ， ， ， ， ， 由得：， ， 综上，的值为或； ②如图，连接，，由对称可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆的直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键． 8-2 （2023·上海青浦·三模）如图①，已知：在矩形的边上有一点O，，以O为圆心，长为半径作圆，交于M，恰好与相切于H，过H作弦，弦．若点E是边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线交于F，再把沿着动直线对折，点C的对应点为G．设，与矩形重叠部分的面积为S． (1)求矩形的周长； (2)的直角顶点G能落在上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由； (3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出与相切时，S的值． 【答案】(1) (2)能， (3)， 【分析】（1）连接，可以求出，，从而可以求出； （2）当点落到上时，可以证到点与点重合，可求出． （3）当时，如图①，，只需求出，就可得到与之间的函数关系式；当时，如图④，，只需求出、，就可得到与之间的函数关系式．当与相切时，如图⑤，得，．再由即可求出，从而求出． 【详解】（1）证明：连接，如图①所示． 四边形是矩形， ，，． ， ． ． ． ， ． 与相切于点， ． ． ． ． ． ，． ． ∴矩形的周长； （2）的直角顶点能落在上． 如图②所示，点落到上． ， ． ， ． 由折叠可得：． ． ， ．． ． ． ，． ． ． ． 点与点重合． 此时的直角顶点落在上，对应的的值为2． 当的直角顶点落在上时，对应的的值为2． （3）如图①， 在中， ． ． ． 如图③， ，， ． ， ． ． ． ， ． ． 综上所述： 当与相切于点时，延长交于点，过点作，垂足为，如图④所示． 四边形是矩形， ， ． ， ． ． ， 四边形是矩形． ，． ． 在中，． ． ． 解得：． ， ． 与相切时，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强． 8-3 （2024·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形． ① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标； ② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值． 【答案】(1)；点 (2)①；②的值为或 【分析】（1）把点A的坐标代入表达式求出a的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B的坐标； （2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m的取值分三种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； ∴抛物线的表达式为； ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点， ∴点． （2）①由题意，得，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴； 又点在轴上， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，； 在中，， ∴； ∴； 过点作，垂足为． 在中，，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∴． ②当时，根据不同取值分三种情况讨论： 当时，即点与点重合时，符合题意； 当时，如图情况符合题意，取的中点P，以为直径作圆P，则在圆上， 此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件， 则， ∵， 由①知， ，则， 则， ∵，, ∴，解得； 当时，可得，所以符合题意的不存在； 综合、、，符合题意的的值为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 8-4 （2024·山东济宁·一模）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)在轴下方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积； (3)点是轴上一动点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)的面积为 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，切线的性质，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）设抛物线的对称轴交轴于，设，求出的解析式求出点坐标，同法求出点坐标，再根据对称性求出坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）当过三点的圆与轴相切时，最大，设，根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， 抛物线的表达式为； （2）设抛物线的对称轴交轴于，如图： 抛物线与轴交于点、， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 设， 设的函数表达式为，把，， 代入得：，解得， 的函数表达式为， 在中，令得， ， 同理可得， 关于轴的对称点坐标为， ， ； 的面积为； （3）当的外接圆与轴相切时，切点即为使最大的点，如图： 轴，设，则， ，，， ， ， ， ， ， 解得（不符合题意，舍去）或， ， ． 题型九 切线的性质和判定的综合应用 典例9（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是的切线，证明见解析 【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，则，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论得到，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵与相切于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）是的切线，理由如下： 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 9-1（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理和性质定理，找出全等三角形是解题关键． （1）根据正方形的性质和圆的切线的性质，可证，进而推出，利用“”即可证明； （2）同（1）理可证：，推出，从而得出，证明，得到，进而得到，证明出是的切线，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 四边形是正方形， ， 同（1）理可证：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 9-2（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又， 在中，， ， 解得： 9-3（2024·江苏常州·二模）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点A在以为直径的半圆上，且点A 的横坐标为 ，M为线段 的中点．    (1)求点 A的纵坐标； (2)用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）； (3)求满足 （2）中条件的点 P纵坐标的最小值． 【答案】(1)2.4 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）如图，过作于，证明，可得，可得，再建立方程求解即可； （2）在上取点，连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径画圆即可． （3）如图，设，由，为的中点，可得，结合，，可得，在利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，    ∵为直径， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点A 的横坐标为 ， ∴， ∴点 A的纵坐标为； （2）如图，即为所求；    理由：在上取点，连接，作的垂直平分线， 过作的垂线，交的垂直平分线于， 以为圆心，为半径画圆， 则，， ∴符合要求． （3）如图，设，    ∵，为的中点， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴当时，． ∴点 P纵坐标的最小值为． 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 9-4（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点作于点，根据等腰三角形的性质得为的平分线，再根据与相切于点，是的直径得，进而根据切线的判定可得到结论； （2）过点作于点，先证得到，进而得到，再证得到，然而在中利用三角函数可求出，进而得为等边三角形，据此得，，则，最后得到弧长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 题型十 圆和圆的位置关系 1．外离：两圆无公共点，且每个圆上的点都在另一圆外部。 2．外切：两圆有唯一公共点（切点），且圆心距等于半径之和 。 3．相交：两圆有两个公共点，圆心距满足 。 4．内切：两圆有唯一公共点，圆心距等于半径之差 。 5．内含：两圆无公共点，且一个圆在另一圆内部 。 典例10（2025·上海普陀·二模）已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 10-1（2025·上海杨浦·二模）如图，已知线段的长为10，圆A的半径为2，点P是线段上一点，以B为圆心、为半径作圆，将圆B绕点P旋转得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆相切有外切和内切两种情况，据此画出内切和外切的示意图即可得到答案． 【详解】解；如图所示，当圆A与圆C相切外切和内切时，分别有1个和2个点P符合题意， 故选：C． 10-2（23-24九年级上·天津南开·期末）如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B； ②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点； ③连接，，，，，线段与相交于点C. 则下列说法中不一定正确的是（    ） A．，均为的切线 B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意； 根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A，根据Q、O、R、P在上，运用圆内接四边形可判断B，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D，根据圆周角定理可判断C； 【详解】解：根据作图可得：为的直径，Q、O、R、P在上， 是的半径， ，均为的切线，故A正确； Q、O、R、P在上， Q、O、R、P四点共圆，是的内接四边形， ，故B正确； 由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦， ， ，故D正确； 所对圆心角为，所对圆周角为， 不一定等于， 不一定等于，故C不一定正确； 故选：C． 10-3（2023·山东菏泽·一模）已知两圆相交，它们的圆心距为，一个圆的半径是，那么另一个圆的半径长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为，根据两圆内切和外切时求得两圆的半径，即可求解． 【详解】∵两圆相交，它们的圆心距为，其中一个圆的半径为， 当两圆外切时，另一个圆的半径为， 当两圆内切时，另一个圆的半径为 ∴当两圆相交时，另一个圆的半径可以是, 故选：C． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系，注意分类讨论思想的应用． 10-4（22-23九年级下·上海·阶段练习）已知两圆的半径R、分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是 ． 【答案】内切 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、圆与圆的位置关系，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出半径差为，即圆心距等于半径差，再结合圆与圆的位置关系判断即可得解． 【详解】解：∵两圆的半径R、分别为方程的两根， ∴，， ∴半径差，即圆心距等于半径差， ∴两圆的位置关系是内切， 故答案为：内切． （建议用时30分钟） 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2．（2023·上海徐汇·二模）如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】先求出两圆的圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解． 【详解】解：∵分别以、为直径作圆， ∴两圆的圆心分别是、的中点， ∴两圆心的连线是梯形的中位线． ∵，， ∴两圆的圆心距为， ∵，， ∴两圆的半径分别为3和2， ∵， ∴两圆外离， 故选：D． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径． 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 4．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 5．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：画图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：画图见解析，半圆形步道的半径为 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接交于点D即为所求的圆心；过点D作于点E，利用三线合一得到，勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点H，尺规作的角平分线交于点A即为所求作的圆心；过点A作于点N，过点A作于点M，设，则，，，根据列方程求解即可． 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：⊙的直径，⊙与相交于点，D，⊙的直径与⊙相交于点，设⊙的半径为，的长为， (1)如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当点在线段上时，如果的长为3，求公共弦的长； 【答案】(1)y关于x的函数解析式为，定义域为 (2)或 【分析】本题是三角形相似的高难度应用，难度较大，还需要进行分类讨论． （1）连接利用三角形形似推导函数关系式； （2）通过点B向弦作垂线段，利用与的关系，分两种情况点E在上，在上求解． 【详解】（1）解：连接， ∵的直径， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴ ∵, ∴， ∴y关于x的函数解析式为，定义域为； （2）解：作，垂足为M， ∵是的弦， ∴． 设两圆的公共弦与相交于H，则垂直平分． ∴ 当点E在线段上时，， ∴， ∴， ∴． 当点E在线段上时，， ∴ ∴． ∴． 7．（2023·上海杨浦·三模）已知在矩形中，，点O是边上的一点（不与点A重合），以点O为圆心，长为半径作圆，交射线于点G．    (1)如图1，当与直线相切时，求半径的长； (2)当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围； (3)连接，过点A作，垂足为点H，延长交射线于点F，如果以点B为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值． 【答案】(1) (2)或 (3)或1 【分析】（1）设与直线的切点为点E，连接，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可； （2）分三种临界情况：①当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点，②当恰好经过点C时，连接，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可； （3）根据题意，分两种情况：①两个圆外切时，②两个圆内切时，作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质及正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：设与直线的切点为点E，连接，如图所示：    ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； （2）①如图所示：当与边的切点为点E，连接，此时恰好有三个交点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，    ∴由（1）得半径的长为，恰好有一个交点， ∴当时，满足条件； ②当恰好经过点C时，连接，如图所示：    设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴半径的长为； ∴当时，与的三边的交点多于2个，不满足条件； ③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，    ∴当时，满足条件； 综上可得：或时，满足条件； （3）①当两个圆外切时，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ∵两个圆相切， ∴，即，   解得：， ∴； ②当两个圆内切时，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的正切值为或1． 【点睛】题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 2 / 104 1 / 104 学科网（北京）股份有限公司 $$