精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期中检测卷

期中检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A B. C. D. 0 3. 一元二次方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 等腰三角形的三边长分别为，，1，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为（ ） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1且2 6. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 7. 如图，在等腰直角中，，是的高线，E是边上一点，分别作于点F，于点G，几何原本中曾用该图证明了，若与的面积和为7.5，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　） A. 1806 B. 2005 C. 3612 D. 4011 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（　　） A. B. 10 C. 9.6 D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则________． 12. 如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 13. 将化简的结果是___________________. 14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是_____． 15. 如下图，直线，且与的距离为2，与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，则的周长应为________． 16. 如图是一张长方形纸片，已知，，点E、F在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片（），使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的边长是______． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3） （4） 19. 如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）设该方程两个同号实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21. 年9月，新冠病毒再次席卷贵阳，戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定多少元？ 22. 请阅读下列材料： 形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使，即，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里， 由于，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：__________． （2）化简：（请写出计算过程）． 23. 如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． （1）求证：． （2）若，求长． （3）如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答． 【详解】解：A、不最简二次根式，故A不符合题意； B、最简二次根式，故B符合题意； C、不是最简二次根式，故C不符合题意； D、不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：根号下不含有可开方是因数，根号下不含有分母． 2. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 由数轴可知，，所以，化简即可解答． 【详解】解：由数轴可知，， ， ． 故选：A． 3. 一元二次方程有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一元二次方程的两个根为，根据题意，求解即可． 【详解】设一元二次方程的两个根为， 根据题意， ∴解得． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键． 4. 已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 5. 等腰三角形的三边长分别为，，1，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为（ ） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1且2 【答案】C 【解析】 【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由及即可求出、的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出即可；当1为腰时，则、中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论． 【详解】解：当1为底边长时，则，， ． ，2，2能围成三角形， ， 解得：； 当1为腰长时，、中有一个为1，则另一个为3， ，1，3不能围成三角形， 此种情况不存在． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分1为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 6. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 7. 如图，在等腰直角中，，是的高线，E是边上一点，分别作于点F，于点G，几何原本中曾用该图证明了，若与的面积和为7.5，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，从而有，即可得出答案． 【详解】由题意知：与都是等腰直三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题是关键是根据三角形的面积求出． 8. 设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　） A. 1806 B. 2005 C. 3612 D. 4011 【答案】A 【解析】 【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A1、A2、A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k＝100代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵（n＋3）（n−1）＋4＝n2＋2n−3＋4＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2， ∴A1＝＝n＋1， （n＋5）A1＋4＝（n＋5）（n＋1）＋4＝n2＋6n＋5＋4＝n2＋6n＋9＝（n＋3）2， ∴A2＝＝n＋3， （n＋7）A2＋4＝（n＋7）（n＋3）＋4＝n2＋10n＋21＋4＝n2＋10n＋25＝（n＋5）2， A3＝＝n＋5， … 依此类推Ak＝n＋（2k−1）， ∴A100＝n＋（2×100−1）＝2005， 解得n＝1806． 故选：A． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，由图象可知点在x轴上，，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：由图象可知点在x轴上， ， ， ， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（　　） A. B. 10 C. 9.6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，并使得，连接，则， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由二次根式的性质可得，，， 解得， 则， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次根式的性质及零次幂的运算，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确求得 ，． 12. 如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 13. 将化简的结果是___________________. 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是_____． 【答案】-2或 【解析】 【分析】先由x12-2x1+2x2=x1x2，得出x1-2=0或x1-x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1-2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，解方程求出k=-2；②如果x1-x2=0，那么△=0，解方程即可求解． 【详解】∵x12-2x1+2x2=x1x2， x12-2x1+2x2-x1x2=0， x1（x1-2）-x2（x1-2）=0， （x1-2）（x1-x2）=0， ∴x1-2=0或x1-x2=0． ①如果x1-2=0，那么x1=2， 将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0， 得4+2（2k+1）+k2-2=0， 整理，得k2+4k+4=0， 解得k=-2； ②如果x1-x2=0， 则△=（2k+1）2-4（k2-2）=0． 解得： ， ∴k的值为-2或． 故答案为：-2或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验． 15. 如下图，直线，且与的距离为2，与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点，，恰好分别落在三条直线上，则的周长应为________． 【答案】 【解析】 【分析】作⊥于，作于，得出，，再证明，得出，，根据勾股定理求出，，即可得出结果． 【详解】解：作⊥于，作于，如图， 则，，， ∴， 由题意可知，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线之间的距离、勾股定理以及等腰直角三角形的性质；通过作辅助线证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 16. 如图是一张长方形纸片，已知，，点E、F在上，，，现要剪下一张等腰三角形纸片（），使点P落在长方形的某一条边上，则等腰三角形的边长是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，当，是等腰三角形时，利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图所示，当，是等腰三角形时，则； 如图所示，当，等腰三角形时，则； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，当，是等腰三角形时，过点作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 综上所述，长是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）3 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式计算，然后利用平方差公式计算； （2）先根据平方差公式和二次根式的乘除法则运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 18. 解下列方程： （1）（用配方法） （2）（用公式法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用因式分解法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 即：， 开平方得：， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ∴， 解得：，． 【小问3详解】 解：， 将一元二次方程化为一般形式为：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【小问4详解】 解：， 将一元二次方程化为一般形式为：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 19. 如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过C点分别作的垂线，利用同角的补角相等，得到，利用证明，推出，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，据此即可证明结论． 【详解】证明：过C点分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵为的平分线，， ∴． 而与互补，与也互补， ∴． 在与中，， ∴． ∴． ∵为的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式公式列出的表达式，证明>0即可证明此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系可得，，将方程中的转化为，再整体代入得到关于m的一元二次方程，解方程，最后根据两个同号的实数根进行取舍即可． 【详解】（1）证明：， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：，， ， 则有， ， 整理得：， 解得：或， 由方程有两个同号的实数根可得：，即m－2>0， m>2， 不存在m使成立． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟记根的判别式以及根与系数的关系公式是解题关键，此题还需注意的是根据两实数根同号对求出的m值进行取舍． 21. 年9月，新冠病毒再次席卷贵阳，戴口罩是阻断病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒元医用口罩进行销售，如果按每盒元销售，每天可卖出盒，通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒． （1）若每盒售价降低x元，则日销售量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元． （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ 【答案】（1），； （2）每盒售价应定为元． 【解析】 【分析】（1）根据每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒及利润利润单价数量即可得到答案； （2）根据利润列方程求解，即可得到答案； 小问1详解】 解：由题意可得， ∵每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒， ∴若每盒售价降低x元，则日销售量为， 利润为：（元） 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款口罩， ∴， 即售价为：（元）， 答：每盒售价应定为元． 【点睛】本题考查列代数式及一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是找到等量关系式． 22. 请阅读下列材料： 形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使，即，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里， 由于，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：__________． （2）化简：（请写出计算过程）． 【答案】（1） （2）；过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，将转化为完全平方式的形式，即可求解； （2），根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可得，这里, ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用． 23. 如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：． 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则； （2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则； （3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴（）， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， 由（2）得∠°， ∴在中，， 即． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$