精品解析：上海市建平中学西校2025学年第二学期阶段练习八年级数学学科

2025学年第二学期阶段练习 八年级数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 平行四边形对角线互相平分 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 4. 如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. D. 6. 如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7. 过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是________． 8. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 9. 如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 10. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 11. 已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标_________． 12. 已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则___________． 13. 如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 14. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 15. 如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 16. 如图，已知：G是的重心，，那么______． 17. 如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________． 18. 如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分） 19. 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 20. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是，点B的坐标是 （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是 ． （2）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点，那么、两点之间的距离是 ． （3）求四边形ABCD的面积 21. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求和的长； （3）求四边形的面积． 22. 如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； （2）若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； （3）求四边形的面积． 24. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 25. 如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期阶段练习 八年级数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐项验证各条件能否推出四边形是平行四边形即可． 【详解】解：已知在四边形中，， A 若，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B 若，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C ， ， 又， ， ，因此四边形两组对边分别平行，可判定是平行四边形，不符合题意； D ，本身即可推出， 无法推出另一组对边平行或，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 平行四边形对角线互相平分 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，对四个命题逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； B、平行四边形的性质为对角线互相平分，故B正确，符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，仅有一个角是直角的四边形不是矩形，故 C错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，对角线互相平分只能判定四边形是平行四边形，不能判定是菱形，故D错误，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 4. 如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的边长加上点的横坐标得到点的横坐标，正方形的边长加上点的纵坐标得到点的纵坐标，从而得解． 【详解】解：正方形的边长为，点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 5. 如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质计算出和，利用勾股定理计算出，从而得出菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 由勾股定理可得，， ∴菱形的周长为． 6. 如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 二、填空题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 7. 过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：24． 8. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 9. 如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【解析】 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 10. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 11. 已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，得到，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握距离的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，得到，， 故． 故答案为：． 12. 已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了坐标与图形的性质，由平行于轴的点的纵坐标相同，可得，解得的值，则可得答案，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【点睛】解：点的坐标为，且轴， ， ， 故答案为：． 13. 如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 16. 如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，是菱形的对角线上一点，于点，，则点到的距离为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用菱形对角线的性质得出平分，再结合角平分线的性质，推导出点到的距离等于的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分． ∵于点，且点在上， ∴点到的距离等于的长度，即为2． 18. 如图，在菱形中，点P是对角线上一点，Q是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求． 【详解】解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接， ∴， ∴即为所求的最小值． 连接， ，四边形是菱形， ∴，，， 是等边三角形， 点为的中点， ， 菱形的周长为16， ， ∵在中，， ， ， ， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共有6题，第19~21题每题6分，第22~24题每题8分，第25题10分，满分52分） 19. 如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 20. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是，点B的坐标是 （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是 ． （2）如果将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点，那么、两点之间的距离是 ． （3）求四边形ABCD的面积 【答案】（1）D（3，2）；（2）5；（3）21． 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标； （2）根据点的平移：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得B′点坐标，进而得到答案； （3）用△ABC的面积加上△ACD的面积即可． 【详解】解：（1）根据题意，∵点A的坐标是，点B的坐标是 ∴点C的坐标为， ∴点C关于x轴对称的点D的坐标是； 故答案为：（3，2）； （2）如图： 将点B沿着与x轴平行的方向向右平移3个单位得到点B′（-3+3，-2），即（0，-2）， ∴A、B′两点之间的距离是：3-（-2）=5； 故答案为：5； （3）四边形ABCD的面积为： ； 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化——平移，关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系，以及三角形的面积，关键是掌握点的坐标的变化规律． 21. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求和的长； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． 【小问3详解】 解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 22. 如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2） 解：四边形是菱形，证明如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）根据三角形中位线的性质，则，；，，根据菱形的判定，即可； （3）当时，四边形是正方形，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（2）可得，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点坐标分别为，，，． （1）把四边形经过平移后得到四边形，点A的对应点的坐标为．请你画出四边形，并写出，，的坐标； （2）若四边形内有一点，则经过平移后的对应点的坐标为________； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）如图，四边形即为所求． ，，． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）由（1）得平移规律，再进行解答即可； （3）利用梯形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得平移的规律为：向左平移5个单位，再向下平移4个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：． 24. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）线段的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）略 （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 如图1，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． （1）点的坐标为 ；点的坐标为 ； （2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，点是坐标轴上一点，直线上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （3）有5种情形，画出图形分别求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，， ∴， ∴ ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴点E的坐标为，， 如图，过点D作于点L，交于点K，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点与点G重合时，点与点A重合时，四边形是平行四边形， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点D到x轴的距离为，点G到x轴的距离为， ∴， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时，此时点与G重合，且，则； 当四边形是平行四边形时，此时点与C重合，且， 即线段向右平移8个单位得到线段，则点是点0的对应点，点是点D的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形是平行四边形时，此时点与A重合，，且，即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点，点是点的对应点， ∵， ∴，即； 当四边形是平行四边形时，且， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即线段向左平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则点O是点D的对应点是点的对应点， ∵， ∴，即； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，翻折变换和平移等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $