精品解析： 上海市青浦区实验中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷

青浦区实验中学2024学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列方程中，属于无理方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A 三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 3. 用换元法解分式方程+1=0，如果设=y，那么原方程可以化为（ ） A. -5=0 B. -5y+1=0 C. D. 4. 下列方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 在梯形中，//，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 方程的解是_____． 8. 关于x的方程bx＝x+1（b≠1）的根是__________________． 9. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 10. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 12. 方程的解是_____． 13. 方程无实数根，则的取值范围为_____． 14. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD∥BC；AC的长为16，则DO的长为___． 15. 如图，在梯形中，，，，那么边的长为______． 16. 七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，），将图示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______ ． 17. 如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是______． 18. 已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 三、解答题：（本大题共8题，19-20题每题5分，21-22题每题6分，23-25题每题8分，第26题12分，满分58分） 19. 解方程：． 20. 解方程：． 21. 解方程组∶ 22. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB周长． 23. 松江区于4月22日，举办“”上海佘山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成．已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对．求原计划每天生产多少对护膝． 24. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． （1）求证：四边形菱形； （2）如果，，求证：四边形为矩形． 25. 已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， （1）求直线解析式； （2）已知点的横坐标为4，求四边形的面积； （3）联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 26. 如图，已知梯形中，，，，点射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，． （1）求梯形的面积； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围； （3）若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青浦区实验中学2024学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分100分） 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列方程中，属于无理方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理方程的定义，关键在于分析看看哪一项符合无理方程的定义．根据无理方程的定义进行解答，根号内含有未知数的方程为无理方程． 【详解】解：A项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， B项的根号内含有未知数，所以是无理方程，故本选项正确， C项的根号内没有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， D项的根号内不含有未知数，所以不是无理方程，故本选项错误， 故选：B． 2. 下列图形中，一定是轴对称图形是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 等腰三角形或等边三角形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平行四边形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； C. 菱形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意； D. 等腰梯形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形是解题的关键，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 3. 用换元法解分式方程+1=0，如果设=y，那么原方程可以化为（ ） A. -5=0 B. -5y+1=0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接把换成y，整理即可． 【详解】解：设，则原方程化为， 去分母得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是换元法解分式方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 4. 下列方程有实数根的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、算术平方根的非负性、二次根式有意义的条件等知识点，掌握算术平方根的非负性成为解题的关键． 根据解分式方程、算术平方根的非负性逐项判断即可． 【详解】解：A．去分母得，又当时，分母无意义，故此时原方程无解，故A不合题意； B．方程左边是非负数+1，不可能为0，故此时方程无解，故B不合题意； C．，且，故，方程左边右边，故此时方程无解，不合题意． D．由题意可得：或，又，故，（不合题意，舍去），故此时方程有实数根． 故选：D． 5. 在梯形中，//，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∠DAB=∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD为梯形，且//，∠ABC=∠DCB，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意； D、∵四边形ABCD为梯形，且//，，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定定理，等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． 6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用开立方解方程，先移项，再开立方即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8. 关于x的方程bx＝x+1（b≠1）的根是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】移项，合并同类项，系数化为1，据此即可求解． 【详解】解：移项，得：bx﹣x＝1， 即(b﹣1)x＝1， ∵b≠1时， ∴b﹣1≠0 ∴方程的解为：x＝． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 9. 一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是_______．（列出方程即可，无需求解） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可． 【详解】解：设每年的年折旧率为， 根据题意，得， 故答案为：． 10. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，熟练掌握该定理是解题的关键．利用多边形的外角和为以及多边形内角和定理即可解决答案． 【详解】解：设这个多边形边数为x，内角和为， ∵多边形外角和为， ∴， 解得：， 故答案为：6． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，去分母，化分式方程为整式方程，由分式方程产生增根， 可知，然后把代入整式方程即可求得a的值． 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 12. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案． 【详解】解： 两边平方得 则或 解得：或 又 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 方程无实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理方程根的情况，解题的关键是了解二次根式成立的条件．根据无理方程无实数根，若，则，得关于的不等式，解得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案是：． 14. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD∥BC；AC的长为16，则DO的长为___． 【答案】8 【解析】 【分析】 由题意可以得到四边形ABCD为矩形，再根据矩形和直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵∠BAD=∠ADC=90°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∴AB∥DC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为矩形， ∴O为AC中点， ∵∠ADC=90°， ∴OD=， 故答案为8． 【点睛】本题考查矩形与直角三角形的综合应用，熟练掌握矩形的判定与性质、直角三角形的性质是解题关键 ． 15. 如图，在梯形中，，，，那么边的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作交于点，可得四边形是平行四边形，是等边三角形，进一步得出，从而可求出边的长． 【详解】解：过点A作交于点，如图， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了梯形，正确作出辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解答本题的关键． 16. 七巧板是中国民间流传的一种传统智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四边形组成的如图，有一块边长为的正方形厚纸板，做成如图所示的一套七巧板（点为正方形纸板对角线的交点，点、分别为、的中点，，），将图示七巧板拼成如图所示的“鱼形”，则“鱼尾”的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质即可求解．本题考查正方形，等腰三角形，平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键． 【详解】解：在等腰直角三角形中， ， ， 点、分别为、的中点， ， 又， ， ． 故答案为：． 17. 如图，菱形的边长为，，连接，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，连接，那么的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，根据已知条件得出是等腰直角三角形，设，则，根据，列出方程，解得进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 依题意， ∵菱形的边长为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分为两种情况分别画图计算．①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则，根据四边形是矩形，得出，根据折叠的性质得，，证明，得出，设，根据等面积法得出，从而得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则，根据四边形是矩形，得出，证出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得，，，在中，根据勾股定理算出，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、三角形面积等知识点，熟练掌握折叠的性质，正确作出图形并分类讨论是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8题，19-20题每题5分，21-22题每题6分，23-25题每题8分，第26题12分，满分58分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤． 先去分母，将分式方程化为整式方程，再用因式分解法求解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 检验：当时，；当时，； ∴是原分式方程的解． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键． 先移项将原方程进行变形，再等式两边平方得到，然后整理解一元二次方程即可解答． 【详解】解：由题意可知，则， 移项：， 两边平方：， 整理得：，解得：，． 经检验：是原方程的根，是增根，舍去． 所以，原方程的根是． 21. 解方程组∶ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 根据题意利用因式分解，将原方程组化为或 ，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：由①得，或 将它们与方程②分别组成方程组，得： 或 分别解这两个方程组， 得原方程组的解为 ，． 22. 如图，在中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且，连接DB，EF．若，，， （1）求证：； （2）求四边形DEFB的周长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形DBFE的周长为28cm 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据已知条件可得即可得证； （2）根据勾股定理求得，根据（1）的结论证明四边形DBFE是平行四边形，即可求解． 小问1详解】 证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴，， 又 即， ∴ 【小问2详解】 ， ∴， ，D是AC的中点 ， ∴， 中， ∴， 又且， ∴四边形DBFE平行四边形． ∴四边形DBFE的周长为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定以及中位线定理是解题的关键． 23. 松江区于4月22日，举办“”上海佘山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成．已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对．求原计划每天生产多少对护膝． 【答案】原计划每天生产护膝100对 【解析】 【分析】设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对．根据等量关系“要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成”列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对． 根据题意，可列方程． 两边同时乘以，再整理，得． 解得． 经检验，．都是原方程的解，但护膝得对数不能为负数，所以取． 答：原计划每天生产护膝100对． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程和检验是解答本题的关键． 24. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 小问2详解】 ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， （1）求直线的解析式； （2）已知点的横坐标为4，求四边形的面积； （3）联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）当点的坐标为时，与互相垂直 【解析】 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）当时，，可知点的坐标为，由题意可知四边形为平行四边形，且，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （3）由题意可知，设点的坐标为，其中，由（2）可知四边形为平行四边形，得，，，当时，四边形为菱形，此时与互相垂直，在中，，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入， 得，解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形，且， 则四边形的面积为； 【小问3详解】 当点的坐标为时，与互相垂直，理由如下： ∵， ∴， 设点的坐标为，其中， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴，，， 当时，四边形为菱形，此时与互相垂直， 在中，，即， 解得：（舍去）， 则， 此时点的坐标为， 综上，当点的坐标为时，与互相垂直． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 26. 如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，． （1）求梯形的面积； （2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围； （3）若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）174 （2） （3）的长为5或11.9 【解析】 【分析】（1）先判断出四边形是矩形，进而求出，，利用勾股定理求出，即可得出结论； （2）过点作，交于点，先判断出四边形是平行四边形，进而判断出，即可判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）分两种情况：当时，当时，利用（2）的结论和勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作，交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又，由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 由（2）知， 即：， ∴ 当时，过点作，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， 在中，， ， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形，的长为5或11.9． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，得出是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$