章末综合检测卷-【学而思·高中同步双测卷】2025-2026学年高一数学必修第二册测试卷（人教A版2019）

第七章 复数 章末综合检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设a∈R,则“a=1”是“复数(a一1)(a十2)十i为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2若1+i则 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 已知加为实数i为虚数单位，若m十(m-9<0,则g十等于 A.i B.1 C.-i D.-1 4.欧拉恒等式e+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是 p 苏 复分析中欧拉公式e"=cosx十isinx的特例：当自变量x=π时，e=cosπ十isinπ=一l,得 e十1=0.根据欧拉公式，复数=e在复平面上所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若复数x=(cos0-哥)+(sm9-号)i是纯虚数i为虚数单位)，则am(0-)的值为 ( 如 A品 B.-17 c号 n7或-号 製 6.在复数范围内，多项式4x2十1可以因式分解为 A.4(e+(x-) B.4(e-2e+2) c(e-r+》 D.(e-2(r+2) 7.已知复数：满足x一1=1，则+2十4i(i是虚数单位)的最小值为 删 A.w17-1 B.4 C.17+1 D.6 闲 8.设f(n)= (吉”+()”(n∈D,则集合w)中元素的个数为 阳 A.5 B.6 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.复数x满足2=i,则下列四个判断中，正确的是 A=+:或=-- 22 B.之是虚数 22 C.x+x=士，2 D.x的模等于2 33 10.下面四个命题中，是真命题的有 () Ap:若复数：满足∈R,则e∈R B.p2:若复数x满足之”∈R,则z∈R C.p3:若复数1满足12∈R,则1=g D.p,:若复数∈R,则x∈R 11.设复数在复平面内对应的点为Z,原点为O,为虚数单位，则下列说法正确的是() A.若|x|=1,则x=士1或x=士i B.3+i>2+i C.方程x2+2.x+2=0,(x∈C)的根是-1士i D.若1≤z|≤√2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知虚数，其实部为1，且+？=m(m∈R).则实数m为 1已知复数：满足十-i则= 14.对于任意两个复数名=x1十当i,2=x2十i(x1y边∈R),定义运算“⊙”：⊙=西x2十 y2.设非零复数，在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点，若，⊙=0， 则在△POP2中，∠POP2的大小为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在①之十x=4,②z为纯虚数，③：为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 中，并解决该问题. 已知复数x=(m2一3m十2)十(m2一5m十6)i(i为虚数单位)，：为x的共轭复数，若 求实数m的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一·个条件给分. 34 16.(15分)已知复数之满足(1一3i)为纯虚数，：一=一2i. (1)求x以及x: (2)设=+m=士，若=22，求实数m的值。 之十3 17.(15分)已知复数之=m一+(m一3)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限. (1)求实数m的取值集合M: (2)若集合N={x-)-<1-ix∈R,求MU(C.N). -35 18.(17分)已知复数=u十bi(a,b∈R),若存在实数t使a-bi=2士i-3ai成立. (1)求证：2a十b为定值： (2)若x一2<a,求|的取值范围. 19.(17分)在复数域中，对于正整数n满足”=1的所有复数4=cos2+isin2张(k∈ZD称为 单位根，其中满足对任意小于n的正整数m,都有之"≠1，则称这种复数为n次的本原单位根， 例如当n=4时，存在四个4次单位根士1，士i,因为1'=1，（一1）2=1，因此只有两个4次本原 单位根士i. (1)直接写出复数~的3次单位根，并指出那些是复数之的3次本原单位根（无需证明）： (2)①若是复数x的8次本原单位根，证明：1十十十…十=0： ②若是复数x的n次本原单位根，证明：1十十十十…十=0. 36 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第七章 复数 章末综合检测卷 姓名 准考证号引 考生条形码粘贴处 考生禁填：缺考考生由监考员填涂右边的缺考 标记 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘 填 正确填涂 注 贴的条形码： 涂 ■ 意 2.选择题必须用2B铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体 样 错误填涂 事 工整，笔迹清楚： 例 山● ■▣0 项3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][DJ 7.[A][B][C]D] 2.[A][B][C]D] 5.[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 3.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C]D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.[A][B][C][D] 10.[A][B[C][D] 11.[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 14. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 37 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -38- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -39- ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 -405四边形OACB的面 选择③csinA= ##。 积最大. (2)△AOB中,由正弦定理得: 0AB , AB sina 5-4cosa 因为C为三角形内,则(coSC-1-(53)#-11. :OA>OB...OAB不是△AOB中的最大角. .(OABE(o,). 则 sin B=sin(A+C)sin(2+ c) 2-cosa n<. .cos OAB-1-sin{ OAB-- 5-4cosa -sin ###(#)### 14 14 ) 2-cos a-3sina 18.【解】 (1)·:a/b. 25-4cosa 由余弦定理得: 3. $=OA+AC-2OA·AC·cos OAC=5+2③sin ..tanr=- ”: -2cos . cosx-sin 2rcos2x-2sin rcosr_1-2tanr8. =5+4sin(a-).'a(o0,x)._-e(-}. sin②x十cos{x tan{x+1 (2)/(c)2(a+b)·b-2(sin xco x+cos{②}x+) ) -sin 2-r+cos 2+3-v2sin(2x+)+3. .一 3 大值. 2 第七章 复数 'b>a..:A-. 章末综合检测卷 (.)+4c0s(2A+吾)-2sin(2r+)+2+ 1.A 当a=1时,复数(a-1)(a十2)十i-i,为纯虚数; 4co(+)-vV2sin(2x+)-2. 当复数(a-1)(a十2)十i为纯虚数时,有(a-1)(a+2) 0,得a-1或a--2. #e[0].2c+[1, 所以“a-1”是“复数(a一1)(a十2)十i为纯虚数”的充分 #1<(n)#+to2A)< 不必要条件。 故选:A. .听来的取值范,1、2- 2.C 2-1 -1-i. 19.【解】(1)设乙AOB-a,△AOB中, 故选:C. 由余弦定理得:AB②-1+4-2X1×2×cosa-5-4cosa. 3.A 因为n+(m^{}-9)i{0,所以n十(n②-9)i为实数 a(0,π) m0. 且 解得n--3. m2-9-0. 3--1_ =1十r -sina-)coo552sin(-)5/} 故选:A. aE(o,)-(-2). 所以cos30,sin3>0. 123 所以复数。一e^*在复平面内对应的点为(cos3,sin3),位 若R,则y=0:-rR,故命 于第二象限. 2+y②{2+y②} 故选:B. 题为真命题;对于命题力,当。一yi(yR且y:0) ·.复数:-(cos9-)+(sin-12)是纯虚数, 时,}-v②一一y}R,但:B,故命题 为假命题;对$ 5.C 于命题,取-1+i,-2-2i,则**-(1+i)(2-2i) 13 -2-2i^{}-4R,但z1子z,故命题为假命题;对于命 13 题 ,当zR时,设复数z=x(xR),则-xR,故 ### 命题力为真命题,故选AD. 1十tan0 11.CD 对于A,#一+#,则1>_1、(){}+({} -1,所以A错误; $6.A42+1-4--(-2)-4(x+)(a-) 对于B,虚数和向量一样不能比较大小,所以B错误; 对于C,因为△-2②}-2×4--4<0,所以方程有两个 故选A. 虚根, 7.B 设z=x+ yi(x,y-R),则由 z-1=1→(x-1)+$ 因为2+2r+2-0,所以--2士4×2x1-2- 2 ,所 2-1. 所以复数。在复乎面内对应的点坐标在(1,0)为圆心,1 以r一1士i,所以C正确; 为半径的圆上,如下图所示: 对于D,设2=a+bi(a,bR),则lcl-a^{}+b^{}, 因为1<②,所以1<}+<② 所以点乙的集合所构成的图形是半径分别为②,1所围 成的圆环, 其的面积为x(②)②-π·1^{-x,所以D正确。 故选:CD. 12.2 设。=1+bi(ER且b0). 所以2 2 。 2-1+ 而+2+4i|-(x+2)2+(y+4)2, 1十2 ##()# 即求复平面内点(x,y)到(一2,-4)距离的最小值, 由圆的几何性质可知当点(x,y)位于(一2,一4)与圆心 因为nR,所以一 2 (1.0)点连线交点时,取到最小值, 即(-2-1)②+(-4-0)2-1-4. 2 +1+=1+1-2. 故选:B. 故答案为:2. 8.C /(n)(1)"+(1) 一十(-i)”,f(0)-2 f$1)-0,f(2)--2,f(3)=0.f(4)-2,f(5)-0,.. &.(1+i(1-=(1+i(1+i),即2-2i ·集合中共有3个元素,故选C. .-i,--i1l-1. 9.ABC设复数z-a十bi(a,béR),则-(a?-b)+2abi 14. 设-a+bi=a+bi(a,a,b,bR,且 a2-2-0 ·复数:满足。?一i... ,解得 a,b 不同时为0,a,b。不同时为0),故得点P(a; l2ab-1 b ),P(a,b),且aja+bb=0. 方法一OP=a^}+,OP=+b,P{Pl (-a)2+(b-b){}=a}++a+-2(a + #bb )=^}++a+b=|OP 1{②}+lOP②,由勾股定$ 四个选项可知ABC均正确,故选ABC 方法二oP.=(a,b).oP=(a,b),则有cos(OP. 10.AD对于命题 ,设复数:一x十yi(x,yR,且x,y不 OP) aa2+bb2 -yi 同时为0),则11 r-yi +yi(r+yi)Gr-yì)2+y{} 。 a+6Va+h2} 124 15.【解】 若选择①. 化简可得2a+b-6,即2a+b为定值 因为z-(m}-3m+2)+(m-5n+6)i (2)若 -2<a,则 (-2)②}+<; 所以z=(m-3m+2)-(m-5m+6)i 'ao,且(a-2)?+(6-2a)?<a, 又+x-4,所以2(m②-3n+2)-4. 化简可得(a-2)(a-5)<0,解得2<a 5. 即m^{-3m-0,解得m-0或m-3; '|l-a2+-a+(6-2a)2-5^{-24a+36 若选择②, ###(_)## m?-3m+2-0 ,解得m-1: 因为:为纯虚数,所以 当E(2,5)时,5(-2)第}3[3-.41), 1n?-5m+6-0 若选择③, 因为;为实数,所以m②}-5m+6-0,解得m-2或m -3. 19.【解】 2h#十isin (1)由题意可得。”一1的解为。一cos 16.【解】 (1)设z三a十bi(a:bEB),则x三a-bi: 2kn(k-0.1,2). 由(1-3i)=(a+bi)(1-3i)=(a+3b)+(b-3a)i 3 为纯虚数, 得a+36-0①,且b-3a≠0. 由-:--2bi--2i,得-2--2②. 由①②解得a--3,b-1,验证知b-3a-10:0,满足 次方均不等于1. 题意. #+1## 所以。--3十i,--3-i. 故复数。的3次本原单位根为一 (2)由(1)可知,-+m-}m-3+2(m-3+2)·ì (2)证明:①因为是复数:的8次本原单位根,所以 +3 (一)·i 1(n8)-1. -2十(m-3)i. 因为-()}-1,所以--1, 由z-2v②,得(-2)+(m-3)②-2v, 所以+-(1+{)-0,+-(1+{)- 整理,得n2-6m+5-0. +-(1+{)-0. 解得n-1或m-5. 则1+a++..+-0. 故实数m的值为1或5. ②因为a.是复数。的n次本原单位根, 17.【解】 x=m-i?+(m-3)i=m+1+(m-3)i 所以1(m n),-1. (n+1>0 设$-1++++.+1. (1)$一在复平面内对应的点在第四象限,. l-3<0' 则S-+++.+I+ 解得-1<m<3. 因为a-1,所以S=++++.+1. 即M- m-1 m 3. 所以S-S. (2):(-1)-|<-1- 所以(-1)S-0. 因为≠1(m n),所以≠1,即-10 .(x-1)#-1#< 则S=0,即1++++.+1-0. ·(-D)+i<②.'(-1)+<(②) 第八章 立体几何初步 化简得x-2x<0,解得0<x<2. 即N-(xl0r<2). 专题一 基本立体图形、直观图和表面积与体积 .fnN-(xlx<0或x2. 1.B 图①的底面为圆,侧面为扇形,所以①折叠后的图形 故MU(CN)-R. 是圆锥; 18.【解】 图②的底面为三角形,侧面均为三角形,所以②折叠后的 成立, 图形是枝锥。 故选:B. ta-2 '.ta-tbi-2+(4-3ar②)i,且t0. 1-/b-4-3at? 1×6×4×6-24.故选C. d 125