精品解析：天津市北辰区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期阶段练习 八年级 数学 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使有意义，x必须满足（ ） A. B. C. x为任意实数 D. 2. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角三角形中，若两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. B. C. 7 D. 5 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 51 B. 49 C. 76 D. 无法确定 8. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 9. 如图，正方形中，延长至，使，连接，则（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 22.5° 10. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：____________． 14. 如果，那么的值为______． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是________． 16. 如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 17. 如下图，在中，，为的中点，，则__________． 18. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推过程） 19. 化简：（1） （2） 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 22. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 23. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边为，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？ 24. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒()．过点作于点，连接、． （1）求、的长； （2）求证：； （3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期阶段练习 八年级 数学 一、单选题（本题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使有意义，x必须满足（ ） A. B. C. x为任意实数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故选：D． 2. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 3. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 4. 在直角三角形中，若两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（ ） A. B. C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长=， 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，求出，对边平行，得到，进而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意； B．与不能合并，故本选项不符合题意； C．与不能合并，故本选项不符合题意； D．与能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 51 B. 49 C. 76 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2=122+52=169， 解得x=13． 故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76． 故选：C． 8. 数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 9. 如图，正方形中，延长至，使，连接，则（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC＝∠ACB＝45°，又由AE＝AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE＝∠ACE−∠ACB，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠E＝180°−45°2＝67.5°， ∴∠BCE＝∠ACE−∠ACB＝67.5°−45°＝22.5°， 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质． 10. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ． ， ． 四边形是菱形， ． 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 12. 如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 13. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式：进行二次根式的简便运算，把看作、2看作，直接套用公式化简求值． 【详解】解：由平方差公式， 令，， ． 14. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数和为零的条件，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 本题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负数和为零的条件得出的值，再代入计算乘积即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理是关键．根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，由矩形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 16. 如图，A、两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、的点，找到、的中点、，并且测出的长为，则A、间的距离为________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正确理解定理是解题的关键． D、E是和的中点，则是的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是和的中点， ． 故答案为：26． 17. 如下图，在中，，为的中点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】据直角三角形的性质得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解： 为直角三角形，且为的中点， ， 而， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 18. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接，，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推过程） 19. 化简：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简，再去括号计算加减； （2）将括号展开，再计算除法． 【详解】解：（1） = =； （2） = = = 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解；∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 21. 如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 22. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； （2） 证明：四边形是平行四边形， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ， 即平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边为，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？ 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，折叠的性质， 先根据勾股定理求出，再根据折叠的性质得，，然后根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】解：设的长为则， 根据勾股定理，得， 即， 解得. 根据折叠的性质得，， ∴， 根据勾股定理，得 即， 解得，所以的长为． 24. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点E为CD中点， ∴CE=DE． ∵EF=BE， ∴四边形DBCF是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论； （2）由平行四边形的性质可得CF∥AB，DF∥BC，可得∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得FG，CG，GD的长，由勾股定理可求CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵四边形DBCF是平行四边形， ∴CF∥AB，DF∥BC． ∴∠FCG=∠A=30°，∠CGF=∠CGD=∠ACB=90°． 在Rt△FCG中，CF=6， ∴FG＝CF＝3，CG＝． ∵DF=BC=4， ∴DG=1． 在Rt△DCG中， 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒()．过点作于点，连接、． （1）求、的长； （2）求证：； （3）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】（1） ； （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴； （3）四边形能够成为菱形，． 【解析】 【分析】（1）根据可知，然后再利用勾股定理即可求出AB,AC的长度； （2）分别用含t的代数式表示出AE，DF，即可证明； （3）首先可以证明四边形是平行四边形，要使平行四边形是菱形，只要即可，由此可建立一个关于t的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，． ∵， ∴ ； （2）略 （3）四边形能够成为菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 要使平行四边形是菱形，只要即可， 即 ， 解得， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的动点问题，掌握含30°直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $