精品解析： 江苏省南京玄武外国语学校和科利华联考2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024－2025学年度第二学期八年级数学期中质量监测卷 注意事项：本卷共6页，全卷满分120分，时间为120分钟．请将答案填写（涂）在答题纸的指定区域内，在试卷、草稿纸或指定区域外作答均无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，更适合普查的是（ ） A. 某本书的印刷错误 B. 某产品的使用寿命 C. 某条河中鱼的种类 D. 大众对某电视节目的喜好程度 3. 向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 4. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 5. 若（A、B、C均为常数）计算结果为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 将一组数据整理后分成了3个组，其中第一组的频率是0.32，第二组的频率是0.60，那么第三组的频率是_______． 8. 甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是________． （填“甲、乙或丙”） 9. 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________． 10. 如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 11. 已知分式，若，则M的值为________． 12. 如图，在菱形中，，，则菱形的高为________． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转至，使点C的对应点D恰好落在边上，E为点B的对应点．若，则的度数为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 15. 如图，矩形与矩形全等，且，若点F在上，连接、相于点O，则的长度为________． 16. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，，再从的整数中选取一个合适的的值代入求值． 19. 如图，方格纸的每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上．请在所给的平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转后的； （2）画出关于原点对称的； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 20. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 21. 某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： （1）这种树苗成活概率估计值为　　　　． （2）若移植这种树苗6 000棵，估计可以成活　　　　棵． （3）若计划成活9 000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 22. 为了了解某住宅小区今年月份家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计表和统计图： 分组 家庭用水量吨 频数（户） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 ，的值为 ，的值为 ； （2）若该小区共有户家庭，请估计该月有多少户家庭用水量不超过吨？ 23. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形． 24. 阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式和； （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 25. 如图，在中，，，垂足分别为G、H，E、F分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若，，求四边形的面积． 26. 某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； （2）小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 27. 在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中、、在同一条直线上． （1）是中点，求证：； （2）如图（2），将正方形逆旋转（），连接、． ①若，，则的值为 ； ②如图（3）若是中点，连接，交于点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期八年级数学期中质量监测卷 注意事项：本卷共6页，全卷满分120分，时间为120分钟．请将答案填写（涂）在答题纸的指定区域内，在试卷、草稿纸或指定区域外作答均无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：Ｃ． 2. 下列调查中，更适合普查的是（ ） A. 某本书的印刷错误 B. 某产品的使用寿命 C. 某条河中鱼的种类 D. 大众对某电视节目的喜好程度 【答案】A 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A．某本书的印刷错误，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； B．某产品的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； C．某条河中鱼的种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； D．大众对某电视节目的喜好程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解题的关键是掌握有可能发生也有可能不发生的事是随机事件．据此即可解答． 【详解】解：向上抛掷一枚硬币，落地后有可能正面向上，也有可能反面向上， ∴向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是随机事件， 故选：C． 4. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握据分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，且， 解得， 故选：D． 5. 若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 6. 如图，在四边形中，对角线，且，E、F、G、H分别是、、、的中点．若的最小值是，则的长度为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形．如图，记，的交点为，连接，，可得，当三点共线，最小，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 如图，记，的交点为，连接，， ∵， ∴，， ∴， 当三点共线，最小，则最小， 此时， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，中点四边形，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 将一组数据整理后分成了3个组，其中第一组的频率是0.32，第二组的频率是0.60，那么第三组的频率是_______． 【答案】0.08 【解析】 【分析】根据三组频率之和为1，用1-第一组的频率-第二组的频率计算即可 【详解】解：∵将一组数据整理后分成了3个组，其频率之和为1， ∴第三组的频率=1-第一组的频率-第二组的频率=1-0.32-0.60=0.08． 故答案为：0.08． 【点睛】本题考查频率问题，掌握各组频率之和为1是解题关键． 8. 甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是________． （填“甲、乙或丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9，且0.9非常接近， ∴对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”． 即该事件是丙， 故答案为：丙． 9. 如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC， ∵ED＝5，CD＝3， ∴EC2＝DE2−CD2＝25−9＝16， ∴CE＝4， ∵ADBC， ∴∠AEB＝∠DAE； ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝CD＝3， ∴BC＝BE＋EC＝7， ∴AD＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定． 10. 如图，在中，点E、F分别在上，连接．要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是________（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：在中，，即， 则可添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 已知分式，若，则M的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，化简后代入计算即可． 本题考查了分式的通分，求分式的值，熟练掌握通分是解题的关键． 【详解】解：， 当时， ， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，，则菱形高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及零星的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由菱形的性质得，，由勾股定理得，所以，设菱形的高为，由菱形的面积公式列出方程，解之即可． 【详解】解：连接，设与交于点， 在菱形中，，， ，， ， ， 设菱形的高为，则， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转至，使点C的对应点D恰好落在边上，E为点B的对应点．若，则的度数为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先利用旋转的性质得到，，，根据等边对等角得到，利用三角形内角和求出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结果． 【详解】解：绕点A顺时针旋转至， ，，， ， ， 在中，， 故答案为：16． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F，则四边形是矩形，得到，勾股定理得到，则，得到，在中，由勾股定理得到，求出，则，即可得到点B的坐标． 【详解】解：过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，过点A作于点F， ∵点A的坐标是 ∴， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵顶点B在第一象限的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去） ∴， ∴， ∴点 B的坐标为， 故答案为： 15. 如图，矩形与矩形全等，且，若点F在上，连接、相于点O，则的长度为________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点Ｂ作于点Ｍ，证明，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：过点Ｂ作于点Ｍ， ∵矩形与矩形全等，且， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在正方形中，点，分别在，上，，，相交于点．若，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的变形，先求出空白部分的面积，然后证明，得到，即可求出，设， ，即可得到，然后根据，求出解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 阴影部分的面积与正方形的面积之比为， ∴阴影部分的面积为， ∴空白部分的面积为， ∵是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 设， ， 则即， ， ， 即 解得，即， ∴的周长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 先化简，，再从的整数中选取一个合适的的值代入求值． 【答案】，时，值为；当时，值为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可． 【详解】解： ， ∵， 当时，原式； 或当时，原式． 19. 如图，方格纸的每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上．请在所给的平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转后的； （2）画出关于原点对称的； （3）若将绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）（0，－1） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形，原点对称，找旋转中心，图形与坐标，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （）根据旋转的性质找出定义点即可求解； （）根据原点对称的性质找出对应点，然后连接即可； （）分别作对应点垂直平分线，则垂直平分线交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，作垂直平分线交轴于点， ∴． 20. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】根据命题补充求证，，根据菱形的性质证明，即可得到结论． 【详解】求证：，． 证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 即平分菱形的一组对角． 【点睛】此题考查菱形的性质定理，三角形全等的判定及性质定理，根据命题写出求证，正确掌握菱形的性质定理是解题的关键． 21. 某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： （1）这种树苗成活概率的估计值为　　　　． （2）若移植这种树苗6 000棵，估计可以成活　　　　棵． （3）若计划成活9 000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】（1）0.9；（2）5400；（3）10000． 【解析】 【分析】（1）根据成活率折线统计图可知，数据在0.9上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的6000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率=成活的树苗÷移植的树苗可得，移植的树苗=成活的树苗÷成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】解：（1）根据图像可得，折线统计图在0.9上下波动，故成活率为0.9． （2）∵6000×0.9=5400（棵） ∴可以成活5400棵． （3）∵9000÷0.9=10000（棵） ∴需移植这种树苗大约10000棵． 【点睛】本题主要考查了折线统计图和成活率的公式，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． 22. 为了了解某住宅小区今年月份家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计表和统计图： 分组 家庭用水量吨 频数（户） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 ，的值为 ，的值为 ； （2）若该小区共有户家庭，请估计该月有多少户家庭用水量不超过吨？ 【答案】（1），，； （2）户． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解题的关键是掌握统计的相关概念． （）根据统计表和统计图中组数据可得本次抽样调查的样本容量，再根据样本容量和组的百分比可得的值，进而可得的值； （）用样本估计总体方法即可估计该月有多少户家庭用水量不超过吨． 【小问1详解】 解：根据统计表和统计图可知：本次抽样调查的样本容量是； 的值为：； 的值为：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（户）， 答：估计该月有户家庭用水量不超过吨． 23. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，E为的中点，当的长为 时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，证明，再证明得到，证明四边形是平行四边形，结合，可证明四边形是菱形； （2）设，则，根据四边形是正方形， 得到，故，求得（舍去）， 故． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 【小问2详解】 解：当的长为时，四边形是正方形． 理由如下：∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴当的长为时，四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 24. 阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】（1）； （2）； （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【小问1详解】 解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 25. 如图，在中，，，垂足分别为G、H，E、F分别是、的中点，连接、、、． （1）求证：； （2）连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，，，则有，然后可得四边形为矩形，则有，进而问题可求证； （2）连接、，由题意易得，，则有四边形为矩形，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 由（1）得四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴矩形的面积． 26. 某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． （1）用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； （2）小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】（1） （2）①，；②方案的最终过滤效果最好 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 27. 在正方形旁，正方形如图（1）放置，其中、、在同一条直线上． （1）是中点，求证：； （2）如图（2），将正方形逆旋转（），连接、． ①若，，则的值为 ； ②如图（3）若是中点，连接，交于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①40；②见解析 【解析】 【分析】（1）连接，可得出是直角三角形，进一步得出结论； （2）①连接，设与交于点O，可证得，从而得出，进而得出，根据勾股定理可得出结果； ②延长至点P，使得，连接交于点Q，证明，得，然后证明，进而可以解决问题． 【小问1详解】 证明：如图（1），连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中， ∵点H是的中点， ∴； 【小问2详解】 ①解：如图（2），连接，设与交于点O， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：40； ②证明：如图（3），延长至点P，使得，连接交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$