精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

扬大附中东部分校2024~2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 2. 曲线在处切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A B. 1 C. D. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. C. 有两个不同零点 D. 对任，函数有三个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_______． 13. 已知，，，夹角，则__________． 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 18. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬大附中东部分校2024~2025学年第二学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直可得，即可得到结果. 【详解】∵与垂直，∴，解得， ∴，故. 故选：C. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，进而得到，写出切线方程. 【详解】因为， 所以， 又， 所以在处的切线方程为， 故选：C 3. 如图，三棱锥中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：B 4. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：C. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 7. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，点E，F分别为线段与线段的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作辅助线，利用平移法找到异面直线EF与BD的所成角，设，求出相关线段的长，解三角形即可求得答案. 【详解】取的中点为，连接， 点E为线段的中点，则，故为异面直线EF与BD所成角或其补角； 由题意知为直角三角形，且，则为直角，即， 又平面BCD，且平面BCD，故， 平面，故平面， 而F为线段的中点。故，故平面， 平面，故， 设，则， 又，同理， 故为正三角形，则， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为， 故选：A 8. 函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，可得出，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】构造函数，则， ，则函数在上单调递增， 由可得，可得， 因此，不等式的解集为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：BC 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C. 【详解】由正四面体ABCD，可得， 对于A，， 则， 所以，故A正确； 对于B，， 则 ，故B错误； 对于D，， 则， ， 设直线所成角为， 则， 所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确； 对于C，连接，在上取点，使得，连接， 则平面， 则即为直线与平面所成角的平面角， 在中，， 则， 由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确. 故选：ACD 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最小值 B. C. 有两个不同的零点 D. 对任，函数有三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：求导求单调性即可判断；对于B：根据函数在单调递减，所以，即可判断；对于C：令即可判断；对于D：易知不论为何值，必为一个零点，只需判断当时，有两个零点即可，求导求单调性，再数形结合即可判断. 【详解】根据题意，，令，解得； 令，解得和；所以函数在单调递增， 在和单调递减；所以函数的极小值为，极大值为； 对于A：当时，，当时，恒成立， 所以函数的极小值即为函数的最小值，所以在处取得最小值，故A正确； 对于B：因为函数在单调递减，所以，即，即 所以，故B正确； 对于C：因为恒成立，所以令，即，解得， 故函数只有一个零点，故C不正确； 对于D：令，即在有三个零点， 易知不论为何值，必为其中一个零点，所以在时，只需有两个零点即可， 令，即函数与有两个不同交点即可，， 令，解得，令，解得或，所以在单调递增， 在和单调递减，所以函数的极大值也是最大值为：， 画出图像如下图所示：由图可知，当时，函数与有两个不同交点， 综上可知，对任，函数有三个零点，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调增区间为_______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调增区间为（或）. 故答案为：（或） 13. 已知，，，夹角为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积，结合空间向量夹角公式列式求解作答. 【详解】由，，得，， 由，夹角为，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 ，，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； 【小问3详解】 因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案. 【小问1详解】 解：当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 解：若存在，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为， 令，， ， 当时，，当时，， 所以函数在递增，在上递减， 所以， 所以. 18. 如图，已知四边形ABCD是矩形，，三角形PCD是正三角形，且平面平面. （1）若O是CD的中点，证明:； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）存在点Q，点Q为PC的中点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可证平面，平面，建系，利用空间向量证明线线垂直； （2）分别求平面ABP与平面的法向量，利用空间向量求二面角； （3）设，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 连接， 因为三角形PCD是正三角形，且O是CD的中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为四边形ABCD是矩形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 设二面角为， 则，可得， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得， 设，可得， 由（2）可知：平面的法向量， 则由， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可知存在点Q，点Q为PC中点. 19 已知函数 （1）当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分与，求解函数的单调区间； （3）将问题转化为，配方求出，在第二问基础上，求出不合题意，当时，，列出不等式，求出a的取值范围. 【小问1详解】 时，，， 故，， 故切线方程是：，整理得：. 【小问2详解】 的定义域为， 求导函数可得 当时，由于，故，，所以的单调递增区间为； 当时，由，得 区间上，；在区间上，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由已知转化为 ，， ， 由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意． 或者举出反例：存在，故不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以，所以， 解得：， 所以a的取值范围为. 【点睛】函数不等式恒成立问题，要进行适当转化，本题第三问的关键在于转化为，从而利用导函数求解最大值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$