精品解析：山西省实验中学2024-2025学年下学期八年级期中测试数学试卷

山西省实验中学 2024—2025学年第二学期期中质量监测（卷） 八年级 数学 公众号：中学知识资讯 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 2. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得，点B的对应点D在上（不与点A，C重合），则的度数是（　　） A. α B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．由旋转知，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下列因式分解中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法、提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，然后再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如下： 故选：D． 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：C． 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 9. 小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：根据题意列不等式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键． 10. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再求出，判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，得到，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴点O是的外心， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 12. 已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键． 首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∵ ∴， 故答案为： 13. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据不等式表示的是直线位于直线的下方，结合函数图象即可得． 【详解】解：将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的正半轴上， 将代入一次函数得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为，位于轴的负半轴上， 如图，一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线， ∵不等式表示的是直线位于直线的下方，且两条直线的交点为， ∴结合函数图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 15. 是边长为2的等边三角形，，点为上一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形判定与性质，等边三角形的性质及应用等知识，连接，由是边长为2的等边三角形，为的高，可得，，根据将绕点A顺时针旋转得到，知，故，可证，从而，①若，得，；②若． 【详解】解：连接，如图： ∵是边长为2的等边三角形，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ①若，如图： ∴， ∴， 解得（负值已舍去）； ②若，如图： ∴； 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. （1）因式分解：； （2）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_______．（填“是”或“否”） ③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）；（2）①C；②否；③ 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法并正确进行分解是解题的关键； （1）先提取公因式，再用平方差公式分解即可； （2）①读懂每一步即可完成； ②根据因式分解必须分解到再也不能分解为止即可作出判断； ③模仿小亮同学的分解方法进行即可． 【详解】解：（1） （2）①由第二步得到，它是一个完全平方式，用完全平方公式即可分解为两数和的形式，即可用两数和的完全平方公式分解； 故选：C； ②由于是一个完全平方式，用完全平方公式可继续分解，所以不是最后分解的结果； 故答案为：否； ③设， 原式 ． 17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得·············第一步 去括号，得··················第二步 移项，得·····················第三步 合并同类项，得···························第四步 两边都除以7，得··························第五步 任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 【答案】（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10；任务二：，见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． （2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）任务一：一；去分母时，常数项1漏乘10； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得， 解集在数轴上表示如图 （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【小问1详解】 解：如图所示： 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示， 的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 19. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 证明：由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查了经过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 电影《哪吒之魔童闹海》上映后广受欢迎，某影院为回馈观众，推出以下购票优惠： **成人票**：每张30元 **儿童票**：每张20元（身高1.3米以下） 小明计划邀请家人们去观看该电影，小明的妈妈准备了200元用于购票，已知共去8人，且所有儿童均符合购票条件．在满足预算的前提下，小明一家最多可以购买多少张成人票？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，准确掌握数量关系是解题的关键．根据等量关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设小明一家最多可以购买张成人票， ， 解得， 小明一家最多可以购买张成人票． 21. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）128 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明； （2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费： 乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠． 设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题． （1）填空： 甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________． （2）乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由． 【答案】（1），； （2）当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，两直线的交点问题．利用待定系数法正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出两直线交点，结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：联立，解得：， ∴直线与直线的交点为． ∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即此时选择甲种购票方式更划算； 当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算； 当时，直线在直线的图象上方，即此时选择乙种购票方式更划算； 当乐乐去动物园的次数小于8时，选择甲种购票方式更划算；当乐乐去动物园的次数等于8时，选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；当乐乐去动物园的次数大于8时，选择乙种购票方式更划算. 23. 如图与为等边三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． （1）如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系； （2）如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证，即可得证； （2）过点作交于点，可证是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，即可得； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：与为等边三角形， ，， 将射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作交于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：作于点， ，， ， 如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时， ， ， ， 过点作，交于， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时， 同法可证：， ， ； 如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时， 同法可证：， ，， ， ； 如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时， 同法可证：， ， ， ； 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2024—2025学年第二学期期中质量监测（卷） 八年级 数学 公众号：中学知识资讯 （本试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得，点B的对应点D在上（不与点A，C重合），则的度数是（　　） A. α B. C. D. 5. 下列因式分解中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 9. 小茗要从石室联中到春熙路IFS国际金融中心，两地相距1.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过12分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他要跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与O点恰好重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元一次不等式的最小整数解是_______． 12. 已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是_______． 13. 一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集为______． 14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 _______． 15. 是边长为2的等边三角形，，点为上一个动点．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当是直角三角形时，的长为_________． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. （1）因式分解：； （2）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 ②该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_______．（填“是”或“否”） ③请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 去分母，得·············第一步 去括号，得··················第二步 移项，得·····················第三步 合并同类项，得···························第四步 两边都除以7，得··························第五步 任务一：以上解题过程中，第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 19. 如图，在中，，是的角平分线， （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（）的条件下，连接，求证：垂直平分． 20. 电影《哪吒之魔童闹海》上映后广受欢迎，某影院为回馈观众，推出以下购票优惠： **成人票**：每张30元 **儿童票**：每张20元（身高1.3米以下） 小明计划邀请家人们去观看该电影，小明的妈妈准备了200元用于购票，已知共去8人，且所有儿童均符合购票条件．在满足预算的前提下，小明一家最多可以购买多少张成人票？ 21. 如图，于E，于F，若，平分． （1）求证：； （2）已知，，，求四边形的面积． 22. 春节结束后，为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式． 甲：按照次数收费： 乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次打折优惠． 设某人一年内去动物园的次数为次，所需费用为元，且与的函数关系如图所示． 根据图中信息，解答下列问题． （1）填空： 甲种收费的函数关系式是___________．乙种收费的函数关系式是___________． （2）乐乐准备利用本学期的周末去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？说明理由． 23. 如图与为等边三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． （1）如图，点与点重合时，点，分别在线段上，请直接写出和的数量关系； （2）如图，当点在的延长线上时，，分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $