精品解析：上海市吴淞中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

吴淞中学2024－2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，则. 故答案为：1 2. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 3. 已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解. 【详解】点O为坐标原点，， 则， 所以线段的中点坐标为， 故答案为：. 4. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 5. 抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即. 故答案为： 6. 已知函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导再求解即可. 【详解】，故. 故答案为：1 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据重要不等式，即可求解. 【详解】由重要不等式， 得，即，当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 8. 已知随机变量，，且，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，，由，可求出的值. 【详解】因为随机变量，所以， ，且，所以， 所以，解得：. 故答案为： 9. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 10. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】8 【解析】 【分析】方法一：先求出直线过定点，再判断出点在圆内，从而得到直线被圆所截的弦长的取值范围是，再结合圆的对称性即可得到结果； 方法二：先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，分析出要使弦长为整数须满足（为平方数），再通过换元令转化成关于的方程有解的问题，通过判别式大于0，求出的范围及的值即可得到结果. 【详解】方法一：直线可化为 ， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短， 点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. 11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 12. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》 中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是_____.（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据递推关系可得，即可代入验证①，③，④，结合，相减即可判断②错误. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到1号蜂房的方法数为，2号蜂房的方法数为， 3号蜂房的方法数为，4号蜂房的方法数为，5号蜂房的方法数为，…， 号蜂房的方法数为. 依次对赋值，可得，， ，故①正确； 因，则，两式相减可得：， 故有，故②错误； 因，故③正确； ，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列递推公式的性质运用，属于难题. 关键在于根据特值代入，归纳得到，进而变形计算，或赋值代入即可解决问题. 二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分） 13. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 14. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 15. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小， 设：，则，解得或(舍)， 当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此， 故选：A． 16. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案. 【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则, 故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等， 则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 故选：B 三、解答题（共78分） 17. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数乘法公式可得答案； （2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1），，又， 则切线方程满足. 18. 在数列中，，，． （1）设，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用，化简可知，进而可知数列是首项为、公比为的等比数列； （2）通过可知，进而利用分组求和法计算即得结论． 【小问1详解】 证明： 又 数列是首项为、公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，即， . 19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 20. 垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是等级男生的概率为． （1）根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？ 男生 女生 等级 等级 附： 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． （2）为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，理由见解析 （2）（i）；（ii）分布列见解析，期望值为 【解析】 【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与比较后得到结论； （2）（i）分甲赢得比赛和乙赢得比赛两种情况，计算出概率相加后得到答案； （ii）得到的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 由题意得，等级的男生人数为，等级男生的人数为， 等级的女生人数相同，均为人， 故列联表如下： 男生 女生 总计 等级 40 20 60 等级 20 20 40 总计 60 40 100 故， 故根据小概率值独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关； 【小问2详解】 （i）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为， 比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为， 故比赛只进行3局就结束的概率为； （ii）的可能取值为， ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故， ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢， 故， ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢， 故 ， ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得， 所以分布列为 0 1 2 3 故数学期望为. 21. 已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B． （1）当时，求到 l 的距离； （2）若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明：当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴； （3）设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） 由双曲线Γ：得两渐近线的方程为， ∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D， ∴， 由得交点C的横坐标为， 由得交点D的横坐标为， ∴，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴； （3）存在，，. 【解析】 【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得； （2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得； （3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可． 【小问1详解】 由双曲线Γ：的左焦点，右焦点， 当时， ， ∴， ∴直线， 故到l的距离； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 设， 由，消去y得， ∴且， 解得且， ， AB的中点， 所以AB的垂直平分线方程为， 令，则， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，又， 故，点， 即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴淞中学2024－2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分） 1. 若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______. 2. 直线的倾斜角______． 3. 已知点O为坐标原点，，则线段的中点坐标为___________. 4. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 5. 抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______. 6. 已知函数，则______. 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为______. 8. 已知随机变量，，且，，则_________. 9. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 10. 已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 11. 已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 12. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》 中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是_____.（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分） 13. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 14. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 15. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 16. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（共78分） 17. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 18. 在数列中，，，． （1）设，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 20. 垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是等级男生的概率为． （1）根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？ 男生 女生 等级 等级 附： 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 ，其中． （2）为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问． （i）求比赛只进行3局就结束的概率； （ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望． 21. 已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B． （1）当时，求到 l 的距离； （2）若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明：当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴； （3）设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $