精品解析：福建省厦门市莲花中学2024--2025学年4月份八年级数学期中考试卷

厦门市莲花中学2024-2025学年八年级（下）期中阶段测试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大慧，25小慧，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的三边摆放小木棒，使小木棒之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放的小木棒根数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7. 下列选项中，是的函数的是（ ） A. B. C. 是平方根 D. 8. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角相等 B. ②有一组邻边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 9. 某教材《阅读与思考》中的部分内容如下： 科学家如何测算岩石的年龄 你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具． 1903年，英国物理学家卢寒福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系，如图为表示镭的放密射规律的函数图象． 某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期．结合镭的放射规律的函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 镭所剩质量与时间成函数关系 B. 当时间为4860年时，的值为 C. 镭的半衰期是1620年 D. 镭缩减为所用的时间大约是6480年 10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 化简： （1）__________；（2）__________；（3）__________；（4）__________ 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 13. 已知在中，比大，那么的度数是______． 14. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 15. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 16. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 20. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点． （1）请用尺规作图的方法，在边上作出点F，使得三角形沿折叠时，点D的对称点恰好落在点F处；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，标出点E，连接，求线段的长． 21. 画出函数的图象并研究其性质： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）用列表法画出该函数的图象： （3）小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 22. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“定义性质判定”路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）猜想推理证明 研究内容： 【定义】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形． 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 1．定义：如图，如果是等边半正六边形，那么，，，且． 2．性质：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 边： 内角：①，，且 ②等边半正六边形相邻两个内角的和为__▲___． … 对角线：… 任务： （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是否有等边半正多边形？若有，请指出是哪个四边形，画出示意图，并写出符号语言；若没有，请说明理由． （2）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． （3）写出等边半正六边形关于对角线的一条性质，并证明． 23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 24. 在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： （1）根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A． B．（填选项） （2）证明（1）中猜想的正确性． （3）现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 25. 四边形菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门市莲花中学2024-2025学年八年级（下）期中阶段测试 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大慧，25小慧，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图，在的三边摆放小木棒，使小木棒之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放的小木棒根数为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设相邻两根火柴之间间隔的距离为，得到，，由题得，得到，即可得到答案． 【详解】解：设相邻两根火柴之间间隔的距离为， ，， ， ， 边应摆放火柴的根数为， 故选： A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的除法，根据二次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的除法法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故B符合题意； C、， ， ，故C不符合题意； D、， ，不能判定为直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD中点，若，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位线的性质求出的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可． 【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点 ∴为的中位线 ∴ 又∵是菱形 ∴ ∴ 故答案选：D. 【点睛】本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键． 7. 下列选项中，是的函数的是（ ） A. B. C. 是的平方根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数． 根据函数的定义，自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，即可得出答案． 【详解】解：自变量在一定的范围内取一个值，因变量有唯一确定的值与之对应，则叫的函数， B满足取一个的值，有唯一确定的值和它对应，是的函数， 而A、D、C中，对一个的值，与之对应的有两个的值，故不是的函数， 故选：B． 8. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角相等 B. ②有一组邻边相等 C. ③有一组邻边相等 D. ④有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果； 【详解】解：、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； 、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理； 9. 某教材《阅读与思考》中的部分内容如下： 科学家如何测算岩石的年龄 你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具． 1903年，英国物理学家卢寒福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系，如图为表示镭的放密射规律的函数图象． 某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期．结合镭的放射规律的函数图象，下列说法不正确的是（ ） A. 镭所剩质量与时间成函数关系 B. 当时间为4860年时，的值为 C. 镭的半衰期是1620年 D. 镭缩减为所用的时间大约是6480年 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，根据函数图象以及题意，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A．由函数定义可得，镭所剩质量与时间成函数关系，故该选项正确，不符合题意； B．由图象可得，当时间为4860年时，的值为，故该选项正确，不符合题意； C．根据题意，结合图象可得镭的半衰期是1620年，故该选项正确，不符合题意； D．镭缩减至需一个半衰期，缩减至需两个半衰期，缩减至需三个半衰期，缩减至需四个半衰期，缩减至需五个半衰期，即（年），故该选项不正确，符合题意； 故选D． 10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【详解】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 化简： （1）__________；（2）__________；（3）__________；（4）__________ 【答案】 ①. 3 ②. ③. 3 ④. 5 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，二次根式的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据二次根式的除法和性质求解即可； （3）根据二次根式的性质求解即可； （4）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解∶ （1）， 故答案为∶3； （2）， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶3； （4）， 故答案为∶5． 12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，进而求解即可． 【详解】若式子在实数范围内有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 13. 已知在中，比大，那么的度数是______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 又， ，， ． 故答案为：． 14. 我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键． 【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7， ， 根据题意可得， 则设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负值舍去）， 的周长为， ， ， ， 每个直角三角形的周长介于和之间， ， 故答案为：． 15. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论： ①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形； ②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形； ③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形； ④若∠BAC＝45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形． 以上所有错误说法的序号是_____． 【答案】②④． 【解析】 【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①如图1， ∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， 即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形， 故选项①正确； ②如图2， 四边形AECF不是矩形，故选项②错误． ③如图3， 当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确． ④如 图4 ， 如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 16. 如图，已知正方形的对角线，交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结，若，EF=1，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，且交于点，证明四边形为平行四边形，得出，由正方形的性质得出，则可得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解∶ 正方形 取的中点，连接，且交于点 为的中点 ， 四边形为平行四边形 四边形是正方形 关于对称 ，即与重合时，最小，最小值为的长 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、三角形中位线以及勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段的长来表示是解题的关键． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，解题的关键是充分利用二次根式的性质是快速进行计算． （1）先将零指数幂，负整数指数幂和二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 20. 如图，在矩形中，，，点E是边上一点． （1）请用尺规作图的方法，在边上作出点F，使得三角形沿折叠时，点D的对称点恰好落在点F处；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，标出点E，连接，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧交于点F即为所求；证明出，进而求解即可； （2）勾股定理求出，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图所示，点F即为所求； 作平分 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴和关于对称； 【小问2详解】 ∵四边形在矩形中，，， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∵， ∴设，则 ∴在中， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，尺规作图，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 画出函数的图象并研究其性质： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）用列表法画出该函数的图象： （3）小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 【答案】（1）x为任意实数 （2）见解析 （3）①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）列表，然后根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【小问1详解】 在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； 【小问2详解】 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … 画出函数的图象如下： 【小问3详解】 由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①②③． 22. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“定义性质判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）猜想推理证明 研究内容： 【定义】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形． 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 1．定义：如图，如果是等边半正六边形，那么，，，且． 2．性质：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 边： 内角：①，，且 ②等边半正六边形相邻两个内角的和为__▲___． … 对角线：… 任务： （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是否有等边半正多边形？若有，请指出是哪个四边形，画出示意图，并写出符号语言；若没有，请说明理由． （2）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：________． （3）写出等边半正六边形关于对角线的一条性质，并证明． 【答案】（1）菱形，示意图见解析，，，，； （2） （3）对角线是的平分线，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查以等边半正六边形为背景，研究全等三角形的性质和判定，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，理解题意以及多边形的相关性质是解题关键． （1）根据等边半正多边形的定义判断即可； （2）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （3）连接，，通过全等证出，即可得到对角线是的平分线． 【小问1详解】 解：∵平行四边形，矩形的四条边不都相等，正方形的邻角相等， ∴平行四边形，矩形，正方形不是等边半正多边形， ∵菱形四条边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等， ∴菱形是等边半正多边形， 示意图如下： ∴菱形中，，，，； 【小问2详解】 解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， ∴研究报告中“▲”处空缺的内容为240； 【小问3详解】 解：对角线是的平分线 理由如下：连接，，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ∴对角线是平分线． 23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 【答案】（1）第一、二小组的方案都可行，见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质证明． 根据绳子、、，利用勾股定理的逆定理可证； 根据，可得：，，根据三角形内角和定理可证，从而可证； 以点为顶点构造等腰，根据等腰三角形的三线合一定理可知，若点是的中点，则． 【小问1详解】 解：第一、二小组的方案都可行， 理由如下： 方案一 如下图所示， 证明：因为， 若， 则， ， ， ； 方案二、 证明：如下图所示， ，若，则， ，， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：第三小组的测量方案是： 如下图所示， 在射线，，上分别取点，，， 放置绳子，，使， 用叠合法比较与的长度， 若，则墙体与地面垂直，即于点， 否则不垂直， 证明：， 是等腰三角形， 若，则是等腰三角形中线， 根据等腰三角形性质可知， 即． 24. 在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．有图是一些A号纸的长宽数据： （1）根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______；A． B．（填选项） （2）证明（1）中猜想的正确性． （3）现有一长条矩形纸片未裁剪，需确认裁切线的位置，使得裁切后的纸张符合A号纸的长宽之比，请用折纸的方法确认裁切点N的位置，在图中画出折叠示意图并简要说明折叠方法． 【答案】（1）A （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意猜测求解即可； （2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； （3）将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 【小问1详解】 解：根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：， 故选：A； 【小问2详解】 解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是 【小问3详解】 解：如图所示，将沿着折叠使得B点与D点重合，将沿着折叠使得点与点重合，将沿着折叠使与重合，C点对应点为N，将沿着折叠使得与重合，D点对应点为M，即为所求裁剪线． 由作图可得，四边形为正方形 ∴， 由折叠的性质得，， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，正方形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． （1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； （2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：； （3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； （3）过点作于点，过点作垂线，垂足为，设，同（1）易证为等腰直角三角形，从而得到，然后可证，得到，根据点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值，过点作，交的延长线于点，此时，然后利用 得到，先计算出，然后易证为等腰直角三角形，推出，再计算出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中， 【小问2详解】 证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 【小问3详解】 解：如下图，过点作于点，过点作垂线，垂足为 设 ， 为等腰直角三角形 将线段绕点逆时针旋转得到线段 ， ，即 点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值 如下图，过点作，交的延长线于点 此时， ， ， 为等腰直角三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$