专题04 高阶等差数列（3大题型）-2025年新高考数学19题新定义培优教程

专题04 高阶等差数列 【题型归纳目录】 题型一：一阶、二阶差分数列 题型二：绝对值递推型 题型三：综合问题 【知识点梳理】 高阶等差数列解题方法总结： 1、确定阶数：通过计算数列的差分，观察其规律性．若一次差分形成等差数列，则为二阶；若二次差分恒定，则为三阶，以此类推． 2、构建模型：根据阶数设定通项公式．例如，二阶数列可设为二次多项式 ，利用已知项建立方程组求解系数． 3、递推降阶：若直接求解困难，可通过递推公式将高阶问题转化为低阶．例如，二阶数列满足 ，其中为线性函数． 4、数学归纳法：验证通项公式时，先验证初始项成立，再假设对成立，证明对 也成立． 5、灵活调整：对于非整数或复杂规律，拆分整数与小数部分，或调整公差适配特殊情形． 【典型例题】 题型一：一阶、二阶差分数列 【例1】（2025·安徽滁州·一模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列. (1)已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及 (2)已知数列满足，对，且，恒成立. ⅰ求证：数列为二阶等差数列; ⅱ令，求证：数列的前n项和 【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 【变式1-2】（2025·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数） (3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：. 题型二：绝对值递推型 【例2】（2025·高三·上海松江·开学考试）若实数数列满足，则称数列为数列. (1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零； (2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值； (3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”. 【变式2-1】（2025·高三·北京丰台·期末）若有穷数列满足，则称为数列． (1)判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． (2)已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． (3)已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·模拟预测）若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”． (1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16． (2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”； (3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值． 题型三：综合问题 【例3】已知集合并且．定义（例如）． (1)若集合，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； (2)对于任意给定的常数C以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且； (3)若集合满足：，其中实数a，b为给定的常数，求的取值范围． 【变式3-1】已知集合并且．定义（例如：）． （1）若，，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； （2）已知集合满足：，，其中为给定的常数，求的取值范围． 【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；②． （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分不必要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【强化训练】 1．（2025·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. (1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； (2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； (3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 2．（2025·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中． (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？ (2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值． 3．（2025·高三·河南漯河·期末）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，且为的二阶差分数列，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若数列满足，证明：． 4．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？ (2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）； (3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为； (4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？ 5．（2025·广西柳州·模拟预测）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. (2)正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 6．对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，． (1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列； (2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式； (3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由． 7．（2025·高三·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 8．（2025·北京海淀·一模）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；② （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 高阶等差数列 【题型归纳目录】 题型一：一阶、二阶差分数列 题型二：绝对值递推型 题型三：综合问题 【知识点梳理】 高阶等差数列解题方法总结： 1、确定阶数：通过计算数列的差分，观察其规律性．若一次差分形成等差数列，则为二阶；若二次差分恒定，则为三阶，以此类推． 2、构建模型：根据阶数设定通项公式．例如，二阶数列可设为二次多项式 ，利用已知项建立方程组求解系数． 3、递推降阶：若直接求解困难，可通过递推公式将高阶问题转化为低阶．例如，二阶数列满足 ，其中为线性函数． 4、数学归纳法：验证通项公式时，先验证初始项成立，再假设对成立，证明对 也成立． 5、灵活调整：对于非整数或复杂规律，拆分整数与小数部分，或调整公差适配特殊情形． 【典型例题】 题型一：一阶、二阶差分数列 【例1】（2025·安徽滁州·一模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列;记，称数列为数列的二阶差分数列一般地，对于，记，规定：，，称数列为数列的k阶差分数列.对于数列，如果为常数，则称数列为k阶等差数列. (1)已知7，14，25，41，63是一个k阶等差数列的前5项，求k的值及 (2)已知数列满足，对，且，恒成立. ⅰ求证：数列为二阶等差数列; ⅱ令，求证：数列的前n项和 【解析】（1）由题意知，，， ， ，， ，， 由k阶等差数列的定义可知，， 由可得 （2）取，可得， 又，所以， 所以， 即， 所以为常数， 所以数列为二阶等差数列. 由知， 当时，， ， ， ， 相加得， 整理得， 所以，， 在等式中，取，，得，解得， 所以， 所以， 令， ， 相减得， 所以， 所以，得证. 【变式1-1】（2025·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）． (1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式； (2)若阶等差数列的通项公式． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的前项和． 附：． 【解析】（1）数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为，为非零常数列， 所以，即，且， 所以数列是首项为1、公差为4的等差数列， 所以，即，且， 所以当时， ， 当时，，也满足上式， 综上，数列的通项公式为． （2）（ⅰ），所以， ， 所以， 所以， 所以数列是4阶等差数列，即． （ⅱ） ， 所以， 又 ， 所以 ． 【变式1-2】（2025·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数） (3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：. 【解析】（1）因为为的二阶差分数列，所以， 将，代入得，整理得，即， 所以.故数列是首项为，公差为的等差数列， 因此，，即. （2）因为为数列的一阶差分数列，所以， 故成立，即为.① 当时，①式成立； 当时，因为，且， 所以①成立，故对都有成立. （3），因为，所以， 故，即， 所以. 题型二：绝对值递推型 【例2】（2025·高三·上海松江·开学考试）若实数数列满足，则称数列为数列. (1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零； (2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值； (3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”. 【解析】（1）由题设，，又， 所以，存在满足条件， 又，则， 综上，满足题设的数列有. （2）由题设，为， 所以数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下： ，，，， ，，， ，…， 要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又，则， 综上，的最小值为. （3）由为数列，则，由为数列，则， 又为数列，即， 若不是单调数列， 则存在，即，显然与矛盾； 或存在，即，显然与矛盾； 综上，是单调数列，充分性得证； 由是单调数列且为数列， 所以，则， 则，即， 所以、均为数列，必要性得证； 综上，为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”. 【变式2-1】（2025·高三·北京丰台·期末）若有穷数列满足，则称为数列． (1)判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． (2)已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． (3)已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值． 【解析】（1）①因为，所以数列不是数列； ②因为，所以是数列． （2）证明：必要性： 若数列是等差数列，设其公差为，则， 所以数列是常数列． 充分性： 若数列是常数列， 则，即， 所以或． 因为数列的各项互不相等，所以， 所以数列是等差数列． 综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列 （3）当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意． 下面证当时，不存在满足题意． 令， 则，且， 所以有以下三种可能： ① ② ③ 当时，因为， 由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列， 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾 当公差为时，同理得出与已知矛盾． 所以当时，不存在满足题意． 其他情况同理可得，不存在满足题意． 综上可知，的所有取值为或． 【变式2-2】（2025·上海嘉定·模拟预测）若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”． (1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16． (2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”； (3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值． 【解析】（1），该数列不具有“性质”； ，该数列具有“性质”； （2）证明：充分性，若数列是常数列，则，即，或 又数列且各项互不相同，，数列为等差数列； 必要性，若数列为等差数列，则，即，数列为常数列； （3）数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，当时，，，不符合题意； 当时，数列3，2，4，1满足，，符合题意； 当时，数列2，3，4，5，1满足，符合题意； 当时，令，2，，，则，且，的取值有以下三种可能 ①，②，③， 当时，，由（2）知，，，是公差为1或的等差数列， 若公差为1时，由得或，，不合题意，不合题意； 若公差为，同上述方法可得不符合题意； 当满足②，③时，同理可证不符合题意， 故：或5． 题型三：综合问题 【例3】已知集合并且．定义（例如）． (1)若集合，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； (2)对于任意给定的常数C以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且； (3)若集合满足：，其中实数a，b为给定的常数，求的取值范围． 【解析】（1）由题可知， （2）证明：令，(为待定参数 ). ， 当 即可. （3）由于， 由于，, 所以 【变式3-1】已知集合并且．定义（例如：）． （1）若，，集合A的子集N满足：，且，求出一个符合条件的N； （2）已知集合满足：，，其中为给定的常数，求的取值范围． 【解析】（1）由于，，      所以，，，，，回答其中之一即可． （2）由于，                                                                                                      由于 所以      【变式3-2】（2025·上海·模拟预测）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；②． （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分不必要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【解析】（1）①数列具有“性质”；②数列不具有“性质”． （2）先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有，结合有，即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有，即数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时有． 又因为且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于， 即存在满足：或， 进而有 又因为， 所以 依次类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以：． 【强化训练】 1．（2025·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. (1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； (2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； (3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 【解析】（1）对于数列， 可得：一阶差分数列为，不满足， 所以不是“绝对差异数列”， 二阶分差数列为，满足， 所以是“累差不变数列”； （2）因为， 所以，所以， 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因为， 所以数列数列是首项为，公差为的等差数列； （3）由题意得， 对，都有， 所以， 所以， 所以，所以数列是等差数列， 设数列的公差为，则， 当时，，与矛盾； 当时，当时，， 与数列的各项均为正数矛盾，故， ， 则， ， 因为，所以， 所以， 则当时，不等式恒成立， 另一方面，当时，令， 则， ， 则 ， 因为， 所以当时，， 即有，与恒成立矛盾. 综上所述，实数的最大值为. 2．（2025·安徽黄山·一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中． (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？ (2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值． 【解析】（1）因为，所以， 因为，，， 故，， 显然， 所以不是等差数列； 因为，则，， 所以是首项为12，公差为6的等差数列. （2）因为数列是以1为公差的等差数列， 所以，故， 所以数列是以公比为的正项等比数列，， 所以， 且对任意的，都存在，使得，即， 所以，因为，所以， ①若，则，解得（舍），或， 即当时，对任意的，都存在，使得. ②若，则，对任意的，不存在，使得. 综上所述，. （3）因为为常数列，则是等差数列， 设的公差为，则， 若，则，与题意不符； 若，所以当时，， 与数列的各项均为正数矛盾，所以， 由等差数列前项和公式可得， 所以， 因为， 所以， 因为，故， 所以 则当时，不等式恒成立， 另一方面，当时，令，，， 则，， 则 ， 因为，， 当时，， 即，不满足不等式恒成立， 综上，的最大值为2. 3．（2025·高三·河南漯河·期末）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，且为的二阶差分数列，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若数列满足，证明：． 【解析】（1）由数列的阶差分数列定义可得数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为，故数列不是2阶等差数列． 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为，故数列是2阶等差数列． （2）因为为的二阶差分数列，所以． 因为，代入上式可得 即，即，所以． 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 即，所以数列前项和为 （3）证明：因为，所以当时， ，不等式成立； 当时，，所以，不等式成立； 当时，， 所以．所以得证． 4．（2025·高三·江苏镇江·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？ (2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）； (3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为； (4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？ 【解析】（1）因为， 而， 所以，数列是二阶等差数列． （2）因为数列为阶等差数列，则， 则， 则， ， ． 归纳得一般结论：①． （3）设数列：，因为， 所以数列为阶等差数列， 由（2）中①得：，因为 所以． （4）由（1）知数列为二阶等差数列， 且， 则由（3）得： ②． 设共堆积了层，第层共有个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第层的“边”共有个球，则第层的球数为． 则这层所有球的个数为． 【法一】由②式得： ． 解得：． 答：这位同学共堆积了22层． 【法二】 ． 解得：． 答：这位同学共堆积了22层． 5．（2025·广西柳州·模拟预测）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中； (1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由. (2)正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值； (3)设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：. 【解析】（1） 所以不是等差数列 ，则 所以是首项为6，公差为6的等差数列 （2）由题意 又 即 ，则 若，即，解得（舍去） 即当时， 当时，则，对，不存在 综上所述， （3） 所以，从而 从而，所以 6．对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，． (1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列； (2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式； (3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由． 【解析】（1）证明：依题意，△， ， △△， △， △是首项为1，公差为5的等差数列． （2）△△，， △△△， △，， ，， 当时， ， ， 当时，也满足上式， ． （3），， 令，则， 则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 而， ，即时，存在最小值，其最小值为． 7．（2025·高三·北京·期中）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质. (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论） ①； ②. (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件； (3)已知数列中，且.若数列具有性质，求数列的通项公式. 【解析】（1）①，对于，，所以数列具有“性质”； ②，对于，， 故，所以数列不具有“性质”． （2）证明：先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有 结合有， 即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时，有． 又因为，且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于3， 即存在满足：或， 进而有 ． 又因为， 所以 依此类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以． 8．（2025·北京海淀·一模）已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；② （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【解析】（1）①，对于，，所以数列具有“性质”； ②，对于，，，故，所以数列不具有“性质”． （2）证明：先证“充分性”： 当数列具有“性质”时，有， 又因为， 所以， 进而有 结合有， 即“数列为常数列”； 再证“必要性”： 若“数列为常数列”， 则有， 即“数列具有“性质”． （3）首先证明：． 因为具有“性质”， 所以． 当时，有． 又因为，且， 所以有，， 进而有， 所以， 结合可得：． 然后利用反证法证明：． 假设数列中存在相邻的两项之差大于3， 即存在满足：或， 进而有 ． 又因为， 所以 依此类推可得：，矛盾， 所以有． 综上有：， 结合可得， 经验证，该通项公式满足， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$