精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期八年级期中考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数大于等于求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则各选项判断即可． 【详解】解：A、 和不属于同类二次根式，不能运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确；该选项符合题意； D、，故该选项计算错误； 故选：C 3. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则边 的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，算术平方根的应用，由勾股定理得，即得，可得，即得，进而根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 4. 在 中，，，的对边分别是，则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理可判断A和C，根据勾股定理逆定理可判断B和D. 【详解】解：、，，∴，∴ 是直角三角形； 、，可设，那么，，，， ∴ 不是直角三角形； 、，∴，∴ 是直角三角形； 、∵，∴ 是直角三角形． 故选：B． 5. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出 ，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出 ，又 ，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 7. 如图，在中，D是 的中点，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是 的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得 ，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形 的面积为， ∴， 故选：A． 9. 如图，在四边形ABCD中，，， ，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长． 解：如图，连接FC，则． ， ． 在与中， ， ， ， ，． 在中，， ， ， ． 故选：A． 【详解】详解片段 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键． 10. 如图，在正方形 中，E为对角线 上一点，连结 ，过点E作，交 延长线于点F，以 、 为邻边作矩形，连结 ．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④当时，点C与点F重合，得到 不一定等于 ，故④错误． 【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形 是正方形， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中，， ， ， 故①正确； ②∵矩形为正方形； ，， ∵四边形 是正方形， ，， ， 在和中，， ， 故②正确； ③根据②得， ， ， 故③正确； ④当时，点C与点F重合， 不一定等于 ， 故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质-绝对值、算术平方根．根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵直角三角形的两直角边长为a、b, ∴该直角三角形的斜边长=． 故答案为：10． 12. 对于有理数为、，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，无理数的估算，理解题意，掌握无理数的估算是关键． 根据题意得到，由，即，得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵定义的含义为：当时，，已知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：11． 13. 如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心， 的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得 和 的长，再根据 和 ，点表示的数为，即可写出点表示的数． 【详解】解：，， ， ， ， ， 点表示的数是， 点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形 的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的面积，过点作于 ，于 ，由题意易得四边形 是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形 是菱形，再解中根据直角三角形的性质，求出，即可求解，得出四边形 是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于 ，于 ，如图所示： 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴ ，， ∴四边形 是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形 是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴四边形 的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形 中，，，，点E是线段 上一个动点，将沿 折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形 边上时，则的长度为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，当落在 上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在 上，从而可得答案． 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴，，， 如图，当落在 上时， ∵由对折可得：，，，， ∴，记垂足为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当，，， 此时重合，，， ∴落在 上， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握基本运算法则是解题的关键． （1）先化简各个二次根式，再计算乘法，然后合并即可得出结果； （2）根据绝对值、二次根式的性质、零次幂化简各式，然后进行二次根式的加减运算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站A的距离为米，与公路上另一停靠站 的距离为米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 【答案】没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁． 【解析】 【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于400米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和400米比较大小即可判断需要暂时封锁． 【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D， ∵BC＝800米，AC＝600米，∠ACB＝90°， ∴米， ∵AB•CD＝BC•AC， ∴CD＝480米． ∵400米＜480米， ∴没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 18. 在中，延长边 到点，使，连接 、和， 交 于点 ， ．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由四边形 是平行四边形，可得 ，，得到四边形为平行四边形，得到，，推出，即可得证． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ，，则， 又， ， 四边形为平行四边形， ，． 又， ， 是矩形． 19. 如图， 是 的角平分线． （1）作线段 的垂直平分线 ，分别交于点；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 证明：连接，如图， ∵ 平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵ 垂直平分线段 ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用尺规作线段的垂直平分线即可． （2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）证明见解析；（2）① 当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．② 当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形． 【解析】 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ CF∥ED， ∴ ∠FCG＝∠EDG， ∵ G是CD的中点， ∴ CG＝DG， 在△FCG和△EDG中， ， ∴ △FCG ≌△EDG（ASA）， ∴ FG＝EG， ∵ CG＝DG， ∴ 四边形CEDF是平行四边形； (2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形， 理由是：过A作AM⊥BC于M， ∵∠B=60°，AB=3， ∴BM=1.5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=BM， 在△MBA和△EDC中， ∴△MBA≌△EDC(SAS)， ∴∠CED=∠AMB=90°， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形， 故答案为3.5； ②当AE=2时，四边形CEDF是菱形， 理由是： ∵AD=5，AE=2， ∴DE=3， ∵CD=3，∠CDE=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE=DE， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是菱形， 故答案为2. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定，综合形较强． 21. 请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． （1）在图1中，作 中 边上的中线； （2）在图2中，作 中 边上的高； （3）在图3中，找到点 ，连接，使得四边形 为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，连接 ，交于点 ，则点 为的中点，连接，则即为所求； （2）取格点 ，连接，则，取格点，连接，交 于点 ，构造，则，即为 边上的高； （3）取格点 ，连接，与 交于点，过点作直线即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，为 边上的高； 【小问3详解】 解：如图，点 ，直线即为所作； 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 步骤一：将正方形纸片 （边长为4）对折，使得点与点 重合，折痕为 ，再将纸片 展开，得到图1． 步骤二：将图1中的纸片 的右上角沿着 折叠，点 落到点 的位置，连接，得到图2． 步骤三：在图2的基础上，延长与边 交于点 ，连接，得到图3． （1）求的度数； （2）求线段的长度 【答案】（1）度 （2） 【解析】 【分析】（1）利用折叠得到全等三角形，通过角的关系求出的度数； （2）借助全等得出边的关系，再在直角三角形中运用勾股定理求出线段的长度． 【小问1详解】 解： 四边形 是正方形， ，， 由翻折的性质可知，，，， ， ， 又，， ， ，， ； 【小问2详解】 解： 正方形纸片 的边长为4，则， 设，则，， 在中，根据勾股定理得， ，解得， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图，已知四边形 是“中方四边形”， 、 分别是 、的中点． ①试探索与 的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 【答案】（1）D （2）①，见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． （1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）①如图，记 、 的中点分别为、 ，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与 的交点为 ，连接、，当点 在 上(即 、 、 共线)时，最小，最小值为 的长，得到，，再根据①可知，从而计算 的最小值，进而求解； 【小问1详解】 解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故选：D； 【小问2详解】 解：①如图，记 、 的中点分别为、 ，连接，，， ∵四边形 是“中方四边形”， ， 分别是 ，的中点， ∴四边形是正方形， ，， ， ， 分别是， 的中点， ， ； ②令与 的交点为 ，连接、； 由①可知，； 当点 在 上(即 、 、 共线)时，最小，最小值为 的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形； ， ，， ， ， 分别是 ，的中点， ，， ， 的最小值， 即时， 最小，即最小； 线段的长度为， 则； 故； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期八年级期中考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则边 的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，，，的对边分别是，则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 7. 如图，在中，D是 的中点，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，，， ，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 10. 如图，在正方形 中，E为对角线 上一点，连结 ，过点E作，交 延长线于点F，以 、为邻边作矩形，连结 ．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为____． 12. 对于有理数为、，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则______． 13. 如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为________． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形 的面积为______． 15. 如图，在平行四边形 中，，，，点E是线段 上一个动点，将沿 折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形 边上时，则的长度为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站A的距离为米，与公路上另一停靠站 的距离为米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 18. 在中，延长边到点，使，连接 、和， 交 于点， ．求证：四边形是矩形． 19. 如图，是 的角平分线． （1）作线段的垂直平分线，分别交于点；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 20. 如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由） 21. 请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． （1）在图1中，作 中 边上的中线； （2）在图2中，作 中 边上的高； （3）在图3中，找到点 ，连接，使得四边形 为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形 的面积． 22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程： 步骤一：将正方形纸片 （边长为4）对折，使得点与点 重合，折痕为，再将纸片 展开，得到图1． 步骤二：将图1中的纸片 的右上角沿着 折叠，点 落到点 的位置，连接，得到图2． 步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点 ，连接，得到图3． （1）求的度数； （2）求线段的长度 23. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图，已知四边形 是“中方四边形”， 、 分别是、的中点． ①试探索与 的数量关系，并说明理由； ②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $