2026年中考数学二轮专题复习--特殊四边形（二次函数综合）

2026年中考数学二轮专题复习--特殊四边形（二次函数综合） 一、单选题 1．（22-23九年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．（2023·山东淄博·一模）如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26九年级上·河南·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，抛物线经过顶点．若，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C．4 D． 5．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，抛物线G：与抛物线H：交于点，且分别与y轴交于点D，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，则以下结论：①抛物线G可由抛物线H向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；②无论x取何值，总是负数；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23九年级上·浙江金华·月考）如图，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，当以为对角线的正方形的另外两个顶点、恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形. （1）当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ； （2）若抛物线是“美丽抛物线”，则，之间的数量关系为 . 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ． 9．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为 ． 10．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ． 12．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．已知抛物线（、是常数）经过点、，抛物线与轴交于点．点是抛物线上任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求、的值； (2)连结、，当的面积是面积的2倍时，求的值； (3)当图象的最高点与最低点的纵坐标的差为时，直接写出点的坐标； (4)已知，以点为对称中心构造矩形，轴．当抛物线在矩形内部的图象从左至右逐渐下降时，直接写出的取值范围． 14．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 15．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； (3)若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； (4)在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 17．（25-26九年级上·湖北随州·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． (1)求抛物线的顶点坐标和线段的长； (2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； (3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围． 18．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由矩形的性质可知，即说明当最小时，最小．再根据当点A与抛物线顶点重合时最小，即可求解． 【详解】∵四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小． ∵点A在抛物线上运动， ∴的长为的值． ∵， ∴当时，最小，最小值为1， ∴对角线的最小值为1． 故选B． 【点睛】本题为二次函数与几何的综合题，考查求二次函数的顶点坐标，矩形的性质．正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 2．A 【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得： ，解得：， ∴点 ， 根据题意得抛物线的顶点坐标为 ， 把代入直线y=x，得： ， ∴抛物线解析式为 ， 如图，当抛物线经过点C时， 把点 代入得： ，解得： 或（舍去）， 如图，当抛物线经过点B时， 将点代入得： ，解得： 或（舍去）， 综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，连接，设，根据，求得点的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】过点作轴交轴于点，连接， ∵ ∴ ∴，， ∵抛物线经过顶点 ∴设， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴， ∴, ∵菱形， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴菱形的面积为 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用． 求得抛物线的顶点坐标，由抛物线的顶点坐标得到平移规律即可； ②由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数； ③由，可得随着x的增大，的值减小； ④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形． 【详解】解：由题意，抛物线G：与抛物线H；交于点， 代入得：，解得：， ①∵抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， ∴抛物线G可由抛物线H向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到，故①正确； ②， ， ， 无论x取何值，总是负数，故②正确； ③， 随着x的增大，的值减小，故③错误； ④设与交于点F， 当时，，解得：或， 点， 当时，，解得：或， 点， ，，当时，， ，， 四边形为平行四边形， ∴， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形，故④正确． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得进行求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．如图所示： 点，的横坐标分别为，，已知正方形的顶点，在二次函数的图象上， ， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵点，在轴的同侧， ， ， 故选：B． 7． 8 【分析】 （1）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； （2）根据抛物线解析式，确定对称轴以及顶点坐标，再根据“美丽抛物线”求解即可； 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得， 抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 （2）抛物线的顶点坐标，对称轴为， 则， 抛物线是“美丽抛物线”，则四边形为正方形， 则 将代入可得：，解得（舍去）或 故答案为：，，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是理解“美丽抛物线”的含义，掌握二次函数的有关性质． 8．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 9．或 【分析】本题主要考查正方形的性质，抛物线的性质，确定出到四个点距离相等的点的位置是解题的关键． 到四个点距离都相等的点为的交点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得，抛物线必经过点， 在正方形中，，， ， 则的交点， ∵在抛物线上， ， 整理得，即， 或 解得或． 故答案为：或． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．根据题意确定正方形四个顶点坐标，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2，轴，， ∴点， 将点代入得， 解得：； 将点代入得， 解得：； 对称轴为直线， 当抛物线顶点在线段上时，，解得； ∵抛物线的图象与正方形始终有交点，故的取值范围是， 故答案为：． 11． 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 12．或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 13．(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，得到关于a，b的方程组求解； （2）先根据（1）写出抛物线的解析式，再求出C点的坐标，从而可求出，再设，用m表示出，然后根据的面积是面积的2倍，列出关于m的方程求解； （3）先求得抛物线顶点坐标，确定抛物线开口向上，设，再分、、、四种情况，分别求出P点的坐标即可； （4）设P，先根据D点的坐标得出点D在直线上，再分点P在直线下方、点P在直线上、点P在直线上方三种情况讨论，分别求出m的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 和 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴， ∴点到轴的距离为， ∵和 ， ∴的底边， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴点到轴的距离为， ∴， 当的面积是面积的2倍时， ∴， 当时， ， 解得：， 当时， ， 方程可变形为， 由于， 所以此方程无解， 所以的值为或； （3）解：抛物线， 顶点坐标为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， 设， 当时，如图， 在图象上，最高点为P点，点C为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∵， ∴， 解得：或，， ∵，， ∴不符合，，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当时，如图， 在图象上，最高点为C点，点P为最低点， 当图象G的最高点与最低点的纵坐标的差为时， ∴， 解得：或， ∵不在范围内，在范围内， ∴不符合，符合， 当时，点P的纵坐标为， 此时点P的坐标为； 当P在对称轴的右侧时，即此时，最低点为顶点， 若最高点为C，此时，如图， 则，不符合； 若最高点为P，，如图， 则， 解得：或， ∵，， ∴，都不符合； 若C、P两点关于对称轴对称时，，最高点的纵坐标为，如图， 则，不符合； 当时，此时点P在顶点处， 最高点为C，最低点为顶点， ∴，不符合， 综上所述，满足条件的点 P有两个：或； （4）解：设， 因为， 所以点D在直线上， 当点P在直线下方时，矩形与抛物线只有一个公共点P， 不存在：抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 故不符合； 当点P在直线上时，， 解得：或， ∵， ∴，不符合， ，符合， 但此时不存在矩形，故不符合； 当点P在直线上方时，即或时， 因为， 所以不符合， 所以， 如图，可画出矩形， 因为是矩形的对称中心， 所以点D为的中点， 所以M的横坐标为， M的纵坐标为， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以点N的横坐标与点P的横坐标相同，即为m， 点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，即为， 所以， 因为抛物线， 所以顶点坐标为， 所以抛物线的对称轴为直线， 所以在y轴上，它在直线左侧， 在直线左侧的抛物线是从左到右逐渐下降的， 所以抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降， 综上所述，当抛物线矩形内的部分始终是从左到右逐渐下降时，m的范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)，的最值，特殊四边形(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 14．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 15．(1) (2)或 (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查用待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）将点和点代入抛物线解析式，即可求解； （2）点C的纵坐标是3，令，求解即可； （3）由抛物线的解析式可得对称轴为，再由平行四边形的性质可得点C的横坐标为，令，，即可求出点C的坐标； （4）分类讨论：当时，过点C作轴，证明可得，可求出点P的坐标；当时，证明可得，可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵点C的纵坐标是3， 令，解得：或， ∴或． （3）解：若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，如图所示： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C的横坐标为， 令，， ∴． （4）解：当时，过点C作轴，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上：存在，点P的坐标为或． 16．(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 17．(1)顶点为， (2)m的值是1或3 (3)或 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； （2）解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； （3）解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ； ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 18．(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $