重难点专题 旋转与中心对称的概念、性质（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 旋转与中心对称的概念、性质 重难点一 概念辨析（选择、填空高频） 主要特征:判断一个运动是不是旋转变换；识别旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角. 区分：轴对称、旋转、平移、中心对称中心对称（两个图形的位置关系）vs 中心对称图形（一个图形自身的性质）.判断常见图形是不是中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、圆；等腰三角形、等边三角形、角不是中心对称图形. 解题方法: ①旋转判断：有定点（旋转中心），每一点绕定点转相同角度，到定点距离不变；②中心对称判断：绕某点旋转180°后和另一图形重合（中心对称）/和自身重合（中心对称图形）；③ 快速检验中心对称图形：倒置看，图形和原来一样就是. 特别注意：旋转角不是对应点和边上任意点的夹角，是对应点与旋转中心连线的夹角. 1.(2026福建中考)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【分析】先明确两个概念，轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对称图形：绕图形中心旋转后，能和原图形完全重合的图形．逐个分析选项判断是否符合这两个概念即可． 【详解】选项A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求． 选项B：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求． 选项C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求． 选项D：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求． 故选C. 2.（2026年广东省中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选C. 3.下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、矩形性质理解、利用菱形的性质证明、正方形性质理解、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】逐个判断四个图形的对称性，筛选出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的序号即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 因此符合要求的序号为②③④． 4.如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是_______个． 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：从左往右，第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形， 第二个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第三个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， 第四个图案既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是1个 ． 5.如图，正方形绕着它的对称中心点O旋转，旋转多少度后能够与原正方形重合？ 【分析】正方形性质理解、找旋转中心、旋转角、对应点 【详解】解：∵正方形相邻顶点与的夹角相等，四个夹角之和为， 每个夹角为， ∴正方形绕旋转后，每个顶点都会与原相邻顶点的位置重合，整个图形与原正方形重合， ∴正方形绕点旋转的整数倍后，都能与原正方形重合． 正方形绕点旋转的整数倍（）后都能与原正方形重合． 6．图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案． 【分析】图中有4个一样的直角梯形，每个直角梯形顺（或逆）时针旋转90度即可得到另一个直角梯形，据此解答即可． 【详解】解：基本图形为直角梯形，如下图： 图中的风车图案，可以由“一个直角梯形”，绕着中心顺（或逆）时针旋转4次90度得到．（答案不唯一） 7.如图，直线，相交于点O，图形与图形G关于直线对称，图形与图形关于直线对称．图形可以由图形G旋转得到吗？如果能，指出旋转中心和旋转角． 【分析】在图形上任取一点，在上取一点，在上取一点，根据轴对称性质得，，进而得，即可得图形可以由图形G旋转得到，旋转中心是，旋转角是直线、相交所成角的2倍． 【详解】如图， 在图形上任取一点，在上取一点，在上取一点， ∵图形与图形G关于直线对称， ∴点在图形上的对应点为， ∴是的角平分线， ∴， ∵图形与图形关于直线对称， ∴点在图形上的对应点为， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴图形可以由图形G旋转得到，旋转中心是，旋转角是直线、相交所成角的2倍． 重难点二 利用旋转性质求角度、线段长 主要特征:已知旋转，求旋转角、对应角、图中复合角度，常结合三角形内角和、外角、等腰，求对应边长度、线段和差，常出现等腰三角形. 旋转性质：① 对应线段相等；② 对应角相等；③ 旋转角都相等. 解题方法：求角度：①先标出旋转中心，找出一组对应点，连接旋转中心与两个对应点，夹角就是旋转角；②利用“旋转前后图形全等”，得到对应角相等；③结合三角形内角和、外角定理、平行线性质计算. 特别注意：没说顺时针还是逆时针旋转时，角度有两种情况. 求线段长：①旋转前后对应边相等；②旋转中心到两个对应点距离相等，得到等腰三角形；③结合勾股、线段加减计算. 1.如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故选D． 2.如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据旋转的性质求解 【详解】解：由旋转可知，，， ．故选C. 3.如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质可得，可得，即可求得． 【详解】解：将绕点C旋转，得到， ， ，即， ， ．故选A. 4.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ．故选B. 5.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【分析】由旋转的性质可得，，求出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴．故选B. 6.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为_________． 【分析】根据旋转知识，绕点旋转角度是，因此 和 都是 ，用 的 依次减去 和 ，算出 的度数。 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 7.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 【分析】先利用勾股定理求得，再根据旋转性质得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由旋转性质得，，， 在中，， ∴． 8.如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 【分析】根据旋转性质得到、、，结合三角形内角和和等腰三角形性质得到度数，再利用外角性质得到度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 9.如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 【分析】利用旋转的性质结合平行线的性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴． 10.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． (1)当时，求的长度； (2)当时，判断与的位置关系． 【分析】（1）由旋转的性质容易判断是等边三角形，则； （2）证明，则，由等腰直角三角形的性质与旋转的性质可得，因此． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：由题意可得，是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点三 中心对称坐标，作图问题 主要特征:（1）点关于原点对称的坐标；判断两点是否关于原点对称.结论：点P(x,y)关于原点对称点P'(-x,-y).（2）网格中画出图形绕定点旋转一定角度后的图形；画关于某点中心对称图形. 解题方法：（1）横、纵坐标都变相反数；逆用：两点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数 ⇔ 关于原点对称.特别注意：关于x轴对称(x,-y)，关于y轴对称(-x,y)，不要混淆. （2）作图步骤：旋转：找图形所有顶点；逐个顶点绕旋转中心，按方向、角度找到对应点. 中心对称：顺次连接对应点，标出字母；连接顶点和对称中心，延长相同长度，得到对应点；依次连线. 特别注意：保留辅助虚线，标注对应字母. 1.已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，且， ∴ ∴，， ∴点的坐标为． ∴点关于原点对称的点的坐标为． 2.如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【分析】先确定，再求，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴． 3.在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】由于是的中点，故，将点绕原点旋转（考虑逆时针和顺时针两种方向），利用旋转的性质计算对应点坐标． 【详解】解：，， 为中点， ，即 如图所示，连接点与点， 则，且为第一象限角平分线， 将线段绕着原点O旋转， 即将线段绕原点O旋转； 当顺时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，则 ，， ， 由勾股定理可得，， 故； 当逆时针旋转时，旋转至，则 ， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则 ， 在中， ，则，， ， 由勾股定理可得，, 故； 综上所述，将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为或． 4.如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 【分析】由、确定点的坐标，再求出正方形顶点的坐标；旋转周期为，用除以的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， ，顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∵每次绕点逆时针旋转，而， ∴旋转次图形回到原位置，即每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，相当于把原图形绕点逆时针旋转， 如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， ∴点绕点逆时针旋转后的对应点为， 故选：B． 5.如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 6.如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____． 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可． 【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图： ∴旋转中心是图中的点G，坐标为． 7.如图，已知等边的顶点 ，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为_______． 【解析】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题 【详解】解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为． 8.如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【解析】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【解答】解：（1）连结并延长到，使，则点即点A关于点O成中心对称的对称点． （2）同理，作出点B，C的对称点，． （3）连结，，． 如图即为所求作的三角形： 即为所求作的三角形． 9．如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称． 【分析】延长到使，同样作出点，以及，从而得到四边形． 【详解】 10.如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心，且补全． 【分析】连接、相交于点，连接并延长到点使，连接点、、得到即为所求． 【详解】 11.（2026年甘肃省武威市中考）在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案．如图是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． (1)请判断图1是____________图形；（填“轴对称”或“中心对称”） (2)图是从图1选取的部分图案，其中看作由绕旋转中心顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可； （2）连接，，分别作，的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所求的旋转中心． 【详解】（1）解：将该图形绕点正六边形的中心旋转，能与原图形重合，故图1是中心对称图形． (2)解：如图，点O为所求旋转中心． 12.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)，是内不重合的两点，旋转后的对应点为，，判断线段与线段的关系． 【分析】（1）作点，，关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，由此可直接写出点的坐标； （3）根据成中心对称图形的特点求解． 【详解】(1) （2）解：已知点的坐标为，点与点关于原点对称， 则点的坐标为． （3）解：由题意得，线段与线段关于原点对称， 故，． 13.（2026年安徽省中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【详解】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 重难点四 旋转、中心对称性质简单综合 主要特征:旋转后同时求角、边长，结合中心对称性质等腰三角形等. 解题方法：先由旋转得全等，再同步得到等角、等边，分开求，不要跳步. 通用解题思路： 第一步：找旋转中心，圈出对应点；第二步：翻译性质：旋转 ⇒ 全等 ⇒ 对应边等、对应角等、旋转角相等；第三步：看问题：求角找三角形，求线段找相等线段；坐标直接套原点对称规律； 概念题抓定义关键词：旋转是任意角度，中心对称特指旋转180°. 1.（2026年广东省中考）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 故选A. 2.如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（     ） A． B． C． D． 【分析】连接，利用旋转性质证明，得出及，通过角度计算证明为等腰三角形，从而． 【详解】解：连接， ∵正方形边长为， ∴，，，． ， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵在延长线上， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 在中，． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 3.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 【分析】连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得： ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，正方形的边长为，点在边上，且，是边上的一个动点，连结，过点作交射线于点．将线段绕点顺时针旋转，得到线段过点作交延长线于点，连结，．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③的最小值为； ④当时，四边形的面积为3． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【分析】①根据正方形的性质和“”，易得，从而，再根据“同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行”可得，即可说明；②利用“”易得，从而，即，进而，即可说明；③设，则，根据勾股定理，可得，再根据二次函数的性质，即可求出最小值；④根据，计算求解即可． 【详解】解：过点作交于点， 正方形的边长为，， ，，， 四边形是矩形， ， ①， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 由旋转可得，， ， 四边形是平行四边形，故①正确； ②由旋转可得，，， ， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； ③设， ， ，则， 在中，， 当时，取得最小值，为， 的最小值为，故③正确； ④， ，， ， ， ， 当时，四边形的面积为4，故④错误． 综上所述，正确结论的序号有①②③． 5.如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 【分析】过点作，交延长线于点，作于点，先证出，则，，再得出，进而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，． 6．如图，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在的延长线上，边与相交于点．求证：． 【分析】根据旋转的性质得，再结合等腰三角形的性质得出答案即可． 【详解】证明：连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴ ， 即， 由旋转得， ∴． 7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)写出点A，B关于原点的对称点，的坐标； (2)画出四边形，求出其面积． 【分析】（1）根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标均互为相反数”即可求解； （2）描出点、，依次连接即可，根据计算即可． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ，； （2）解：图形如下， ，，， ， 又，， ． 8.如图，D为内一点，，，将线段绕着点A顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】（1）根据条件证明即可； （2）根据全等三角形的对应角相等及等腰三角形两底角相等即可计算求解． 【详解】（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由得， ，， ， ． 9.如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，利用等边三角形的性质得到，，再利用角度和差关系得到，从而得证结论； （2）由（1）的结论得到，根据已知条件证得是等边三角形，进一步利用勾股定理逆定理证得，从而可求出最终结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 10.【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【详解】（1），理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $