2.1.1 平均变化率&2.1.2 瞬时变化率（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修2（北师大版2019）

导 数 及 其 应 用 §1　平均变化率与瞬时变化率 第二章 1．1　平均变化率 1．2　瞬时变化率 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 学习目标 1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义． 2．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 x2－x1 [x1，x2] f(x2)－f(x1) 定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2] 的平均变化率＝__________________ 实质 函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝__________________)与自变量的改变量(Δx＝ ____________)之比，即＝ 作用 刻画函数值在区间____________上变化的快慢 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 0 某个值 瞬时变化率 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：4 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 答案：4 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 解 析 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 谢谢观看 返回导航 数学 选择性必修 第二册 北　 知识点一　平均变化率 天气学中如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设5时的气温是15 ℃，11时的气温是29 ℃，13时的气温是32 ℃，那么如何比较从5时到12时与从12时到13时气温变化的大小？ 平均变化率 (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝. [例1] 求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率． 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为 ＝＝ ＝＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7. 平均变化率的求法及注意点 (1)①求函数值的增量： Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②计算平均变化率： ＝. (2)要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0.若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. [练1] 已知函数y＝(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是________． 答案：x0＋Δx　 ＝＝x0＋Δx. 知识点二　瞬时变化率 我们知道平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢．在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度．比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度．如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？ 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为 ＝＝. 如果当Δx趋于__时，平均变化率趋于______，那么这个值就是f(x)在点x0的__________．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢． (1)平均变化率与瞬时变化率的关系 ①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． (2)“Δx趋于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小 的正数，且始终Δx≠0. [例2] 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3，故物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. [变式探究] 若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度， ∵＝＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1，故物体的初速度为1 m/s. 求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； (3)将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率． [练2] 求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率． Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2. ∴＝＝7＋3Δx. ∴当Δx趋于0时，＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7. ∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. ◎随堂演练 1．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________． 因为Δy＝(22＋2)－(12＋1)＝4， 所以函数y＝x2＋x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为＝＝4. 2．一个物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为________． 由条件可得：＝＝4＋Δt，当Δt趋于0时，趋于4，所以物体在t＝2时的瞬时速度为4. $$