2.5 简单复合函数的求导法则课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.5 简单复合函数的求导法则 第二章 导数及其应用 作者编号：、32200 理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则； 能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数. 学习目标 作者编号：、32200 情境：假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 课题探究 作者编号：、32200 复合函数 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 概念生成 作者编号：、32200 问题1：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的： (1)； (2)； (3)； (4). () () () () 课题探究 作者编号：、32200 问题2：已知. (2)分别，并总结它们之间的关系. (2)， 所以 . 又因为，所以 . 课题探究 作者编号：、32200 一般地，如果函数与的复合函数为 ， 则可以证明，复合函数的导数与之间的关系为 这一结论也可以表示为 即：y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 复合函数求导法则 . . 概念生成 作者编号：、32200 解：(1)函数h(x)可以看作函数和的复合函数，根据复合函数求导法则，因此 =5. (2)函数可以看成是由和的复合函数，因此 =. 【例1】求下列函数的导数 (1)h(x) (2)f(x) (3); (4) 课题探究 作者编号：、32200 (3); (4) (3)函数可以看成是由和的复合函数，因此 = =. (4)函数可以看成是由和的复合函数，因此 = =cosu. 课题探究 作者编号：、32200 方法归纳 求复合函数导数的步骤 课题探究 作者编号：、32200 【例2】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ ，则在t＝40 min时的降雨强度为( ) A.20 mm B.400 mm D 课题探究 作者编号：、32200 【例3】若曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，求a的值. 解：令y=f(x)，则曲线y=eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)， 又因为切线与直线x+2y+1=0垂直，所以f'(0)=2. 因为f(x)=eax，所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax， 所以f'(0)=ae0=a， 故a=2. 课题探究 作者编号：、32200 结合以下关键词谈谈你的收获： 1.复合函数； 2.复合函数的导数法则； 3.复合函数求导法则的综合应用. 课后小结 作者编号：、32200 1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( 　) A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2 C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1，y＝tn 2.函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x AD B 当堂检测 作者编号：、32200 3.(多选)下列结论中不正确的是( 　) ACD 当堂检测 作者编号：、32200 4.已知函数f (x)在x＝1处的导数为3，则f (x)的解析式可能为(　　) A.f (x)＝(x－1)3＋3(x－1) B.f (x)＝2(x－1) C.f (x)＝2(x－1)2 D.f (x)＝x－1 5.若曲线f(x)=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 .  A (-ln 2，2) 当堂检测 作者编号：、32200 C. mm/min D. mm/min A.若y＝cos，则y′＝－sin B.若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C.若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D.若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x $$