精品解析：江苏省徐州市第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

徐州二中2024-2025下学期高二数学期中考试试卷 一、单选题 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】因为，则，， 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：C 2. 在学校读书节上，1名同学要从8本不同图书中任选2本，不同的选法种数为（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 【答案】A 【解析】 【分析】应用组合数求从8本不同的图书中任选2本即可. 【详解】由题意，从8本不同的图书中任选2本有种. 故选：A 3. 缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，利用条件概率公式计算可得. 【详解】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件， 则，， 所以， 即在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为. 故选：B 4. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意可得，即可求出，从而求出切点坐标，再代入切线方程计算可得. 【详解】由，则，设切点为，则，解得， 所以切点为，则，解得. 故选：C 5. 中小学每年对在校生实施健康体检.据统计，某校学生大约的人患色盲，而该校男同学人数约占总学生数的，这些人的色盲率约为.现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记随机抽一位同学是男同学为事件，随机抽一位同学是女同学为事件，患色盲为事件，根据全概率公式计算可得. 【详解】记随机抽一位同学是男同学为事件，随机抽一位同学是女同学为事件，患色盲为事件， 依题意可得，则， 又，， 所以，即，解得， 即现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为. 故选：D 6. 将4个不同小球放入编号为，，的三个盒子中，不同的放法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】依题意每个小球均有种放法， 按照分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为. 故选：B 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，则在上恒成立，结合指数函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 8. 对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（ ） 参考数据：若随机变量，则，. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间的概率约为. 故选：A 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD 10. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二项分布期望、方差的求法求、，再应用期望、方差的性质求、即可. 【详解】由题设，，A、C对； ，，B错，D对. 故选：ACD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法及对应等式求导依次判断各项的正误. 【详解】A：令，则，对； B：令，则， 令，则， 所以，对； C：令，则，故，错； D：将等式两侧同时求导，得， 令，得，即，对. 故选：ABD 三、解答题 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 则表中__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故答案为： 13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加学校“强国有我”演讲比赛，并依次出场.已知甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同的出场方式共有_________种. 【答案】 【解析】 【分析】先安排甲在中间三个位置中的一个，再将其余四个同学全排列即可. 【详解】因为甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，所以甲有种出场分式， 再将其余四个同学排到四个位置，则有种方法， 按照分步乘法计数原理可知不同出场方式共有种. 故答案为： 14. 若曲线有两条过坐标原点切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 四、解答题 15. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64． （1）求该二项式及其展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1），常数项为15； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数得，即可二项式，进而写出其展开式的通项公式，即可求常数项； （2）由组合数的性质求展开式中系数最大的项． 【小问1详解】 由题意，可得，所以二项式为， 则二项式通项公式得，， 令，则，则常数项为 【小问2详解】 由（1）知，当时，系数最大项为. 16. 某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题演讲. （1）若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻的不同排法种数； （2）若从6名同学中随机选出3人， （i）求恰有1名男生的概率； （ii）求至少有1名男生的概率. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）因为男生互不相邻，故使用捆绑法求解即可； （2）（i）先得出从2名男生和4名女生中随机选出3人参加比赛的方法数，再求所选3人恰有1名男生的方法数，用古典概型的概率求解. （ii）先求选3人中没有男生的概率，再利用对事件的概率求所选3人中至少有1名男生的概率. 【小问1详解】 分2步进行： ①将2名男生看成一个整体，考虑2人间的顺序，有种情况， ②将这个整体与4名女生全排列，有种情况， 故2名男生相邻的排法有种； 【小问2详解】 （i）从6人中选3有共有种 所选3人恰有1名男生有种 所选3人恰有1名男生的概率； （ii）所选3人中没有男生的概率为 所选3人中至少有1名男生的概率为. 17. 已知函 （1）若为的一个极值点，求的值； （2）若，求的极值； （3）若函数的图象关于点对称，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，求出参数的值，再检验即可； （2）求出函数的导函数，即可得到单调区间，从而求出函数的极值； （3）依题意可得，从而得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意，解得， 此时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； 【小问2详解】 当时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递增， 所以在处取得极大值，即， 在处取得极小值，即； 【小问3详解】 因为，则， 又函数的图象关于点对称， 所以，即， 即， 所以，解得. 18. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，并采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”的规则.根据以往比赛的数据分析，每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）求进行3局比赛决出胜负的概率； （2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望； （3）在甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （3）记甲最终获胜为事件，进行了局比赛为事件，利用条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 若进行3局比赛决出胜负，则甲连胜局或乙连胜局， 所以进行3局比赛决出胜负的概率； 【小问2详解】 依题意的可能取值为，， 所以，， 故的分布列为： 1 2 所以． 【小问3详解】 记甲最终获胜为事件，进行了局比赛为事件， 则， ， 所以，即在甲最终获胜的条件下，进行了局比赛的概率为. 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）在R上单调递增； （2）（i）；证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【小问1详解】 当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； 小问2详解】 （i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州二中2024-2025下学期高二数学期中考试试卷 一、单选题 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 在学校读书节上，1名同学要从8本不同的图书中任选2本，不同的选法种数为（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 3. 缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 中小学每年对在校生实施健康体检.据统计，某校学生大约的人患色盲，而该校男同学人数约占总学生数的，这些人的色盲率约为.现从女同学中任选一人，则此人患色盲的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将4个不同的小球放入编号为，，的三个盒子中，不同的放法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对某市数学考试成绩数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（ ） 参考数据：若随机变量，则， A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 则表中__________. 13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加学校“强国有我”演讲比赛，并依次出场.已知甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同的出场方式共有_________种. 14. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 四、解答题 15. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64． （1）求该二项式及其展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 16. 某校高二年级有2名男生和4名女生参加“我命由我不由天”主题演讲. （1）若6名同学站成一排合影留念，求2名男生相邻不同排法种数； （2）若从6名同学中随机选出3人， （i）求恰有1名男生的概率； （ii）求至少有1名男生的概率. 17. 已知函 （1）若为的一个极值点，求的值； （2）若，求的极值； （3）若函数图象关于点对称，求的值. 18. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，并采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）”规则.根据以往比赛的数据分析，每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）求进行3局比赛决出胜负的概率； （2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望； （3）在甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率. 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$