精品解析：湖南省张家界市永定区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

永定区2025年春季学期八年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A. B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 2. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 3. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线，交边于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知：，，，动点从点出发．沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当以为腰的等腰三角形时，的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 5或8 D. 无解 6. 如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 8. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，若的长为10米，则A，B间的距离是（ ） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 9. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，连接AC、BD，E是AC的中点．若AC=10，BD=8，则△BDE的面积是（　　） A. 40 B. 48 C. 24 D. 12 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，则的度数为__________． 12. 如图，在中，，，，则的长度为________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝_____． 14. 如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________． 15. 一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为________. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积为___________. 17. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是______________． 18. 如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为______________． 三、解答题（共66分） 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 22. 如图，在中，，，平分交于点E，于点D． （1）求证： （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 24. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得． （1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号） （2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 26. 综合与探究： 在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G． （1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长； （2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长； （3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永定区2025年春季学期八年级期中教学质量监测试卷 数 学 考生注意：本卷共三道题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组为（ ） A. B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； ，故是勾股数，符合题意； 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：． 2. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 3. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线，交边于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及其尺规作图，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由作图方法可知平分，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，已知：，，，动点从点出发．沿射线以的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当以为腰的等腰三角形时，的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 5或8 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再分两种情况：当时，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 为的腰， 当时，如图， ， 此时， ， 当时，如图， ， 此时， ， ， 综上所述：的值为：5或8， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解决此题的关键． 6. 如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握运用“”证明直角三角形全等成为解题的关键. 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等即可证明结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 7. 已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，利用正多边形的外角和为，即可解答，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数是， 故答案为：C． 8. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，若的长为10米，则A，B间的距离是（ ） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用；由中位线定理得，即求解． 【详解】解：的中点分别为M，N，且的长为10米， 是的中位线， 米； 故选：B． 9. 如图，在中，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质和等角对等边．根据平行四边形的性质可得，，，根据角平分线的性质，则，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10. 已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，连接AC、BD，E是AC的中点．若AC=10，BD=8，则△BDE的面积是（　　） A. 40 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过E作EF⊥BD于F．由直角三角形斜边上的中线的性质得出BE、DE的长，再由等腰三角形的性质得到BF的长，由勾股定理得出EF的长，即可得出结论． 【详解】过E作EF⊥BD于F． ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴△ADC和△ABC是直角三角形． ∵E是AC的中点，∴DE=AC=5，BE=AC=5，∴DE=BE． ∵EF⊥BD，∴BF=DF=BD=4，∴EF=，∴△BDE的面积=BD•EF=×8×3=12． 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线的性质得出DE=BE． 二、填空题（共24分） 11. 如图，在中，，则的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．根据平行四边形的对角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理，熟记性质及定理是解题关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，先利用角平分线的性质求得DE的长，再利用30°角的直角三角形的性质求出BD的长，问题即得解决. 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2， ∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝4， ∴BC＝CD+BD＝6. 故答案为6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和直角三角形的性质，属于常考题型，作DE⊥AB于E是解题的关键. 14. 如图，设点是平行四边形的边上任意一点，设的面积为，的面积为，的面积为，则 ______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 过作，则、、上的高相同，根据平行四边形的性质并结合题意可得，然后分别表示出三角形的面积，最后进行变形即可解答． 【详解】解：如图，过作， ∵点是平行四边形的边上任意一点， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 15. 一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，，，由勾股定理可得，AC=8，再根据平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】∵， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，，， 由勾股定理可得，AC=8， ∴平行四边形ABCD的面积为：BC×AC=6×8=48. 故答案为48. 【点睛】本题考查了勾股定理及平行四边形的性质，利用勾股定理求得AC=8是解决问题的关键. 17. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是______________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 18. 如图，将边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形，……，按此方式依次操作，则第2025个等边三角形的边长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、正六边形的性质、平行四边形的判定和性质，延长与第1个等边三角形的边相交于点，可得，故，则，可以发现下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的 ，则第个等边三角形的边长为，可得第2025等边三角形的边长．作出辅助线找到下一个等边三角形的边长与前一个的等边三角形的边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，延长与第1个等边三角形的边相交于点， 是正六边形， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， 分别为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的， 同理下一个等边三角形的边长是前一个的等边三角形的边长的， 第个等边三角形的边长为， 所以，第2025等边三角形的边长为：． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． 【小问2详解】 解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理， （1）由平行四边形的性质可得，然后证明出是的中位线，即可得到； （2）根据三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 证明：因为四边形是平行四边形， 所以 又因为E是的中点， 所以是的中位线， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）是的中位线， 所以． 21. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． ∴， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明，再根据证明可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，在中，，，平分交于点E，于点D． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）证明为等腰三角形即可解答． 【小问1详解】 解：，平分，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵, , , ， ． 23. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【小问1详解】 证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 24. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得． （1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号） （2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离． 【答案】（1）人工湖两端点之间的距离为 （2）两点间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理： （1）连接，过点作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）设，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，过点作，则由题意，可知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 答：人工湖两端点之间的距离为； 【小问2详解】 设，则：， 在中，， 在中，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； ∴ 答：两点间的距离为． 25. 如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）；；或 （2）当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【小问1详解】 解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； 【小问2详解】 解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 26. 综合与探究： 在矩形中，，，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，点C的对应点为点G． （1）如图1，当点F与点B重合，点G落在上时，求的长； （2）如图2，当点E是的中点，且时，连接，求的长； （3）如图3，当，点G恰好落在上时，延长交于点H，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质可得、，由折叠的性质，得，在中，运用勾股定理求解即可； （2）由矩形的性质可得、，，由点是的中点可得，结合折叠的性质可推出是正方形，得到，推出，然后根据勾股定理求解即可； （3）如图，连接，，根据题意可求出，在中，由勾股定理得到，由折叠的性质得、，推出、，进而得到，可证明得到，设，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由折叠的性质，得，． ， ， 四边形是矩形． 又∵， 四边形是正方形． ， ， 在中，由勾股定理，得． 【小问3详解】 解：如图，连接，， 四边形是矩形， ，，． ， 在中，由勾股定理，得， 由折叠的性质，得，， ，， ． 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，解得：， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $