精品解析：河南省郑州市桐柏一中2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

2024~2025学年下学期期中考试 七年级数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分100分。 2．考试时间：90分钟。 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 成语是汉语言文化的瑰宝，它承载着数千年的历史文化内涵．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 水到渠成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．解题时根据必然事件、不可能事件、随机事件的特点，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意； B、守株待兔是随机事件，符合题意； C、瓮中捉鳖是必然事件，不符合题意； D、水到渠成是必然事件，不符合题意； 故选：B． 2. 石墨烯具有优良光学性能和热传导性能，以石墨烯为材料制作的智能温控加热羽绒服在北京冬奥会上首次使用，它能持续吸收人体辐射热，并释放远红外热量．石墨烯释放的远红外线波长约为米，将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法求解即可； 【详解】解：； 故选：B 3. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，解题的关键是正确理解对顶角的定义—如果两个角由公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．解题时，根据对顶角的定义，结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键． 根据相关计算法则计算即可求解； 【详解】解：A、，该选项错误； B、，该选项正确； C、，该选项错误； D、，无法计算，该选项错误； 故选：B 5. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解：， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 6. 已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，解题的关键是掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题根据三角形的三边关系可得不等式，计算后即可判断． 【详解】解：， ，， 第三边长满足：， 得， 第三边不可能为， 故选：A． 7. 如图，，，则、、之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 作，，可得，，进而求解； 【详解】解：作，，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C 8. 如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键； 根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， ， 的补角的大小为； 故选：B 9. 下列说法正确的有（ ）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质，正确把握相关知识是解题的关键． 分别利用对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质分别分析得出即可． 【详解】解：①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故①说法错误，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②说法错误，不符合题意； ③平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确，符合题意； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故④说法错误，不符合题意； ⑤平面内，两条直线的位置关系有两种，平行、相交，故⑤说法错误，不符合题意； ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故⑥说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有③，共一个； 故选：A 10. 已知，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. -3 D. ±3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的变形与求解，涉及完全平方公式、变量替换以及方程求解能力，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察到两个平方项的结构对称，通过变量替换简化表达式，转化为关于新变量的二次方程，求解后，对进行变形，即可求解． 【详解】解：设，则原式可变形为： ， 解得：， 即， ， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键． 此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短的性质． 【详解】解：在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 13. 某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有若干张形状、大小完全相同的卡片．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录卡片上的标记后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到特定标记卡片的次数，并计算出相应的频率，绘出的统计图如下所示．已知箱子里共有8张卡片，那么箱子中带有该特定标记的卡片最可能是________张． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由频率估计概率，解题关键是熟练掌握由频率估计概率的方法． 根据频率估计概率，然后根据概率公式列出算式，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴箱子中带有该特定标记卡片最可能是3张． 故答案为：3． 14. 利用平方差公式计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式以及数字变化规律，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键； 根据平方差公式即可求解； 【详解】解： 故答案为： 15. 在直角三角形中，，，点分别在上，将沿翻折，得到，的平分线交直线于点，当与平行时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，角平分线的定义，由折叠得，，进而由平行可得，即得，得到，最后根据角平分线的定义即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共55分。 16. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）6 （2），88 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，整式运算中的化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先进行负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘法公式和单项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项，然后代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ； 当，时，原式． 17. 试用几何图形直观地验证平方差公式． 【答案】验证过程见解析 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，从边长为的大正方形中剪去边长为的小正方形，边保持平行，剩下的图形可以分割成个大小相等的等腰梯形（左图），然后拼成一个平行四边形（右图），分别求出两个图形阴影部分的面积，即可得出结论．正确发现几何图形中所隐含的平方差公式是解题的关键． 【详解】解：如图： 左图阴影部分为从边长为的大正方形中剪去边长为的小正方形后剩下的部分，则阴影部分的面积为：， 右图中的平行四边形的底边长为，高为，则面积为：， ∵从边长为的大正方形中剪去边长为的小正方形，边保持平行，剩下的图形可以分割成个大小相等的等腰梯形（左图），然后拼成一个平行四边形（右图）， ∴左图阴影部分的面积与右图阴影部分的面积相等， 即：． 18. 如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： （1）写出测量方案并画出示意图； （2）揭示其中的数学道理． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，得出是解题关键． （1）重新构造三角形，使，进而得出即可． （2）根据全等三角形的判定和性质求解； 【小问1详解】 解：如图所示：在下方找一点O，连接，并延长使，连接，并延长使，进而测量的长度，即可求解； 【小问2详解】 解：在和中 ∵， ， ， 量出长即可． 19. 如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题与角平分线有关的计算，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：根据角平分线的定义，得到，等角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏（扑克牌有四种花色，每种花色有13张）；小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏· （1）若小明已经摸到的牌面为2，则小明获胜的概率为 ，小颖获胜的概率为 （2）若小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明和小颖获胜的概率分别是多少? 【答案】（1）0，；（2）小明获胜的概率是，小颖获胜的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据不可能事件的定义、简单事件的概率计算公式即可得； （2）小明获胜时，小颖抽取的牌面需小于5；小颖获胜时，小颖抽取的牌面需大于5，再分别利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】（1）因为小明已经摸到的牌面为2，是最小的牌面 所以小明不可能获胜，即小明获胜概率为0 小颖从剩余的牌中任意抽取一张的结果共有种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，小颖抽取的牌面大于2的结果共有种 则小颖获胜的概率为 故答案为：0，； （2）小颖从剩余的牌中任意抽取一张的结果共有种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，小颖抽取的牌面小于5的结果共有种，小颖抽取的牌面大于5的结果共有种 则小明获胜的概率为 小颖获胜的概率为 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率为． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，依据题意，正确列出事件的可能的结果种数是解题关键． 21. 我们已经知道，对于形如的二次三项式，可以写成的形式．但对于二次三项式，就不能直接写成完全平方的形式了．对此，我们可以这样解决：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． （1）如果是完全平方式，则________． （2）二次三项式，配方后可变形为________，该式子的值________（填“”“ ”或“”） （3）如图（1）（2），正方形的边长为，面积为，长方形的长和宽分别为和，面积为，试比较和的大小． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，多项式运算，熟练掌握对完全平方公式的理解是借提到关键； （1）根据是完全平方式，即可求解； （2）将式子变形为，进而求解； （3）分别表示出，，进而计算的正负情况，求解即可； 【小问1详解】 解：如果是完全平方式， 则； 故； 故答案为： 【小问2详解】 解：； ， ； 故答案为：； 小问3详解】 解：； ； ； ； ， 故 故； 22. （1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点M，使，连接，可判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点M，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论； （3）在延长线上取一点，使，连接，先判定，得出，，，再判定，可得出，据此得出结论． 【详解】解：（1）延长到点M，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），证明： 如图所示，延长到点M，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图所示，在延长线上取一点，使，连接， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年下学期期中考试 七年级数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分100分。 2．考试时间：90分钟。 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1. 成语是汉语言文化的瑰宝，它承载着数千年的历史文化内涵．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A 水中捞月 B. 守株待兔 C. 瓮中捉鳖 D. 水到渠成 2. 石墨烯具有优良的光学性能和热传导性能，以石墨烯为材料制作的智能温控加热羽绒服在北京冬奥会上首次使用，它能持续吸收人体辐射热，并释放远红外热量．石墨烯释放的远红外线波长约为米，将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，，，则、、之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的有（ ）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线垂线段，叫做点到这条直线的距离 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 10. 已知，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. -3 D. ±3 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是__________． 12. 若，则________． 13. 某抽奖活动设置了一个不透明的箱子，箱子里放有若干张形状、大小完全相同的卡片．每次从箱子中随机抽取一张卡片，记录卡片上的标记后放回箱子并摇匀，进行大量重复抽取试验，统计抽到特定标记卡片的次数，并计算出相应的频率，绘出的统计图如下所示．已知箱子里共有8张卡片，那么箱子中带有该特定标记的卡片最可能是________张． 14. 利用平方差公式计算：________． 15. 在直角三角形中，，，点分别在上，将沿翻折，得到，的平分线交直线于点，当与平行时，______． 三、解答题：本题共7小题，共55分。 16. 计算 （1） （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 试用几何图形直观地验证平方差公式． 18. 如图，有一座锥形小山，小明想用绳子测量小山两端A，B的距离，但绳子无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识帮助小明，回答下列问题： （1）写出测量方案并画出示意图； （2）揭示其中数学道理． 19. 如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 20. 小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏（扑克牌有四种花色，每种花色有13张）；小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏· （1）若小明已经摸到的牌面为2，则小明获胜的概率为 ，小颖获胜的概率为 （2）若小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明和小颖获胜的概率分别是多少? 21. 我们已经知道，对于形如的二次三项式，可以写成的形式．但对于二次三项式，就不能直接写成完全平方的形式了．对此，我们可以这样解决：．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． （1）如果是完全平方式，则________． （2）二次三项式，配方后可变形为________，该式子的值________（填“”“ ”或“”） （3）如图（1）（2），正方形边长为，面积为，长方形的长和宽分别为和，面积为，试比较和的大小． 22. （1）问题背景：如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且．试探究图1中、的数量关系．小明同学认为可以用如下方法解决这个问题：延长到点M，使，连接．先证明，再证明，则可得、的数量关系是________________． （2）初步探索：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、上点，且，试问、的数量关系，并证明． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若E、F分别是、延长线上的点，请直接写出、、满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$