微专题03 函数图象的高级应用（5大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题03 函数图象的高级应用 【题型归纳目录】 题型一：利用图象研究函数的性质 题型二：利用图象研究不等式 题型三：利用图象比较大小 题型四：利用图象研究方程的根 题型五：双图象问题 【知识点梳理】 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【典型例题】 题型一：利用图象研究函数的性质 【典例1-1】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A选项，令，则，满足为偶函数， 但的图象如下，不关于直线对称，A错误； BD选项，为偶函数，故为奇函数， 即，即， 故，故点为曲线的对称中心， 故，则，故B，D正确； C选项，由题意得，令，则， 由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知， ，则，又，故，故C正确. 故选：BCD. 【典例1-2】（多选题）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 【答案】AC 【解析】是奇函数，其图象的对称中心为，将的图象向右平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得的图象， 因此图象的对称中心是，A正确，B错误； 若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将其图象向左平移个单位长度得的图象， 的图象关于直线，即轴对称，则为偶函数，反之也成立，C正确，D错误． 故选：AC 【变式1-1】（多选题）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．的图象关于原点对称 C．若有三个不同零点，则实数m的范围是 D．在上单调递减 【答案】ACD 【解析】函数，得， 对于A，，而，则切线方程为，即，故A正确； 对于B，，则的图象关于原点不对称，故B错误； 对于C，当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又当时, ，当时, ， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 作出函数的大致图象如下： 则当直线与函数图象有3个交点时，，故C正确； 对于D，由对C分析知在上单调递减，故D正确． 故选：ACD. 【变式1-2】（多选题）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．存在实数使得为偶函数 B．的导函数满足 C．函数存在两个极小值点 D．方程存在个不同的实根且 【答案】AC 【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，A正确； 由选项知，所以，B错误； ，， 由且，得，由，得， 由，得，所以有两个极小值点，C正确； 令，则，于是或，当时， 由得存在两个不同实根，，此时； 当时，由，知存在异于，的两个实根，且， 所以方程存在个不同的实根且，D错误． 故选：AC． 【变式1-3】（多选题）（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】BCD 【解析】的定义域为，值域为，A错误，B正确． 是奇函数，C正确． 当时，，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确． 故选：BCD 题型二：利用图象研究不等式 【典例2-1】已知函数那么不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若， 当时，；当时，； 当，令，整理可得， 且，可得，即， 分别作出和的图象， 结合图象可知不等式的解集为. 故选：C. 【典例2-2】定义：设不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称是最优解.若关于的不等式有最优解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可转化为， 在同一平面直角坐标系中分别作出函数，的图象， 如图所示： 易知当时不满足题意． 当时，要存在唯一的整数，满足， 则即 解得． 当时，要存在唯一的整数，满足， 则即 解得． 综上，实数m的取值范围是. 故选：D. 【变式2-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得的图象关于直线对称， 又，得，解得， 由在上单调递减，可知在上单调递增， 画出的大致图象如下所示， 结合图象及可得或， 解得或， 不等式的解集为. 故选：D. 【变式2-2】（2025·河南郑州·二模）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【解析】函数，如图所示 当时，， 由于关于的不等式恰有1个整数解 因此其整数解为3，又 ∴，，则 当时，，则不满足题意； 当时， 当时，，没有整数解 当时，，至少有两个整数解 综上，实数的最大值为 故选：D 题型三：利用图象比较大小 【典例3-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 【典例3-2】函数的大致图象如图所示，则a，b，c大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 由得， 结合图象知函数在上递增，在递减， 所以且，所以， 又过点， 所以，即， 所以 故选：A 【变式3-1】若函数的两个零点是，，则 A． B． C． D．无法确定和的大小 【答案】C 【解析】 由题意，令，可得，则与的图象有2个交点， 不妨设， 作出两个函数的图象，如图所示， 所以，即， 所以，所以，所以， 时，同理可得. 故选C． 【变式3-2】（2025·山西·二模）、、依次表示函数的零点，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，，，为直线分别与曲线的交点横坐标，从图像可知. 故选：D. 【变式3-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得． 由，得，， 作函数，，的图象，再作直线． 变换m的值发现：，，均能够成立， D不可能成立. 故选：D． 题型四：利用图象研究方程的根 【典例4-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时 令，解得，当时， 当时，令，解得或， 令，解得或， 函数的图象如下所示： 因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以， 不妨令，则，且与关于对称，所以， 又，即，所以，即， 所以， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以； 故选：A 【典例4-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则有四个不同的解， 因为， 所以为偶函数，且当时，为增函数， 所以当时，为减函数， 所以，即， 当时，， 则， 令，解得， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 又， 作出时的图象，如图所示： 所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为， 作出图象，如下图所示： 此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意. 综上实数m的取值范围为. 故选：A 【变式4-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：为单调函数， 当时，单调递减; 故当时，也是单调递减，故 要确保在R上单调递减，则， 解得：， 所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为 当时，， 又在上单调递减，， 所以， 即在上的值域为 令，则或3， 即或， 要使得有4个不同的实数解， 则， 解得： 综上，实数a的取值范围为：，即 故选：C. 【变式4-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，令，得， 当时，，递增；当时，，递减； 所以当时，取得极大值，图象如图所示： 方程，即为， 解得 或 ， 由函数的图象知： 只有一个解， 所以有两个解， 所以 ，解得， 故选：A 题型五：双图象问题 【典例5-1】已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 【典例5-2】已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据图象，当时，即，，，其中，， 结合图象，可以看出共有个交点，所以方程有个根，故①正确； 时，，，其中，， 结合图象，可观察共有个交点，所以方程有个根，故②错误； 同理方程有且仅有个根，故③正确；方程有且仅有个根，故④正确； 故选：B. 【变式5-1】已知定义在上的函数 和的图象如图 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的序号是 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解析】根据图象可得 ， ①由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值， 故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故①正确． ②由于满足方程的有2个不同的值，从图中可知， 一个的值在上，令一个的值在上． 当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解．故满足方程的值有4个，故②不正确． ③由于满足方程 的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0， 一个，一个． 而当 时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值； 当时，也只对应一个值． 故满足方程的值共有5个，故③正确． ④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值， 故满足方程 的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④正确． 故选 D． 【变式5-2】已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图1可知为偶函数，为奇函数， A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错. C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错. D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错. B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合. 故选：B 【专题训练】 1．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然当时，，不满足条件； 当时，易知，当时，，于是， 而由，可得，即，所以也不满足条件， 当时，函数， 因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方， 如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方， 只要即可，即， 化简可得，解得， 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故选：C. 2．（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， 设，则恒成立， 作出函数与的大致图象， 由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面， 由图象可知当与相切与点时为一个临界值， 把代入，可得， 由，可得或(舍去)， 当过的直线经过时为另一个临界值，此时， 所以. 故选：C. 3．（2025·浙江湖州·模拟预测）已知函数，满足且，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是上凹函数，所以， 因此． 故选：A. 4．若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则， 由，得，， 作函数的图象，同时作出， 如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立. 故选：B. 5．（2025·高三·广东江门·开学考试）定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解:由题知, 记, 所以图象为图象靠下的位置, 因为,有两个根,分别为或, 若至少有3个不同的解, 则有一个解或者两个解, 即, 解得或, 当时,, 所以对称轴为, 若至少有3个不同的解, 画大致图象如下: 根据图象则需满足,即, 解得; 当时,, 所以对称轴为, 此时大致图象如下: 根据图象则需满足,即, 解得,又因为, 故, 当时,, 解得根为-1,因为的根为-1,1, 此时的根为-1,1, 不满足有三个根,故舍去, 综上: . 故选:B 6．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的大致图象，如图所示， 令，则可化为 ， 则或， 则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个， 由图可得函数的图象与直线的交点个数为2， 所以的图象与直线的交点个数为3个， 即此时， 解得， 故选：C. 7．（2025·高三·广西玉林·期中）设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程在内有两个不同实数根， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为. 故选：B 8．（多选题）（2025·湖北鄂州·一模）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转， 根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应， 逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点， 所以函数的图象与任一斜率为1 的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于A，的图象与直线都只有一个交点，故A正确； 对于B，的图象与直线有两个交点，故B错误； 对于C，，，， 所以的图象，在点处的切线方程为， 的图象与直线都最多只有一个交点，故C正确； 对于D，的图象与直线都只有一个交点，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选题）（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 【答案】BD 【解析】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 10．（多选题）（2025·山西·二模）若，则函数的函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【解析】①当时，，其图象为指数函数的一部分； ②当为正的奇数时，定义域为，， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取得极小值，此时是负数； 4个选项中没有与以上两种情况对应的图象. ③当为正的偶数时，定义域为，， 可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且时，，则，且，故B选项正确； ④当为负的奇数时，定义域为，， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且时，，则， 时，，则，故C选项正确； ⑤当为负的偶数时，定义域为，， 可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且时，，则，故D选项正确. 故选：BCD 11．（多选题）（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 【答案】BCD 【解析】对于A，，由得，由得； ∴在上单调递减；在上单调递增.故在处取极小值，则的极小值点为.故A不正确； 对于B，由A知可知单调性，极小值为，又， 故时，，当时，，； 时，.时，，据此可作图象如图， 则方程有两解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.故B正确； 对于C，因为由向右平移3个单位得到，所以， 由A知在上单调递减；在上单调递增.故，即.故C正确； 对于D，由，得，而，故，解得.故D正确. 故选：BCD. 12．（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象为中心对称图形 B．的图象上一定存在关于直线对称的两点 C．若，则一定存在四个顶点都在的图象上的菱形 D．若，则四个顶点都在的图象上的正方形有两个 【答案】ACD 【解析】对于A，，令， 将的图象向右平移1个单位长度可得的图象． ∵的定义域为，， ∴易知为奇函数，的图象关于点中心对称， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，当时，，故单调递增， 所以的图象上不存在关于直线对称的两点，故B错误； 对于C，该命题等价于“若，则一定存在四个顶点都在的图象上的菱形”， 过原点作两条相互垂直的直线和， 联立可得，解得或， 联立可得， 当，即时，可解得或， 此时直线与的图象有三个交点： ， 直线与的图象有三个交点： ， 除了坐标原点以外，根据对称性，可知另外四个交点能作为菱形的顶点，故C正确； 对于D，根据C选项，要使菱形是正方形，需构成菱形的四个顶点到坐标原点的距离相等， 则和要满足， 则， 即，整理得， 所以， 所以， 当时，可得，其中， 解得或， 即或， 又，解得或，所以满足条件的有两个， ∴若，则四个顶点都在的图象上的正方形有两个，故D正确． 故选：ACD． 13．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小正周期为4 C． D．函数的图象与直线在上有且仅有4个交点 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的图象关于直线对称，且，所以，所以A正确； 对B，由题意可知，，所以函数的图象关于点对称， 函数的图象如图所示，所以函数不是周期函数，所以B错误； 对于C，由函数的图象关于点对称，得， 注意到，又的图象关于直线对称， 则，； 对于D，注意到直线与函数的图象都过点， 设，因， 所以直线为函数图象的一条割线， 又因为，， 则，使， 即函数的图象与直线在上有且仅有2个交点， 由对称性可知其图象在上有且仅有2个交点，在上没有交点， 所以函数的图象与直线在上有且仅有4个交点，所以D正确. 故选：ACD 14．（多选题）（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【解析】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 15．已知函数和在的图象如下图所示： 则方程有且仅有 个根． 【答案】 【解析】由图可知有三个根，设为，，， 且，,. 令，由图象可知方程有两个根， 令，由图象可知方程有两个根， 令，由图象可知方程有两个根， ∴有个根． 故答案为： 16．（2025·高三·浙江杭州·期中）已知函数和在的图像如下图所示： 则方程有且仅有 个根，方程有且仅有 个根． 【答案】 6 5 【解析】由题意得： 由图可知有三个根，设为令 令，由图像可知方程有两个根； 令有两个根； 令有两个根. ∴ 有6个根 同理可令，由图像可知方程有一个根； 令有三个根； 令有一个根. ∴ 有5个根 故答案为；6；5 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 函数图象的高级应用 【题型归纳目录】 题型一：利用图象研究函数的性质 题型二：利用图象研究不等式 题型三：利用图象比较大小 题型四：利用图象研究方程的根 题型五：双图象问题 【知识点梳理】 1、直接画 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）． 2、图像的变换 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）． 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换． ⑤函数与的图像关于对称． （3）伸缩变换 ①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到． ②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到． 【典型例题】 题型一：利用图象研究函数的性质 【典例1-1】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【典例1-2】（多选题）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 【变式1-1】（多选题）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．的图象关于原点对称 C．若有三个不同零点，则实数m的范围是 D．在上单调递减 【变式1-2】（多选题）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．存在实数使得为偶函数 B．的导函数满足 C．函数存在两个极小值点 D．方程存在个不同的实根且 【变式1-3】（多选题）（2025·辽宁辽阳·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在上单调递减 题型二：利用图象研究不等式 【典例2-1】已知函数那么不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】定义：设不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称是最优解.若关于的不等式有最优解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河南郑州·二模）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 题型三：利用图象比较大小 【典例3-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】函数的大致图象如图所示，则a，b，c大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】若函数的两个零点是，，则 A． B． C． D．无法确定和的大小 【变式3-2】（2025·山西·二模）、、依次表示函数的零点，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用图象研究方程的根 【典例4-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：双图象问题 【典例5-1】已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【典例5-2】已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知定义在上的函数 和的图象如图 给出下列四个命题： ①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根； ③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根； 其中正确命题的序号是 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式5-2】已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 【专题训练】 1．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江湖州·模拟预测）已知函数，满足且，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·广东江门·开学考试）定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·广西玉林·期中）设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2025·湖北鄂州·一模）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·广东佛山·二模）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 10．（多选题）（2025·山西·二模）若，则函数的函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   11．（多选题）（2025·四川·二模）函数，向右平移3个单位得到，下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为 B．当有两解时， C．若，，则 D．若，那么，且有且仅有一解 12．（多选题）（2025·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象为中心对称图形 B．的图象上一定存在关于直线对称的两点 C．若，则一定存在四个顶点都在的图象上的菱形 D．若，则四个顶点都在的图象上的正方形有两个 13．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知函数为奇函数，函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小正周期为4 C． D．函数的图象与直线在上有且仅有4个交点 14．（多选题）（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 15．已知函数和在的图象如下图所示： 则方程有且仅有 个根． 16．（2025·高三·浙江杭州·期中）已知函数和在的图像如下图所示： 则方程有且仅有 个根，方程有且仅有 个根． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$