题型27 圆锥曲线5个方程型大题归类-2025年新高考数学冲刺宝典

参考答案 技法7共焦点型椭圆双曲线离心率 PE+A·号 ·r· 【对点练习】 1,A【解析】不妨设点P在 |FF|,化简得|PF= 第一象限，设△PF:F:的内切 |PF|+A|FF|,又 回的国心为，且与PF, PF-PF2=2a. 3 PF,FF的切点为M, 1FF:|=2c,e=2,故1 N.K. 可得PM=|PN1,|F2K|=|FN|.|MF,|=|FK|, IPFI-IPF:I=4-2 FF ，故选D 由双曲线的定义可得|PF|一PF:|=2b,即有|FK|一 题型27圆锥曲线五个方程型大题归类 |FK|=2h,又|FK|+|FK|=2c,可得|FK|=c+b. 技法01五个方程基础模板 可得内切圆的圆心I的横坐标为b=1,C和C的离心率之 【对点练习】 积为号，可得。百×曰=号解得a=3,故选A 1 .1)号+苦-1(2=士2 2.D【解析】：∠POF,=∠PFF+∠FPO.∠POF=2 【解析】1授F(-,0.:精国后+若=1a>>0)的左 ∠PFF∠PFF=∠FPO,.OF=OP=OF=e. PF⊥PF,记椭國长半轴长为 焦点为F,高心率为 3 ,过F且与x轴垂直的直线被椭四裁 a1,双曲线实半轴长为ag,PF,= m,PF:=n C- a 3 则由椭圈和双曲线定义可得： 得的线段长为92业g,年得0=原c=,6 m十n=2阳1…①m一n=2a2…② ①2十②2可得2(m2十m)=4(a十a).由勾股定理知，2十 a2=十d 心=r,代入上式可得2=i十ad,整理得9+度-2，即 V2心椭国的方程为5十之=1(2)设点C(y).D(x, 寻十日-2+-d藏选D 业)，由F(一1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1), y=k(x+1) 技法8焦点三角形内心型求离心率 由方程组 ,消去y,整理得(2十3k)x2+6x十 【对点练习】 2 1.A【解析】设双曲线C 的右顶点为A,△MFF 让6-0求解可得十-一合-一2录： a 的内切圆I与MF,MFg、 A(-√3,0).B(5,0).∴.AC·Di+AD·CB=(+5, F,F分别相切于点P、Q y)·(3-一w)+(x十√3，)·(W3-,-n) N,如图所示：∴.|MP|= F =6-2.m1-2h=6-2mx2-2k2(1+1)(.x十1) IMQI.FPI- IFN ,I FQ=FNI 2=MFI-IMF= 6-2+2张)-2张(a+g）-2张6+是.由已 MP+PF)-MQ+QF=PF- 知得6+2是-8，解得k=士2 2十3k QF:=FNI-IF:NI, 而|FA|-|FA|=(c+a)-(c-a)=2a,∴.|FA 2号+苦-1(2)存在，T3.0.6=-号或T |FA=|FN|-|FN|.即A与N重合， (-3,0)k·k=一5 、2 即内切国I与FF2相切于点A,∴.IA⊥FF,又|IO川= IF,.A为OF2的中点， 【解析】(1)：IMA·|MB|(1+cos∠AMB)=|AB|2, ∴.由余弦定理，得IMA·IMB+|MA·|MB|· c=2a,故后=2故选A MAMBEABE-IABIABI-23. 2MA·MB 2.D【解析】设△PF,F内切圈的半径为r则SA,=2 1MA1·1MB1+MAE+MB2-12=12,即 2 r…lPEl,S=r…lPFS8g=y (MA|+|MB)=36,∴.|MA|+MB|=6,且 ·FF|, IMA+MBI>ABI. 由Saw4,=S△g,十AS,5可得号·r·|PE|=号·r 由椭国的定义，得动点M的轨选C的方程为号+苦-1 37 高考数学冲刺宝典 (2)将直线1的方程x一my 票存在充点T(得。)，使得7,7市为定位 2=0代入曲线C的方程号十 技法3无定点无斜率型双变量 首=1并签理、得 【对点练习】 (2n2十3)y2+8my-10=0, Qr-兰-1(2②)证明见解析 则△=64+40 解析】(D设双曲我E后一芳-1，易知a=1.由题意可知： (22+3)=144m2+120>0. 8m 设P(),Qn,则y+为=一27千3n为 △0G为等腰三角形，则=专：代入y一名：得：%=密 10 2m+3 告则Sm=号××修-渠又C=+心-1+行，对新 2 设点T10≠且≠，则·=兴，‘兴 得6=巨，则双询线：-兰=1 (2)设直线1的方程为：x=ty十m,(m>0且m≠1)，C(y), =(0my+2-1)(my+2-1) x=y十m yW D(,n).联立 2-号=1消x得：(c-号)y+2mwy+ m1为+m(2-1)(y十业)十(2-t)月 2 -10 -102+m(2-1)(一8m)十(2-1)2(2m十3) m1=0,n十为=一2， 2 2 -10 -(2-18)m+3(1-2 .ACy+.①BD:y产-D.@联立0 若1·k为定值，则2r-18=0,F=9,解得1=士3.当t =3时=-号点T3.0. ②，解得：x4=边有±出十边兰.又”n=为（十m)= 一十3地十y 1十业，同理，h=y”十m,把它们代入xH,得H 当1-3时6-3家号-—最点T-30 -10 2y业十m(边十边)十二边 (一h)+十y 技法2反设直线设法 【对点练习】 m1(+w)+m+)+一” 1片+苦-12理解见解析【解析】(I:△DF,B为 (y一y”)十为十y 等边三角形，|DF|=|DF|=+C=a,|FF|=2 工妆0亦， m(为一)+为十y .a=2:△FAB的周长为8，，|AF|+BF+ |AB=|AF|+|BF,|+|AF2|+|BF|=4a=8,解得：a O=m1=m×1=1,得证. =2c=.=-=3描圆C的方程为听+号-1 技法04五个方程常见题型：斜率和积定 【对点练习】 (2)假设在x轴上存在定点T(1,0),使得T·TB为定值： 由(1)知：F2(1.0),直线l钟率不为零.可设1：x=my十1A 1(1片+号1（②存在，且直线1的方程为一2一1=0 (x=my+1 【解析】(2)存在直线l,使得∠DMN=∠DNM,理由如下： (y),B(x2),由 学+苦-得：3+0+心 若直线1与x轴垂直，则直线( 过点D,不合乎题意，由已知可 -9=0.则△=48(3m+3)>0..n+为=一3m+4为 61 设1所在直线的方程为y=(x 3m+Ti·Ti=(-D(-D+n为 -》,代入精国的方程号+号 =1.得(3十4k)x2-8kx+4 (my+1一1)(m+1一1)+为为=(m+1)y为十m (k2-3)=0,△=64k-4×(4k2+3)×4(k2一3)=144(k2十 (1-)(n+)+(1-)2=9m9-6r1=2+ 3m2十4 3㎡2+4 8k2 1D>0,设A(yB(为)，则+=4+3= （1-4)=6115m-9+1-4), 3十4 3,记直线DA,DB的斜率分别为1，欲使直线/ 3+4k2 7T市为定值6与5=一是，解得=吕此时定位为 3 满是∠DMN=∠DNM,只需k十k2=0.A、B、F三，点共 38 参考答案 线如=如=甲产=点即十数 同理，知k1、k满足同构方程 是是 k十9上二18-0解得1=2或1=0 12 亭+的+是（十） 又A、B不与D重合，故1≠0.=2 2k- 3 十x-2 ∴.l:x=2y+1,即x-2y-1=0 8k 2片+芳=1（2)证明见解析 1+32 4(k2-3)8k =2k-1.由k1十k=0.即2k一1=0. 【解析】(1)：点P(x,y)到，点F(一1,0)的距离为|PF|= +3+3十1 (x+1)+(y-0)下=√+2x+1+y, 可得=令，“存在直线，使得∠DMN=∠DNM,北时直 点P(r,y)到直线x=-4的距离d=x一（一4）川=|x十4， 线1的方程为y=之一10.脚一2y-1=0, 又P(y)到点F(-1,0)的距离之比等于名 (2)设A(,y),B(,),:∠DMN=∠DNM,∴.kw+ 22区-=4c+2+1+)=+8+6 x+4 3 一2 →3x2+4y2=12. kN=0.即 -4-=0 因此可科精国的标准方短为+号=1 设mm一D+y-多)=1，：AB恒过1,0-号n (2)①当直线I的斜率存在时，设直线l为y=kx+m,M(x, x-1++y-)+- 3x2+4y2=12, y),N(x”).联立 =1,n=- 2 y=kx十m, 3” 消去y.得(4k2+3)x2+8km.x+4m2-12=0.则△=48(4k ∴（一1+x-1D[mx-0+ny-)]+ +3-m2)>0,x+2=- g=背于是 8km +mc-D+y号]-0 kM·kv=义 x-2 (+m-+(号+mg-)+(+m 即(kx+m)(kx十m)+(-2)(-2)=0, 即(k2+1)x十(k-2)(x十x)十(m+4)=0, 1Dy-2)=0 化简，得4k2+16kn十7=(2k+m)(2k+7m)=0. (iD当2k十m=0时，直线为y=kx一2k,过点(2.0)，含去： +m (当2k+7m=0时.直线为y=kr一号k,过点（号，0）. 2n十 ②当直线1的鲜率不存在时，=号，经检，特合题意：蜂 ,k1十kN= 1 3n =0.即之m=0,m= 上，则直线1过定点R(号0). 31亏--1（②）①存在，以=-19②证明见解析 即.x-2y-1=0. 【解析】(1)由题意知=2，直线m的斜率为k=1,设P (2):∠DMN=∠DNM,∴.kM+kN=O. 运-=1 DA:y=6-1+ a (xM),Q(,y2),由题意 ,两式相减得： 设l:r=y十1， 可得A Dy=kc-ID+号 (国十x(m-2-y十)一2=0，整理得： tk户1，k 员资-芳·会号-号×10=弥，又+# 0十=a 将A代入号+号=1中得： ,6=1,=3,即双南线T号-y=1,经检脸满足 3uk,-21-1)+4(-2)-4uk,-1P=0 题意 化简得：-f好+(-9+18)k+3(号+1)户+5=0 (2)①：1的斜率1存在且≠0，设1：x=y-3(=) 39 高考数学冲刺宝典 x=y-3 A(),B,2),联立 2 ,消去x整理得：( 解得0=.6=2，数精周的方程为：后+节-1. (2)设直线MN的方程为：y=kx十m,与椭圆联立方程 2一3≠0 -3)y-61y十6=0.由题意得 y=kr十m >0,解 △=36r-24(2-3) 之并化简得： (16+i2=1 得士，1ER,又N2,0,设直线AN:y=2 (3+4k).x2+8km+4m2-48=0,:△=64km2-4(3+4k2) y=2x-2) (4m2-48)=48(12+16k2-m)>0,x1十= 8km 3+40 2),联立 理得1-3]+12 3Jy2-1 -42-48 3+4为为=（十m)(k十m）=n十km(+ G21-122-3=0,由达定理得 )+m=+,O.0== a+ -+ 十为16太业=十，化简整理得：3 28 3y 3[4,又：号-= 1-2 (x1-2)2-3y7 +美=03：+4=0整理得：㎡ 3十4k 1今W=G3.= -3[423+(m-2 3 6+8k(满足△>0)，此时，|MN|=√1+ 3 (m-2)-+3 +-4m西=中√（厂30) 一4.1m48 ,是-语产（停语-2） 3十4k 7-4.x 光产品故C(停腰产品)》同理可释 =FN 82,=46,/+F3十=&w5 (3+4k)2 1十 x+3 x+3 m ,原点O到直线MN的距离为：d=m (得设产品)w +F, 12-7④_12-7型 7-4.0 7一4xe △MON的雨教为：Sm=之·MNI·d=5。 (.+3)(7-4x2)-(十3)(7-4) 19(x-2 技法06圆过定点 1(12-7x)(7-4r2)-1(12-7x)(7-4) t(x2一） 【对点练习】 =-96s=-9=-里=-19心号 =一19(k1≠0)， (1)y=土x(2)x一y+1=0(3)答案见析【解析】(1D) 1 抛物线(1)抛物线T:y2=4x的焦点为F(1,0),准线为1：x= ÷会为定值-19a的值-19。② -1,双南线C的方程为22-芳=1，即千-芳=1，则a 2 0D品-()水：南对 称性知CD过的定，点E在x轴上，在()令y=0,得 号√十，由题意可知=√十=16=号故 产品=一(0)解得= 十3 双曲线C的方程为二 =1,渐近线方程为y=士工 2 2 号语=器产器-微-器线Φ楼 (2)由(1)可知：E(一1.0)，如图，过点P作直线1的垂线，垂足 7-4.x1 为M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM,,sin∠MEP 过定点E(得0） r=-1 技法05“第六个方程”型转化难题 0-開-号，且∠MEP 【对点练习】 ∈(o.吾)∠MEP=T,故 1D后+造-1(2)证明见解析，SN=43. 直线EP的领斜角。=牙，斜率 【解析】根据题意得：A(一a,0),B(0.b),C(0,一b),.直线 km=tana=1,∴.直线EP的方 AB的方程为：hx一ay十ab=0,.点C列直线AB的距离为：d 程为y=x+1.即x一y+1=0. 2ab=4互b,化简整理得：3a=2弘.又”点(2,3)在椭 (3)以线段MN为直径的圆C过定点(1,0)，（一3,0）.理由如 a+F√7 下：由已知可得直线：y=k(x-1),设A(M),B(2,), 3a=2b 国后+-1>>0)上，故+是=1：联立 联立方程/=一D y=4x ·消去y可得：x2-2(k2+2)x十2= + =1 40 参考答案 0,时可得：n十=2+2n=会=1.又直我0Ay x=一1上运动. 技法8圆雄曲线中的最值及范围问题 兰，当x=-1时y=一头M(-1,-兴)同理可得N 【对点练习】 k(.-1)+k(一1) 1.(1)p=2(2)12-82【解析】(1)设A(xM),B x-2y+1= 2 2 （xag),由 可得，y-4py十2p=0.∴十 y=2pr k[2-(z+x)] 2-2+27 F- 希，MN1= yI=4p,yAy4=2p,∴|AB=√(x4-Eu)+(yA-%) 2 =5|yA一y=√5×√(%+)-4yAym=4V15,即2 k(-1)_k(-1) (-兴)-（兴川 p-p-6=0,,p>0,解得：p=2. x1 2 (2):F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零，设直线 k(x一 MN,=my+.MNC),由=红可 【x=my十n 「2(k+2) 门厂4-，则以线段NN为直径的司C的 得，y2-4my-4n=0,.十=4m,y次=-4n,4=16 +16m>0→m+n>0,,Fi·FN=0, 国心C(-1,是)，丰径r=号1MN=2平，故调C的方 （一1)(-1)+为=0，即 k (my十n-1)(my:十-1)十y为=0，亦即(m2+1)y 程为+1)+(0是)》广=4卫，些理得+y+2x 业十n(n-1)(十为)十(n-1)严=0，将十3地=4m,y为 =一4n代入得，4=2一6n+1,4(m2十n)=(n一1)2> 3)-合=0，令y=0,则2+2x-3=0,解得x=1或x=-3 0,∴.n≠1，且n-6n+1≥0，解得n≥3+2/2成n≤3-2/2. 故以线段MN为直径的國C过定，点(1,0)，（一3,0）. 设点F到直线MN的距离为d,d=m,MN 技法7圆雄曲线中的定值问题 √+m 【对点练习】 √（五-x)+(-)F=√/1+m|为-| (D片-盖=1(2)证明见解析 √1+m/16m+16m 【解折1)设双曲线方程为后一苦 =√1十m√4(n-6n+1)+16m=21+m|n-1|,∴. =1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c △MFN的面积S=名×MN×d=名×月X2 1+m =25,则由e=￡=5可得a=2,b 1+m1n-1=(n-1),而n3+2/2或≤3-22，∴.当 n=3-2/2时，△MFN的而积Sm=(2-22)2=12-8/2. -V一元-，双向我方程为号 若-1. 2号+苦=1 (2)由(1)可得A(-2,0),A(2,0),设M(),N 【解析】0)设精围C的焦距为2，：精国C后+若=1a (”),显然直线的斜率不为0，∴设直线MN的方程为x 6>0)的离心率为号点A(1,号)在错周C上， m心一4：且一合<m<合，与行-若=1联立可得 a2=+ (4m-1)y2-32my+48=0,且△=64(4m2+3)>0,则y e== 32n 48 +为=4m”y=4m,直线MA的方程为y a3,解得a=3,b=√6，c=3,故精圆C的标准方 升2十2》，直钱NA:的方程为)y产2一2)，联立直线 MA与直我NA:的方程可释：当号-的号 h(一2) (2)设直线1的方程为y=kx十3(k≠0)，P(1,M),Q(x2, 2边(my1-2) my1当一2(y十y)十2当 3(myg一6) [y=kx+3 m3y业一6为 m…82·22”当±2 48 )联立三+=1 整理得(3k+2)x2+18k.x+9=0.则 9+6 48 3由 18k mX4m-1一6为 △>0，即3->0，解得>方函十n=一波学2n 号一号可得一一1，即一1，据此可释点P在龙直线 -2故△0PQ的面积S=S-SA=OM 9 41 高考数学冲刺宝典 a-1=多+n-n-7 2.5【解析】依题意可得C=C,得2十3=n.即n=5. .设t 3k2+2 3.B【解析】'，”(x一2y)的展开式中第4项与第5项的二项 V3>含>0∴5==g>0. 式系数相等，，.C=C,则n=7又，（一2y)的展开式的 2+3 通项公式为T+1=Cr2(-2y)y,令r=2,∴展开式中的 xy项的系数为C等（一2）=84.故选B 十马≥23，当且仅当1=号，即=青时，等号成主，则 4,A【解析】相当于在7个因式中有3个因式选2x,有C种选 2温<号即△0Q西软的最大位为要 法，余下的4个因式中有2个因式选一y,有C种选法，最后 余下2个周式中选，把所选式子相乘即可得xy项，而 C(2x)·(C(-y)Cz2=1680xy,x2y22项的系敦 题型288类排列组合与4类二项式定理解题技巧 为1680.故选A. 技法1捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、 定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 5.-28【解析】r(1-兰)(x+y)=(r+y)”-￥(x+y 【对点练习】 (1-￥)r+y)的晨开式中含ry的项为Cry 1.D【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数 为AA=240,若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加 ￥Cr=-28ry,(1-)x+y)八的展开式中ry 服务，不同的排法种数为AA=48,由间接法可知，满足条 的系数为一28，故答案为一28. 件的排法种数为240一48=192种.故选D. 题型295类概率统计选填解题技巧 2.C【解析】从10名同学中随机抽取3名同学有C种方法， 技法1古典概率解题技巧 抽取的人全是男生的有C种，全是女生的有C种，∴抽取人 【对点练习】 中既有男生又有女生的抽取方法共C。一C一C=120一20 1.C【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法， 一4=96（种）.故远C 4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C=5种排法，若2 3.B【解析】问题等价转化为将8个完全相同的小球放入4个 个0不相邻，则有C赠=10种排法，2个0不相邻的概率为 盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将12个完全相同的小 球放入4个盒子里，每个盆子里至少有1个球.由隔板法可 +10了.故选C 102 知，不同的选购方法有C,=165种.故选B. 2 【解析】从正方体的8个顶，点中任取4个，有n=C酷 4.A【解析】不考虑限制条件共有A种，B最先汇报共有A 0个结果，这4个点在同一个平面的有m=6十6=12个，故 种，如果B不能最先汇报，而A,C,D按先后顺序江报（不一 定相邻)有AA=10.故选A 所求概率P=m=12=6 n7035 A 3.C【解析】从6张卡片中无效回抽取2张，共有(1,2)，(1， 5.B【解析】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有 3),(1,4).(1,5),(1.6).(2,3).(2.4),(2,5),(2.6),(3.4) CCCA=90种安排方法，若甲，乙两位教研萸去同一所 (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字之积 A 为4的倍数的有(1,4)，(2.4)，(2.6)，(3.4)，(4,5).(4.6)6 高中则有CCA=18种安排方法，粽上可得不同的调研安 A 种情况，故概奉为号-导.故选C 排方案有90一18=72种.故选B. 技法2概率的基本性质解题技巧 6.B【解析】设四种颜料为1,2,3,4，(1)先涂区域B,有4中 【对点练习】 填涂方法，不妨设涂颜色1：(2)再涂区域C,有3中填涂方 1,A【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示 法，不坊设涂颜色2：(3)再涂区域E,有2中填涂方法，不坊 设涂颜色3：(4)若区城A填涂颜色2，则区城D、F填涂颜色 “不小于5的点数出现”PA)=号=言P(B)=号 1,4,或4,3，若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颢色1. 3,又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6， 1 3或4,3，共4中不同的填涂方法，粽合(1)(2)(3)4)，由分步 计数原理可得，共有4×3×2×4=96种不同的填涂法，故 .事件A和事件B为互斥事件， 选B. 测一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为 技法2项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 PAUB)=P+PB)=号+号-号，k选A 【对点练习】 2.B【解析】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声 1,C【解析】试题分析：由二项式定理可知T-1=C(a)-? 被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第 ·(是广=C(-3),展开式的常数项是使0。 四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥，从而P(AUB =0的项，解得r=18为第19项，故选C UCUD)=PA+PB+P(O+PD)=+是+号+ 42高考数学冲刺宝典 可得F2T=c一a,则点T的坐标为(a,0),∴.I点横坐标为a,.④正确.故选D. 【答案】D ⑦对点练习趴一 1.已知双曲线C:号一若-1(>0.>0)的左，右焦点分别为，R,0为坐标原点，点M在C的 右支上运动，△MFF2的内心为I,若|IO=|IF2,则C的离心率为 A.2 B.√2 C.3 D.3 2点P是双曲线C:号芳=1a>0,b6>0)右支上一点，5，R分别是双曲线C的左，有焦点，M 为△PFR的内心，若双曲线C的离心率e=号，且Swm,=S听，十Sa5,则A=（) A司 C.1 n号 题型27 圆锥曲线5个方程型大题归类 技法015个方程基础模板 技法解读人 基本模板实战模板 1.设点，A(x,y),B(x2,2). 2.方程1：设直线：y一%=k(x一)一此处还有千言万语，在后边分类细说. 3.方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去 分母. 4.方程3：联立方程，整理成为关于x(或者y)的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线 联立后方程的二次项能否为零—这就是实战经验， 5.(1)△>0：(2)二次项系数是否为0；一这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须 考虑 6.方程4、5：韦达定理， 7.寻找第六个方程，根据题干而得. 串典例剖析人一 例1已知椭圆E号十芳-1(。>心>0)的左，右焦点分别为R,F,短半轴6长为1，点P在箱圆 E上运动，且△PFF2的面积最大值为√3. 162 题型27圆锥曲线5个方程型大题归类 (1)求椭圆E的方程： (2)当点P为椭圆E的上顶点时，设过点H(一1，一1)的直线l交椭圆E于M,N两点，直线 PM,PN的斜率分别为k1,k2,求证：k1十k2为定值. 【解析】(I)设点P的纵坐标yp,椭圆的半焦距为c,当点P不在x轴上时，0<|yp|≤b=1, Sm5=FF·w<c,当且仅当=1时取等号，因此c=3a=V+=2, “椭圆的方程为听十=1 (2)由题意可知P(0,1),当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=一1， 3 1+ 则不令M-1.N-1,一+= 2 2 =2: 0+1+0+1 当直线I的斜率存在时，设直线的方程为y十1=k(x十1)，记M(x1,y),N(x2,2), y+1=k(x+1) 臂+yr=1 得，(1+4k2)x2+(8k2-8k)x+4k-8k=0. 光时△=16(8十2>0，中kK一号我6>0+=牛a-牛器， 8k2-8k ∴k1十k,=当-1+业-1=y-1)+(必-1)西=[k(m十1)-2]+[k(w+1)-2]西 TIT? TIT2 =2k1十(k-2)(十2_2k(42-8k)=（k=2(8k2-8k)=8k-16k=2 TIT2 4k2一8k 4k2一8k 综上所述，k1十k2=2,即k1十k2为定值. (2)设M1,y),N(2,),k十k=当，-+当二1，设：mx十n(y -1)=1.,MN过H(-1,1),.-m-2n=1,即m+2n=-1, +[y-10+1=1:y-1+2-1D+f=09y-1+2) m.x+n(y-1)=1 -1[m+m0-1D]+f=0.1+2mg-12+2mry-1D+若=0， 1+2m(号}+2m号+}06+=-gn-2运苹 【答案】 (1)+y=1 (2)证明见解析 ⑦对点练习趴 1.设椭圆后+芳=1(。>6>0)的左焦点为下，离心率为号，过点下且与x轴垂直的直线被椭圆 载得的线段长为。 163 高考数学冲刺宝典 (1)求椭圆的方程： (2)设A,B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若AC· DB+AD,C第=8，求k的值. 2.已知动点M与定点A(-√3，.0)，B(/3,0)满足MA·|MB(1+cos∠AMB)=AB2 (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知直线l:x一my一2=0与曲线C交于P,Q两点，点T为x轴上一点，直线PT,QT的斜 率分别为k1,k2,试问：是否存在使k1·k2为定值的点T?若存在，求出点T的坐标，并求 出定值：若不存在，请说明理由. 技法02反设直线设法 技法解读人一 如果所过定点在x轴上，为(m,0),也可以设为x=y十m,此时包含了斜率不存在的情况， 但是反而不包含x轴这条直线。 串典例剖析人 例2已知椭圆C后+苦-1。>6>0)的左焦点为下，右顶点为A,离心率为号B为椭圆C上 一动点，△FAB面积的最大值为2+ 2 (1)求椭圆C的方程： (2)经过F且不垂直于坐标轴的直线I与C交于M,N两点，x轴上点P满足PM=PN,若 |MN|=aFP,求A的值， 164 题型27圆锥曲线5个方程型大题归类 a+2b_2+10, 2 2 【解析】()由题可知F位于上，下顶点时△FAB面积最大一二=@， 联立①②③ 2 a2=+c2③， a=√2 得6=1心精国C的方程为号+y-1. c=1 (2)F(一1,0)，设直线MN为x=1y一1(1≠0)，M(1,y),N(x2,2),不妨设y1>y2,设P(xa, x=y-1 一1 ,由2，得（十2）y一20y二1=0，期y十2+21二+2·为一为 V0m+w-m=异2/2r干，PM=PN(一r+=(国-r+6 -x2-2x1x6十2.x2x0十y听-y5=0,∴.(x十x2)(x1一x2)一2xo(1-x)十(y1一y2)(y十2)=0， .(1y1-1十1-1)(1y一12)-2x(1y-12)+(1-2)(1十2)=0，，M一y2≠0，∴1(11+ 6-2》-2a1+(0n+g)=0(422到-21什42=0222-2a+是2=0，解 得w=-+2MN=FP.MN=8FP,A>0.国-)产+g-为=8 (x0+1)2,(1y-t2)2+(y-2)2=2(x+1)2,(t+1)(y-)2=A(x+1)2,∴.(+1) 产》-牛》化简得=8解得久=士2,2>0以=2 【答案】 (1)号+y=1:(2a=22. 对点练习人一 已知椭圆C号+芳-1a>60)的左，右焦点分别为F,F,上顶点为D,且△DF,H为等边三 角形.经过焦点F2的直线1与椭圆C相交于A,B两点，△F1AB的周长为8. (1)求椭圆C的方程： (2)试探究：在x轴上是否存在定点T,使得TA·TB为定值？若存在，求出点T的坐标：若不存 在，请说明理由. 165 高考数学冲刺宝典 技法03无定点无斜率型双变量 技法解速人一 当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：y=k.x十，依旧得讨论k是 否存在情况，当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了， (1)设成y=kx十，此时直线不包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论. (2)设成x=ty十m,此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论. (3)设“双变量”时，第一种设法较多.因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实 际上也没有特别大的计算优势 (4)双变量设法，一定要清楚以下这个规律： 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系，这也是证明直线过 定点的理论根据之一· 串典例剖析- 例3已知直线1与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，且与x轴交于点M(a,0)(a>0),过点A, B分别作直线I1:x=一a的垂线，垂足依次为A1,B,动点N在l1上. (1)当a=1,且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN: (2)记直线NA,NB,NM的斜率分别为k1,k2,k,是否存在实数入，使得1十k2=k?若存在，求 λ的值：若不存在，请说明理由， 【解析】(1)如图所示：当a=1时，M(1,0)恰为抛物线C:y2=4x的焦点， 由抛物线的定义可得：|AM=|AA1|,|BM=|BB1I,取AB的中点D,连 接DN,则DN为梯形ABBA的中位线，DN=(AA:十BB). D为AB的中点DA=DB=号AM+BBD)DAI=DN. 在△ADN中，由DA|=DN|可得：∠AND=∠NAD.,DN为梯形ABB1A的中位线， ∴.DN∥AA,.∠AND=∠AAN,∴.∠NAD=∠AAN.同理可证：∠NBD=∠BBN. 在梯形ABBA,中，∠AAB十∠B,BA=180°，∴.∠AAN十∠NAD+∠DBN+∠NBB =180°， ∠NAD+∠DBN=号X180°=90，÷∠ANB=90.即AN∠BN. (2)假设存在实数入，使得k1十k2=λk.由直线（与抛物线C:y=4x交于A,B两点，可设1：x= my十a,设A(国)，B(,尉=红 消去x可得：y2-4my-4a=0,.+y2=4m, x=my十a h一yM十2 ，为-当2 1一yg y1一y2 yy2=一4a.则k十k2= 2 2 2 2 x1-(-a) x-(-a) my+2a my:+2a 166 题型27圆锥曲线5个方程型大题归类 一m(y-y2)月 -m[(y1十2)2-4yy]2 -m[(4m)2-4(-4a)]2 2(mM+2a)(m2+2a)2m2y32+2ma(y+)+4aT2[m2(-4a)+2ma·4m+4a =2m而= 空-02%一品-20-》当-0时副A2解得认-之 2 一a一a -2aa1 a 【答案】(1)证明见解析(2)入=2. 方对点练习人 已知双曲线E的顶点为A(一1,0)，B(1,0),过右焦点F作其中一条渐近线的平行线，与另一条 渐近线交于点G,且S 3华.点P为x轴正半轴上异于点B的任意点，过点P的直线1交双 3/2 曲线于C,D两点，直线AC与直线BD交于点H, (1)求双曲线E的标准方程： (2)求证：O币·Oi为定值. 技法045个方程常见题型：斜率和积定 技法解慎人一 +芳-1(a>6>0),与椭圆上定点Pn,过P点走丙条射线PA,PB,与精 给定椭圆 圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有 1)若十长=则直线AB定点(。2坐，-2张器)： 26 to (2)若k1·k2=t,则直线AB定点 +袋+小 串典例剖析人 例4一1 椭圆C号+苦-1(。>6>0)的左焦点为(-2,0.且椭圆C经过点P0,D,直线y kx十2k一1(k≠0)与C交于A,B两点（异于点P). 167 高考数学冲刺宝典 (1)求椭圆C的方程： (2)证明：直线PA与直线PB的斜率之和为定值，并求出这个定值. y=kx+2k-1 【解法一】(2)（常规方法）：设A(x1,y),B(x2·y2),联立 5+= 化简可得：(3k2十1)x2 +6k(2k-1)x+12k(一1)=0，，直线y=kx+2k一1(k≠0)与椭圆C交于A、B两点∴.△>0， 即12-[(3k十1)-(2k-1)2]=一48k(k-1)>0解得：0<k<1,由韦达定理十x2= 6k（2k·=2,+m=二+ 3k2+1 =x1y2十x2y一（1十x2）= 2+2-2)十-6k+6〔2kD1k二-1， C12 12k(k-1) ∴.直线PA、PB得斜率和为定值1. 【解法二】（构造齐次式）：由题直线y=k.x十2k一1(k≠0)恒过定点（一2,1） ①当直线AB不过原点时，设直线AB为mx十n(y一1)=1(*)，则一2mx一2n=1即m十n= -2有m=一日-n,写+y=1有2+3(y-1)+6y-1)=0则2+3y-1)+6(y-1D [m.x十(y-1)]=0,整理成关于x,y一1的齐次式：(3+6n)(y一1)2+6m.x(y-1)+x2=0,进而 两边同时降以，则3+6m))'+6m(）+1=0令=k, 则.“kp十kB=y一1+一1。_6m 3+6n 3+6n ②当直线AB过原点时，设直线AB的方程为y=2c,A(m,),B(一西，一)，km十km= 1+1-22=2x号-1，m+km=”1+1-20=-2X3-1 To To 综合①②直线PA与直线PB的斜率之和为定值， PA:y=kx+1 【解法三】设PA:y=k1x十1PB:y=kx十1，联立 3+y2=1 ,得(3k1x+1)x2+6k1x=0. 6k1 6k,-1-3).代入AB中得： 解得x=0,或x3⑩x三3牛时，A(3十3好 1-3好 3好=一311+2k一1，化简得：6k1一6k1十2一2k=0,同理可得：6k经一6kk2十2一2k= 0,k,满足同构方程，6kx2-6kr十2-2k=0.k1十k=一60=1.②.x=0时，A(0,1D与p 6k 重合，故不合题意.综上，k1十k2=1为定值， 【答案】 1)写+=1(2)证明见解析，定值为1. 例4一2已知椭圆一十y=1的左右顶点为A、B直线：x=1.已知O为坐标原点，圆G过点 O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P,Q (1)记直线AM,AN的斜率分别为k1、k2,求k1·k的值； 168 题型27圆锥曲线5个方程型大题归类 (2)证明直线PQ过定点，并求该定点坐标 【解析】(1)如图，由题意知，圆G的圆心G在直线x=1,设G(1,B), 则半径为r=OG=√1十，标准方程为(.x一1)2十(y一b)2=十1， 设M(1,h),N(1,),由A(-2,0),得=学，= 3 x=1 (x-1)2+(0y-b)=+1消去x,得-26y-1=0,则为=-1， ∴6=普×等=g=一 ①由已知得MN为圆G的直径，则kw·kN=一1，根据题意设M(1,m),V(1,n),则mn=一1， ②设P),Q4y),由(1D知>0，g<0,k1:=一日得=站， .lw:y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,lAN:y-0=k2(x十2)，即y=k2十2k2, y=k1x十2k1 若+=1 消去得+1D+16+16时-4-0，期-2-1导得6一汽 n=十=×尊+%=释P汽》 同理可得a@等中a+)又为>0w0, 4k 一36k1 由椭圆的对称性知，直线PQ过定，点，且该定点为x轴上的点，设定点为M(m,0),则一2<m<2, d=(二8m十2m),顶=6281m-8-m36 一8一4m 4k+1 81k十4 81+4令162-81m 名nm解得m- 或m-c合去)光时M-一+W流W与共线。 9(4k+1) “直线PQ过定点（侣0 m(.x+2)+ny=1 (2)ku·ka=w·kw=一号设o:m(x+2)十w=1. [+-亚+y=1+2 4 (x+2)+=0,y2-(x+2)[m(x+2)+y]+(x+2)2=0,y2-y(x+2)+(-m)(x+2) =0(十2+n2+}m=0.·k=-m=日m--x+2+心 =1,由对称性：PQ过x轴定点令y=0时，存在使十2品-1，解得吕PQ过（侣0. 【答案】)-号(2（侣0，证明见解析 例4一3 椭圆椭圆C号+芳=1a>6>0)的左右焦点分别为FF,焦距为22，点M为椭圆上 位于x轴上方的一点，MF·MF2=0,且△MFF2的面积为2. 169 高考数学冲刺宝典 (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线PQ交椭圆C于P,Q两点，记直线AP的斜率为k, 直线BO的斜率为k1,已知k,=3k2,求证：直线PQ恒过定点. 【解桥】(I)MF·MF=0MF⊥MF∴SAMF,F:=MF·1MF=2MF· |MF2|=4,又IMF1|+MF2|=2a,F1F2|=2c=22,IMFI2+IMF2I2=|F1F2|2,.(|MF +MF2|)2-2MF|·MF2|=8,即4a2-2×4=8,.a2=4,.b=a2-c2=2,.椭圆方程为 若+苦1 (2)依题意A(-2,0),B(2,0),设P(xy),Q(x2,y),若直线PQ的斜率为0则P,Q关于y轴 对称，必有kn=一k0,不合题意，∴，直线PQ斜率必不为0，设其方程为x=y十n(n≠士2)，与 前圆C联立r+2y=4 整理得：(2+2)y2+21ny十2-4=0，.△=42n2-4(+2)(m2-4)= x=ty+n 2tn y1十2= t2+2 8(22-+4)>0,且 为24 :P(y)是精国上一点，即牙+艺=1， 2 2+2 2‘”2产子-受尉如=2kn一m申如·如=-1 k加·k挪=当 2kup 6X”2×”2-1,得61十-2-2)=0，即61%+n-2)%+n-2)=(t +6)+n-2)+)+(n-22=(+6)(2)+(n-2)(-02)+(n-2)= (6+2)(m-4)-2nn-2)+n-2)'=0,n≠2，(6+2)(n+2)-21Pn+(n-2)(+2)=0, 12+2 6n+12+tn十2-2n十nt+2n-2-4=0,整理得8n十8=0，解得1=一1， ∴.直线PQ恒过定点（一1,0）. 【答案】(1)听+兰=1(2)证明见解析，恒过定点(-1.0) 方对点练习 1.已知右焦点为F1,0)的椭圆C:号+兰=1a>6>0)经过点1,2》 (1)求椭圆C的方程： (2)经过F的直线1与椭圆C分别交于A、B(不与D点重合)，直线DA、DB分别与x轴交于 M、N,是否存在直线1，使得∠DMN=∠DNM?若存在，求出直线1的方程；若不存在，请 说明理由。 170 题型27圆锥曲线5个方程型大题归类 2.已知椭圆C上任意一点P(,)到点F(-1,0)的距离与到直线x=一4的距离的比等于2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线！与椭圆C相交于M,N两点，A(2,0),记直线AM,AN的斜率分别为kM,kw,且 满足kAM·kAv=一1.证明：直线I过定点. 3已知双圃线T:后一若=1a>0,b>0)的左焦点坐标为(-2,0)，直线m:x一y一2=0与双曲 线T交于P,Q两点，线段PQ中点为R(3,1) (1)求双曲线T的方程： (2)经过点M(一3,0)与x轴不重合的直线1与双曲线T交于两个不同点A,B,点N(2,0),直 线AN,BN与双曲线T分别交于另一点C.D ①若直线1与直线CD的斜率都存在，并分别设为k,k2.是否存在实常数入，使得k2=入k1? 若存在，求出入的值：若不存在，请说明理由： ②证明：直线CD恒过定点. 171