精品解析：浙江省湖州市长兴县2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024学年第二学期长兴县龙山中学教育集团共同体期中素养测试 七年级数学试题卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项里，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分． 1. 下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据图形平移得性质即可求解，熟知平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，选项，，都不能通过平移得到，只有选项利用图形的平移得到， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则，完全平方公式逐项计算即可求解． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，计算正确，此选项符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 如图，已知直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角互补，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行得到，再由邻补角的意义即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4. 已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出的值． 【详解】解：将代入方程，则： ， 解得：， 故选：A． 5. 下列各式不能使用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据平方差公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，此选项能用平方差公式计算，不符合题意； B、，此选项不能用平方差公式计算，符合题意； C、，此选项能用平方差公式计算，不符合题意； D、，此选项能用平方差公式计算，不符合题意． 故选：B． 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：由题意得 ． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键． 7. 已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先求出值，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 8. 一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ） A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ② ③ D. ① ② 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断① ③ ；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④ 【详解】解：∵ 四边形ABCD是长方形 ∴ 由折叠的性质可得 故 ① 正确 故 ③ 正确 故 ② 正确 又 由折叠的性质可得： 故 ④ 正确 故选：A 【点睛】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质． 9. 已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将方程组中的两个方程利用加减法，消去、求出，结合题意即可求解． 【详解】解：， ①②，得：， ， 不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， ． 故选：A． 10. 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把方程改写成用含的代数式表示，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，解方程的一般步骤，熟练掌握等式的性质是解题关键． 利用等式的性质进行将移项到右边即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据单项式与多项式的乘法法则计算即可. 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加. 13. 已知关于的二元一次方程组，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加即可得出结果． 【详解】解： 得，， ∴， 故答案为：3． 14. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．延长交于点F，根据三角形的外角的性质得出，求出，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：如图2所示：延长交于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解即可求解； 【详解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1， ∴ax+ay+y=a+2 ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解 ∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2 得：ax=-a， ∴x=-1， ∴公共解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解题的关键． 16. 对正整数，规定，记，若正整数，使得为完全平方数，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方数的定义和性质，积的乘方法则和逆运算，掌握完全平方数的性质，即完全平方数分解质因数后，每个质因数都有偶数个（指数都是偶数）是解题关键． 根据题意把分解成的性质，再根据完全平方数的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，都为完全平方数， 为完全平方数， 且 ， 将缺失的质因数相乘，即的最小值为． 故答案为：231 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）方程组运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：， ； 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ①得：③， 由②③得：， 解得，， 把代入①得：， ； ∴原方程组的解为 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用． 根据完全平方公式和平方差公式，可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 当时，原式． 19. 如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将水平向右平移4个单位，得到． （1）请利用网格和直尺，在图中画出平移后的； （2）图中线段与的位置关系是___________，数量关系是___________； （3）平移过程中，线段扫过的面积是___________． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2）， （3）28 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质作出A，B，C的对应点即可； （2）根据平移变换的性质解决问题即可； （3）运用平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由平移的性质可得，，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：线段扫过的面积， 故答案为：28． 20. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． （1）试说明； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）70°． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 22. 如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）16 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）先利用完全平方公式变形求得，再利用平方差公式求得，根据，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 【答案】任务1：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个； 任务2：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个；方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个；方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：熟练掌握总价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组，二元一次方程． 任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“A款、款足球的进价分别为60元、80元，购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“总进货款4400元不变．买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【详解】解：任务1：设3月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据题意，得， 解得． 答：3月该商场购进A款足球20个、款足球40个． 任务2：设4月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵4月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为45、15、25个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为24、30、28个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为3、45、31个． 24. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）105 （2） （3）20或50或80 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； 【小问2详解】 解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期长兴县龙山中学教育集团共同体期中素养测试 七年级数学试题卷 友情提示： 1．全卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项里，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选的均不给分． 1. 下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 下列各式不能使用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ） A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ② ③ D. ① ② 9. 已知关于，的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把方程改写成用含的代数式表示，则_______． 12. 计算：______． 13. 已知关于的二元一次方程组，则________． 14. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是___________． 15. 关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________． 16. 对正整数，规定，记，若正整数，使得为完全平方数，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将水平向右平移4个单位，得到． （1）请利用网格和直尺，在图中画出平移后的； （2）图中线段与的位置关系是___________，数量关系是___________； （3）平移过程中，线段扫过的面积是___________． 20. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． （1）试说明； （2）若，求的度数． 21. 阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 22. 如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； （2）根据（1）中的结论，若，，求的值； （3）如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 “以体树人”是以身体为媒介，将教育回归到“人”的全面发展．它让学生在奔跑中理解坚持的意义，在合作中领悟共情的力量，在竞争中学会优雅地接受输赢． 素材1 某体育用品商场销售A、两款足球，A款、款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、款两种足球共60个，进货共用4400元． 素材2 由于各校“以体树人”系列活动的开展，足球生意火爆．该商场决定4月份再购进一批A、款足球（A、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款4400元不变．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、款足球各多少个？ 任务2 若4月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，则4月份该商场购进A、、款足球各多少个？ 24. 实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． （1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； （2）操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； （3）操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $